CHAPITRE II Caractéristiques géométriques des sections planes

2. Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex CHAPITRE IICaractéristiques géométriques des sections planes Résistance des Matériaux Cours de Tronc Commun

3. Introduction Ultérieurement, pour calculer les contraintes et les déformations des solides étudiés, nous aurons besoin de savoir déterminer un certain nombre de caractéristiques géométriques des sections planes : • Centre de gravité, • Moment statique, • Moments quadratiques

4. y G YG O x XG I. Centre de gravité Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par : Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy. Si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi et yGi) alors :

5. 10 mm 50 mm y 10 mm 50 mm G 20 O x xG I. Centre de gravité Exemple : 2 1

6. y (S) dS Y O x X II. Moment statique Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité : Ce qui donne pour l’ensemble de la section : De même :

7. II. Moment statique Remarques : • pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment statique par rapport à cet axe est nul. • si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :

8. y (S) dS Y O x X III. Moments quadratiques III.1 Moment quadratique par rapport à un axe Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité : Ce qui donne pour l’ensemble de la section : De même :

9. III. Moments quadratiques Remarques : • Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de la section. • Il est toujours positif.

10. y y y’ dS G x y YG O x =S = moment statique/Gx = 0 III. Moments quadratiques III.2 Translation d’axes : Théorème de Huygens Soit un élément dS de S dans le repère Oxy, et soit le repère Gxy qui passe par le centre de gravité G de S et dont les axes sont parallèles à Ox et Oy. Soit : Ce qui donne : Finalement, on obtient : De même :

11. III. Moments quadratiques Théorème : Le moment quadratique par rapport à un axe est égal au moment quadratique par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance entre les deux axes. Calcul pratique : Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments quadratiques connus IOxi et IOyi, alors:

12. III. Moments quadratiques Remarque : Généralement, pour le calcul des contraintes et des déformations, nous avons besoin de connaître le moment quadratique de la section par rapport à son centre de gravité. Donc si la section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus:

13. III. Moments quadratiques III.3 Moment quadratique par rapport à un couple d’axe Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit. Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux axes Ox et Oy est par définition la quantité: Ce qui donne pour l’ensemble de la section: Théorème de Huygens: Remarques: • Le moment produit est une grandeur algébrique • Si un des deux axes est un axe de symétrie pour la section alors IOxy=0

14. III. Moments quadratiques Calculs pratiques : • Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments produits connus IOxyi, alors: • Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:

15. y (S) dS Y O x r X III. Moments quadratiques III.3 Moment quadratique par rapport à un point Ce moment quadratique est aussi appelé moment quadratique (ou d’inertie) polaire. Pour un élément dS, à une distance r de O,le moment quadratique polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la quantité: Ce qui donne pour l’ensemble de la section: Remarque: on peut écrire soit: Finalement, on obtient:

16. y y XG G x YG O x III. Moments quadratiques III.3 Moment quadratique par rapport à un point Changement d’origine (Théorème de Huygens) Soit: ou: Finalement, on obtient:

17. III. Moments quadratiques III.3 Remarques pratiques concernant le calcul des moments quadratiques Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples. 1 1 1 2 2 2 [1]+[2] [1]+[2] [1]-[2]

18. y q (S) Y dS y X Y X q x O x III. Moments quadratiques III.4 Moments quadratiques d’axes concourants III.4.1 Rotations d’axes Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par une rotation d’angle q. Les relations liant les coordonnées dans les deux repères sont: Calculons le moment quadratique / OX :

19. III. Moments quadratiques III.4.1 Rotations d’axes Ce qui nous donne : En passant à l’angle double : On obtient :

20. III. Moments quadratiques De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient : III.4.1 Rotations d’axes Calcul du moment produit : Soit :

21. III. Moments quadratiques Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes (maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / q et annulons ces dérivées: III.4.2 Recherche des directions principales Ces deux expressions s’annulent pour :

22. (A) y q2 Y q1 X x O III. Moments quadratiques Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par les angles: III.4.2 Recherche des directions principales Les directions ainsi déterminées s’appellent les directions principales (ou axes principaux), elles sont orthogonales et définies par la relation: Remarques: • Pour les directions principales, IOXY est nul. • Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie. • Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe principal d’inertie.

23. III. Moments quadratiques Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux (Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY et IOXY, la valeur de q par les solutions de l’équation: III.4.3 Expression des moments quadratiques principaux On obtient ainsi:

24. III. Moments quadratiques Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr Effectuons la somme des carrés, on obtient: Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R

25. Icouples d’axes IOxy Imini IOy IOx Imaxi O C -2q1 Iaxes -IOxy III. Moments quadratiques III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr