DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie i Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach • ID grupy: 97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1 • Opiekun: Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: ,, Równania diofantyczne” • Semestr/rok szkolny: semestr III / rok szkolny 2010/2011

3. Równania diofantyczne Nasza prezentacja ma na celu utrwalenie wiadomości z algebry, teorii liczb, podzielności.

4. DIOFANTOS Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi. 

5. ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS?

6. W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej  antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnejSztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz:Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił,Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów częśćŻycia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą,Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg,Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka,Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiekOjca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades.Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczbJeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

7. ROZWIĄZANIE: x – czas życia Diofantosa1/6x – jego dzieciństwo1/12x – okres młodości1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem5 – lata oczekiwania na syna1/2x – czas życia syna4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci synaRozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą:1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = xStąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata. 

8. ZADANIADIOFANTOSA

9. Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

10. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

11. Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek:

12. RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa. Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: *Czy ma ono rozwiązania? * Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? * Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

13. NWD Twierdzenie Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne NWD(a, b) = xa + by.

14. NWD(309,186) Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186) 309 = 1 · 186 + 123 186 = 1 · 123 + 63 123 = 1 · 63 + 60 63 = 1 · 60 + 3 60 = 20 · 3 + 0 Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 − 1 · 60 = = 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 = = 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 = = 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) = = −3 · 309 + 5 · 186 Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postać x = −3, y = 5.

15. Równanie ax + by = c Twierdzenie Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c to wszystkie rozwiązania dane są wzorami:x = x0 + · t , y = y0 − · t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne 309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci x = −3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

16. Przykłady równań diofantycznych • Równanie 2x+1=y2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3) • Równanie xy=yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2, y=4 oraz x=4, y=2

17. Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49 Rozwiązanie Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa. 1001 = 28 · 35 + 21 2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35 35 = 1 · 21 + 14 21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14 =7 21 = 1 · 14 + 7 14 = 21 · 7 + 0 Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy 14 · 1001 + (−399) · 35 = 49 Para x0 = 14, y0 = −399 jest rozwiązaniem. Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci: x =x0 + · t = 14 + 5 · t y =y0 − · t = −399 − 143 · t t − liczba całkowita.

18. Zadanie 2Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu. Rozwiązanie Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, to 3x + 5y = 149. Otrzymujemy: x = 298 + 5 · t y = −149 − 3 · t, t − liczba całkowita Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem dobrać takie t, aby x = 298 + 5 · t ≥ 0, y = −149 − 3 · t ≥ 0. Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy x = 298 + 5 · t y = −149 − 3 · t, −59 ≤ t ≤ −50.

19. Odpowiedź Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów

20. A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy

24. Równanie a1x1 + ... + anxn = b Twierdzenie Równanie diofantyczne a1x1 + ... + anxn = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a1, ..., an)|b.

25. JAK ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE a1x1 + ... + anxn = b, GDY NWD(a1, ..., an) DZIELIb?

26. Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11. Rozwiązanie Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w. Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań 12x + 15y = 3w 3w + 7z = 11 . Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam sposobem otrzymując rozwiązanie z = 11 − 3 · u, w = −22 + 7 · u. Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania Otrzymując 12x + 15y = 3(−22 + 7u).

27. cd. rozwiązania Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy 4x + 5y = −22 + 7u. Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego rozwiązania równania 4x + 5y = 1. 4 · (−1) + 5 · 1 = 1. wiec 4 · (22 − 7u) + 5 · (−22 + 7u) = −22 + 7u. Odpowiedź: Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka liczb postaci x = 22 − 7u + 5t y = −22 + 7u − 4t z = 11 − 3u gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.

28. Równanie Pitagorasa Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3, 4 oraz 5. Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x2 + y2 = z2 zwanego równaniem Pitagorasa. Trójka x0, y0, z0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx0, dy0, dz0 tez jest rozwiązaniem tego równania, bo (dx0)2 + (dy0)2 = (dz0)2 ↔ x20+ y20 = z20.

29. Rozwiązywanie równania Pitagorasa Definicja Rozwiązanie x0, y0, z0 równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(x0, y0, z0 ) = 1. Uwagi 1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx0, dy0, dz0 , gdzie x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe. 2. Jeżeli x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb x0, lub y0 jest parzysta.

30. Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 równania x2 + y2 = z2, dla którego y0 jest liczba parzystą jest posta x0 = m2 − n2 , y0 = 2mn, z0 = m2 + n2 , gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m > n , NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta. Przykład

31. Wielkie Twierdzenie Fermata Równanie: x n + y n = z n dla n=2 obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. dla n>2 równanie to nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych

32. Równanie Pella • Równanie • x2 – ny2=1 gdzie n>0 • zwane równaniem Pella (od nazwiska • angielskiego matematyka Johna Pella) • nie ma rozwiązań, jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej, • ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.

33. Wnioski • Bardzo częstym zadaniem na konkursach matematycznych, w których członkowie naszych grup biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się ,że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania często związane są z bardzo pomysłowymi rozumowaniami.

34. Bibliografia • W.Sierpiński ,, Czym zajmuje się teoria liczb” • W. Sierpiński ,, O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych” • A.P. Juszkiewicz ,, Historia Matematyki” • Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,,O liczbach i równaniach” • Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,, Miniatury matematyczne” • Zasoby internetowe