1 / 36

Fractal geometry

Fractal geometry. Lewis Richardson, Seacoast line length. East seacoast. 11 x 1km. 10 km. East seacoast. Seacoast line length k.n(k) lim k→0 k.n(k) = D. Weat seacoast. West seacoast. lim k→0 k.n(k) =∞. Self-similarity. Koch snowflake.

hessn
Download Presentation

Fractal geometry

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Fractal geometry

  2. Lewis Richardson, Seacoast line length

  3. East seacoast 11 x 1km 10km

  4. East seacoast • Seacoast line length k.n(k) • lim k→0 k.n(k) = D

  5. Weat seacoast

  6. West seacoast • lim k→0 k.n(k) =∞

  7. Self-similarity

  8. Koch snowflake Niels Fabian Helge von Koch (25.1. 1870 – 11.3.1924 Stockholm)

  9. Length of Koch snowflake 3 4/3 * 3 = 4 4/3*4/3*3 = 5,33 (4/3)3*3=7,11 (4/3)n*3 →∞

  10. Sierpinski carpet

  11. Area of Sierpinski carpet Hole area 1/9 8/9 * 1/9 (8/9)2 * 1/9 (8/9)n * 1/9 Suma 1/9 * ∑(8/9)i = 1 Area of the carpet = 1 – hole area = 0

  12. Menger sponge

  13. Natural fractals

  14. Natural self-similarity

  15. Mathematical definition • Fractal is a shape with Hausdorf dimension different of geometrical dimension

  16. Non-fractal shapes • Refining the gauge s-times • The number of segments increase sD –times • D is geometrical dimension

  17. Dimension of Koch snowflake • Koch curve • 3 x refining => 4 x length • s= 3 => N = 4 • D = logN/logs = log4/log3 = 1.261895

  18. Other Hausdorf dimensions • Sierpinski carpet 1,58 • Menger sponge 2,72 • Pean curve 2 • Sea coastline 1,02 – 1,25

  19. Polynomical fractals • Polynomicalrecursiveformula • Kn+1 = f(kn) • Thesequencedepending on theorigin k0 • Coverges • Diverges • Oscillates

  20. Mandelbrot set

  21. Mandelbrot set • Part of complex plane • z0 = 0,zn+1 = zn2 + c • If for given c the sequence • Converges  c is in Mandelbrot set • Diverges  c is not in Mandelbrot set • Oscillates  c is in Mandelbrot set

  22. Examples

  23. Mandelbrot set

  24. Juliovy množiny

  25. Juliova množina pro dané komplexní číslo c • Pro každý bod komplexní roviny z počítám • z0 = z • Zn+1 = zn2 + c (stejný vzorec jako u Mandelbrotovy množiny) • Pokud posloupnost zn nejde do nekonečna, je bod z prvkem Juliovy množiny pro číslo c, • Tuto množinu značíme Jc

  26. Pozorování • Juliova množina Jc vypadá v okolí bodu 0 podobně jako Mandelbrotova množina v okolí bodu c • Pro body c uvnitř Mandelbrotovy množiny je (0,0) prvkem Juliovy množiny Jc aJuliova množina Jc souvislá • Pro body c vně Mandelbrotovy množiny je Juliova množina Jc nesouvislá, popřípadě prázdná.

  27. Pozorování Pro body c „hodně uvnitř“ Mandelbrotovy množiny je Juliova množina Jc nezajímavý souvislý útvar.

  28. Pozorování Pro body c „hodně vně“ Mandelbrotovy množiny tvoří Juliovu množinu Jc několik izolovaných bodů

  29. Pozorování „Nejzajímavější“ Juliovy množiny vzniknou z bodů, které leží poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, ať již zevnitř

  30. Nebo zvenku

More Related