TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 11: Belirsiz İntegral

1. TBF 121 - Genel Matematik IDERS – 11: Belirsiz İntegral Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Belirsiz İntegral.Bu derste türevi bilinen bir fonksiyonun yeniden inşasını ele alacağız. Türevi bilinen bir fonksiyonun yeniden inşası işlemine ters türev işlemi (anti-differentiation) denir. f ve Ffonksiyonlar, F´(x) = f(x) ise, F ye f nin ters türevi (anti-derivative) denir. Örnek.f(x) = 2x in ters türeviF(x)= x2dir. Gerçekten, F´(x) = 2x = f(x). Benzer şekilde, G(x) = x3fonksiyonu da g(x) = 3x2nin ters türevidir; çünkü, G´(x) = 3x2 = g(x) dir. Teorem.Fve G fonksiyonları (a , b) aralığında türevli ve her x(a , b)için G´(x) = F´(x)ise, uygun bir c sabiti için G(x) = F(x) + cdir. Bu teoremin sonucu olarak, F ve G fonksiyonlarıf nin iki ters türevi ise, uygunbir Csabiti için G(x)=F(x)+ C dir. Dolayısıyla, fninters türevlerinden birinin grafiği biliniyorsa, her ters türevinin grafiği biliniyor demektir. G nin grafiği F nin grafiğindendüşey kayma ile elde edilir.

3. Bir fonksiyonun türevi veya türevinin grafiği ile ilgili bilgilerin o fonksiyonun kendisinin grafiğinin biçimi ile ilgili önemli bilgiler verdiğini anımsayalım. Örneğin, belli bir aralıkta olduğunu biliyoruz. Örnek. f´(x) in yandaki tabloda özetlenen özelliklere sahip olduğunu düşünelim. x f’(x) -2 < x < 0 x -kesişimi x = 0 0 < x < 2 Bu tablodan, y=f(x) in grafiğinin de aşağıdaki tabloda gösterilen özelliklere sahip olduğu sonucu çıkar: x = 2 Yerel maksimum 2 < x < 4 x -kesişimi x = 4 4 < x < 5 x f (x) -2 < x < 0 Yerel maksimum x = 0 Bu özelliklere sahip olan üç ayrı ters türevin grafikleri, izleyen sayfada gösterilmiştir. 0 < x < 2 x = 2 Dönüm noktası 2 < x < 4 Yerel minimum x = 4 4 < x < 5

4. x f’(x) x f (x) -2 < x < 0 -2 < x < 0 x -kesişimi x = 0 Yerel maksimum x = 0 0 < x < 2 0 < x < 2 x = 2 Yerel maksimum x = 2 Dönüm noktası 2 < x < 4 2 < x < 4 x -kesişimi Yerel minimum x = 4 x = 4 4 < x < 5 4 < x < 5 y 5 2 -2 4 0 x

5. integral sabiti integrand integral işareti integral değişkeni integralin hangi değişkene göre hesaplanacağını gösterir. f nin tüm ters türevlerinin ailesini göstermek için gösterimi kullanılır ve buna f ninbelirsiz integrali(indefinite integral) denir. Böylece, eğer F´(x) = f(x) ise,

6. Tekrar ifade edersek Örnek. Eğer f türevli bir fonksiyon ise, belirsiz integral tanımına göre, dir. Örnek. Ters türevle ilgili örneklerimizi belirsiz integral gösterimi ile şöyle ifade edebiliriz: , Yukarıdaki örneğin ışığında, her türev formülü bir integral formülüne yol açar. Örneğin, kherhangi bir sabit ise türev formülünden integral formülü elde edilir.

7. Akılda tutulması kolay veya görünümü düzgün integral formülleri elde etmek için bilinen türev formüllerini aynen kullanmak yerine bazı küçük değişiklikler yapmak yararlı olur. Örnek. Kuvvet fonksiyonunun integrali ile ilgili bir integral formülü elde etmek için kuvvet fonksiyonunun türevi ile ilgili bilinen türev formülü yerine türev formülünden ile tanımlanan integral formülü elde edilir. Benzer şekilde, ve böylece fonksiyon için olduğundan ve böylece ve buradan integral formülü elde edilir.

8. Şimdi bazı integral formüllerini elde edildikleri türev formülleri ile birlikte eşağıdaki tabloda sunuyoruz. Bu noktada belirtelim ki, bir integral hesabında bulduğunuz sonucun veya herhangi bir integral formülünün doğruluğunu daima türev kullanarak kontrol edebilirsiniz.

9. , , Belirsiz integrallerin ifadelerinde şu ana kadar değişken olarak sadece x sembolünü kullandık, ancak fonksiyon gösteriminde olduğu gibi, burada da değişken için farklı semboller kullanılabileceği açıktır. Örneğin, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ilgili yukarıdaki tabloda verilen integral formülleri veya biçiminde ifade edilebilir. Örnek. Örnek. Örnek.

10. Örnek. Örnek.(1 , 3) noktasından geçen ve her hangi bir x noktasındaki eğimi y´ = 2xolan eğrinin denklemini bulalım. Çözüm.y´ = F´(x) = 2x olduğuna göre, dir. Diğer yandan, aranan eğri (1 , 3) noktasından geçeceğinden , Dolayısıyla, F(1) = 12 + C = 3 ten C = 2olup aranan eğrinin denklemi, F(1) = 3olmalıdır. y = F(x) = x2 + 2dir.

11. Örnek.Haftada x ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit gideri 250TL ve marjinal gideri M´(x) = 3x2 - 60x+375olarak veriliyor. Bu işletmenin haftalık gider fonksiyonunu ve 20 ürün için haftalık toplam giderini bulunuz. Çözüm.M ´(x) = 3x2 -60x+375 ve M(0) = 250 verilmiştir. M(0) = 250olduğundan, M(0) = C = 250 , toplam gider TL olur ve 20 ürün için toplam gider TL olur.

12. Verilen bir belirsiz integrali hesaplarken tahmin yapmakta sakınca yoktur; hatta, tahmin yapmak yararlıdır denilebilir. Ancak tahmininizin doğru olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Nasıl kontrol edilir? Belirsiz integralin tanımından: Örnek. Örnek.

13. Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtığını belirtmiştik. Türev hesabı için kullandığımız bazı formüller de integral hesabı için önemli yöntemler verir. Bu yöntemleri açıklarken çok yararlı olacağı için öncediferansiyel kavramını tanımlıyoruz. u = g(x)veg türevli bir fonksiyon ise, g´(x)dx ifadesine unundiferansiyelidenir ve du = g´(x)dxyazılır. u = g(x) , du = g´(x)dx Örnek.u = x3 – x2 +10xise, du = (3x2 – 2x +10)dx. Örnek.u = exise, du = exdx; u = ln x ise, du = (1/x)dx. Şimdi türev için zincir kuralını hatırlayalım: Buradan şu integral formülü elde edilir:

14. Bu integral formülünde u = g(x)alınırsa, g´(x)dx = duolacağından yukarıdaki formül biçiminde yazılabilir. Verilen bir integral uygun bir useçimi ile yukarıdaki biçimde ifade edilebilirse, kolayca hesaplanmış olur. Bu yönteme integral hesabındadeğişken değiştirme (substitution) yöntemi denir. integralinin hesabı için u = x3 – 4seçilirse, du = (3x2) dxolur Örnek. ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur.

15. Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4seçilirse, du = (3x2) dxolur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur. Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4seçilirse, du = (3x2) dxolur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur. Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4seçilirse, du = (3x2) dxolur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur.

16. Değişken Değiştirme Yöntemi uygulanırken izlenen adımlar: 1. Uygun bir useçerek integrandı basitleştiriniz. Özel olarak, u yu öyle seçiniz ki, integrandın bir çarpanı du olsun. 2. İntegrali tamamen uve du cinsinden ifade ediniz. 3. Yeni integrali bulunuz. 4. Bulduğunuz integrali eski değişken cinsinden ifade ediniz. Örnek. integralinin hesabı için u = g(x)= x3 - 4seçilirse, du = 3x2dxolur ve g’(x)= 3x2integrandın bir çarpanı olmamakla beraber (1/3)g’(x)= x2 integrandın bir çarpanıdır. Dolayısıyla, (1/3)du = x2dxalarak biçiminde hesaplanmış olur.

17. Örnek. u = x3- 4seçilirse, du = (3x2)dx, x2dx = (1/3) duolur ve böylece Örnek. integralinin hesabı için u = t2seçilirse, du = (2t)dtolur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur.

18. Örnek. u = -t2 seçilirse, du = -2t dt, tdt = (-1/2) du olur ve böylece Örnek. u = x + 3 seçilirse, du = dx , x = u - 3olur ve böylece

19. Örnek. u = x + 3 seçilirse, du = dx , x = u - 3olur ve böylece

20. Daha önce türev formüllerinden yola çıkarak elde ettiğimiz integral formüllerini değişken değiştirme yöntemi ile birleştirerek oldukça yararlı integral formülleri elde edebiliriz. Bu tür formüllerden bir kısmını aşağıda veriyoruz. Tekrar vurgulayalım kibir integral hesabında bulduğunuz sonucun veya herhangi bir integral formülünün doğruluğunu daima türev kullanarak kontrol edebilirsiniz.

21. Örnek.Bir ürün, piyasaya haftada x adet sürüldüğü takdirde marjinal fiyatın olacağı tespit ediliyıor ve bu ürünün tanesi 25 TL ye satılması durumunda haftalık talebin 100 olacağı tahmin ediliyor. Fiyat – talep denklemini bulunuz. Çözüm. Belirsiz integral kullanalım. Diğer yandan, x = 100 olunca  = 25 olacağından, O halde Fiyat – talep denklemi şöyledir:

22. u u v v dv du Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtığını belirtmiş ve türev için Zincir Kuralından yola çıkarak integral için Değişken DeğiştirmeYöntemini elde etmiştik. Şimdi, çarpım için türev formülünü kullanarak integral için bir yöntem elde edilebileceğini göreceğiz: Kısmî İntegrasyon Yöntemi. Son türev formülünden integrale geçersek f´(x) dx = du, g(x) = volur Bu formülde, f(x) = u, g´(x) dx = dvalınırsa, ve formül aşağıdaki biçimi alır:

23. u u v v dv du u = f(x) , dv = g´(x) dx du = f ´(x) dx , v = g(x) Örnek. u = x , dv = ex dx du = dx , v = ex Örnek. u = ln x , dv = dx du = (1/x)dx , v = x

24. Örnek. u = ln x , dv =x dx du = (1/x)dx , v = (1/2) x2 Örnek. u = x , dv =(x-1)15 dx du = dx , v = (1/16)(x-1)16

25. Bazı integrallerin hesabında art arda kısmî integrasyon uygulamak gerekebilir. Bu tür durumlarda hesaplarda karışıklık olmaması için kısmî integrasyon formülünün her uygulanışında değişkenler için farklı semboller seçilmesi daha uygun olur. Dikkat edilmesi gerekir ki, u ve v değişkenleri ile biçiminde ifade edilen kısmî integrasyon formülü z ve t değişkenleri ile ifade edilince olur. Aşağıdaki örnekte, kısmî integrasyon uygulandıktan sonra ortaya çıkan integrali dikkatle inceleyiniz:. Örnek. du = 2xdx v = (1/13)(x-1)13 u = x2 dv =(x-1)12 dx

26. Örnek. du = 2xdx v = (1/13)(x-1)13 u = x2 dv =(x-1)12 dx Sağ taraftaki integrali hesaplamak için tekrar kısmî integrasyon uyguluyoruz. z = x dt =(x-1)13 dx dz= dx t = (1/14)(x-1)14

27. Çeşitli Örnekler.