Educação Matemática Realista

1. Fundamentos de Didáctica da Matemática Educação Matemática Realista Mª João Lagarto Mª José AndradeNuno Longle Sílvia Dias 05/01/2006

2. Educação Matemática Realista As «ideias» de Freudenthal Opõem-se à matemática modernayou are …wrong if you advocate teachingf ready-made axiomatics. (Freudenthal, 1973) • 1905-1990 • 1946 – professor da Universidade de Utrech (Holanda) • 1967-1970 – Presidente do ICMI - The internacional comission on mathematical instruction • 1968 – Educational Studies in Mathematics • 1970 – IOWO - «Instituto do Desenvolvimento de Educação Matemática» Inversão anti-didáctica • Matemática como actividade humana • resolver problemas, • procurar problemas, • organizar fenómenos de acordo com padrões matemáticos - «Os nossos conceitos, estruturas e ideias matemáticas foram inventados como ferramenta para organizar os fenómenos do mundo físico, social e mental.» (Freudenthal, 1983).

3. What humans have to learn is not mathematics as a closed system, but rather as an activity, the process of mathematizing reality and if possible even that of mathematizing mathematics. (Freudehntal, 1968) Matemática como actividade humana Contextos que possam ser considerados como reais para os alunos, que estes possam imaginar (zich REALISEren) (Re)invenção guiada através da Matematização Fenomenologia didáctica Que caminho traçar para levar os alunos a (re)inventarem o que se quer que eles (re)inventem? Desenvolvimento Educacional(Mudança das práticas) Desenvolvimento curricular Implementação do currículo (experimentação na aula)Desenvolvimento de instrumentos de avaliaçãoFormação de professoresFeedback do terreno - «educational development in dialogue with the field».

4. Instituto Freudenthal - Grupo de investigação em educação matemática (Faculdade de Matemática e Ciências da Computação da Univ. de Utrech) Jan de Lange Koeno Gravemeijer «Director» de projectos de investigação no Instituto Professor na Universidade de Utrecht - Research Associate Professor (1998 – 2001) na Univ. de Vanderbilt (EU), em colaboração com Paul Cobb e Kay McClain Autor de livros escolares para o ensino primário Director do InstitutoProfessor na Universidade de Utrecht Professor convidado da Universidade de Wisconsin em Madison (EU) Membro do MSEB, Mathematical Sciences Education Board (EU)Presidente do Mathematical Functional Expert Group do PISA (Programme for International Student Assessment) da OECD Coordenador do projecto de investigação sobre «Matemática e Informação e Tecnologia de Comunicação». (a) O possível papel das TIC no desenvolvimento da simbologia matemática. (b) Forma como as TIC pode apoiar a aprendizagem independente. Coordenador do projecto «Algebra in context, learning and assessment»: (a) O que é a álgebra significativa e quais as formas de ensino e aprender álgebra que são significativas? (b) Como é que sabemos que os alunos aprenderam o que queríamos?

5. Matematização «tornar mais matemático» Gravemeijer (1994) e Treffers (1987) Generality: generalizar (procurando analogias, classificando, e estruturando) Certainty: reflectir, justificar, demonstrar (usando uma abordagem sistemática, formulando e testando conjecturas, etc.) Exactness: modelar, simbolizar, definir (restringindo interpretações e validando) Brevity: simbolizar e esquematizar (desenvolvendo processos standards e notações). Treffers (1978, 1987) • Matematização horizontal – • Os alunos utilizam recursos que lhes permitem organizar e resolver um problema existente numa situação da vida real, • Matematização vertical – Processo de reorganização, dentro do sistema matemático em si. Por exemplo, encontrar conexões entre conceitos, estratégias de resolução e aplicar essas descobertas.

6. Quadro teórico da Educação Matemática Realista Teoria de domínio específico para a educação matemática realista -Gravemeijer

7. Exemplo: Recta numérica vazia Heurística de Gravemeijer (1994) • Como levar os alunos a desenvolver estratégias flexíveis de cálculo (aditivo e subtractivo) com números inteiros até 100? • Parte da hipótese: Os alunos baseiam os seus cálculos em relações numéricas familiares e da análise de processos informais dos alunos. • Partições em dezenas e unidades (e.g., 44 + 37 = …; 40 + 30 = 70; 4 + 7 = 11; 70 + 11 = 81) • Contagens e saltos(e.g., 44 + 37 = …; 44 + 30 = 74; 74 + 7 = 81 ) Conduz a mais erros Beishuizen (1993) Conduz a mais estratégias de resolução Estratégias mais curtas Mais apropriado para uma sequência de ensino.

8. Exemplo: Recta numérica vazia Recta numérica vazia como modelo de apoio ao desenvolvimento de estratégias de cálculo. 38 + 24 • Porquê a recta numérica vazia? • Princípio da reinvenção – Não é ensinar estratégias conhecidas. Traçar um caminho de forma a que os alunos desenvolvam métodos semelhantes. • Forma de simbolizar várias estratégias de contagem. 2. Fenomenologia didáctica • Os números organizam fenómenos quantitativos (diferentes «conceitos» de número) (Freudenthal, 1973) • Counting numbers (contar); numerosity number (cardinal); measurement numbers (medir); reckoning numbers (registar) • Counting number envolvem uma representação linear • Aplicabilidade – situações do tipo linear (distâncias de viagens)

9. Exemplo: Recta numérica vazia 3. Modelação emergente (modelo demodelo para) O modelo no qual os alunos modelam a sua actividade matemática informal se desenvolvam em modelos para um raciocínio matemático mais formal. (Gravemeijer, 2004) 1. Modelos da situação Raciocínio acerca da modelação da situação contextualizada 77  29 • Contagem um a um • Contagem em grupos de dez e um 2. Modelos para o raciocínio, para uma aritmética mais formal • Raciocínio acerca de relações matemáticas • Compensação

10. Metodologia da investigação em educação(Developmental Research ) • Desenvolvimento de material de ensino, «desenho preliminar»: • conjunto de tarefas para um tópico de ensino específico(fracções, adição e subtracção, algoritmos, etc.) • ferramentas de avaliação • software educativo • … • Implementação – testagem em aula • Análise, reflexão e revisão Filosofia da EMR teoria local de ensino conjecturada Teorias locais de ensino Teoria da EMR • Formulação de conjecturas sobre os processos de aprendizagem, onde se antecipa como o raciocínio e a compreensão dos alunos irá evoluir quando as tarefas de ensino são utilizadas na sala de aula.

11. Exemplo de Investigação Barbara Ann van Amerom Reinvention of early algebra Developmental research («exploratório») on the transition from arithmetic to algebra (1995-2002) • Questões de investigação: • Quando e como começam os alunos a ultrapassar a discrepância entre a aritmética e a álgebra, e se ficam «atrasados», que obstáculos é que encontram e porquê? • 2. Qual o efeito de integrar a história da álgebra numa «introdução» experimental do ensino e aprendizagem da pré-álgebra? • Hipóteses: • Através de actividades pré-algébricas os alunos são capazes de ultrapassar a lacuna entre a aritmética e a álgebra. • A história da matemática afecta positivamente o ensino e aprendizagem da introdução da álgebra. As questões iniciais foram-se alterando com o decorrer da investigação. • Antes do projecto:análise sobre a situação baseada na questão: porque é que o currículo existente é insatisfatório? (Gravemeijer, 1998) • Os processos algébricos relacionados com a aritmética são abandonados muito cedo – rápida formalização da sintaxe algébrica. • Linguagem e manipulação algébrica antes da compreensão do poder e das possibilidades da álgebra.

12. Exemplo de Investigação 2. Desenho preliminar: «bricolage guiada por uma teoria» O investigador pode tirar ideias de várias fontes: currículo, textos de educação matemática relatórios de investigação, etc.; a selecção deve ter por detrás a teoria da educação matemática realista (Gravemeijer) • fontes: • história da álgebra Desenvolvimento das notações simbólicas: descrições verbais – simbologia sincopada – notação simbólica Problemas práticos conduzindo a sistemas de eq. e a eq. lineares aparecem simultaneamente. Reinvenção guiada Iniciar por problemas sobre sistemas de equações Diagramas como modelosModelo da barra rectangular Modelação emergente • trajectória de aprendizagem da álgebra do projecto Mathematics in Context; • várias experiências de ensino dos números de Strefland. Não foi desenhada uma trajectória hipotética de aprendizagem completa.

13. Exemplo de Investigação 2. testagem em sala de aula Preocupações: «Validade» : o processo possa ser reconstruído (aprendizagem do investigador ) Descrição da evolução e da reflexão sobre os materiais de ensino. Ciclos de experimentação: Fase de «orientação» (5.º ano) Experiência piloto (5.º e 6.º) Experiência (6.º e 7.º anos)

14. Exemplo de Investigação 3. Teoria local de ensino é reconstruída e assim como a sequência de ensino. (Gravemeijer) Conclusões: A lacuna entre a aritmética e a álgebra só pode ser ultrapassada parcialmente com a ajuda de estratégias pré-algébrica e processos informais de simbolizar, mas não por todos os alunos. Obstáculos na passagem da aritmética para a álgebra: utilização de esquemas e outras formas de representação que apoiem o raciocínio matemático; Simbolizar a incógnita (o desconhecido) Falta de compreensão da incógnitas (quantidades) e das relações entre elas. Uma forma flexível de raciocinar acerca dos símbolos Dificuldade em traçar a educação da álgebra de acordo com os princípios da Ed. Matemática Realista.

15. Impacto nas práticas educativas Educational development in dialogue with the field Teorias locais Protótipos de ensino Developmental research Jornais/Conferências Comunidade Formadores de professoresAutores de manuais, etc. Formação de professores/ Manuais escolares Professores /Prática lectiva Um dos objectivos do Instituto Freudenthal: manter e desenvolver uma rede de comunicação entre professores, investigadores, universidades, os média, os políticos, etc.

16. Profissionalização horizontal – encontro de professores do ensino primário para discutirem as suas práticas profissionais, conjuntamente com peritos Instituto. Math net