A MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

1. A MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA Prof. Ilydio Pereira de Sá UERJ – USS – PEDRO II

2. E a Matemática? Está pronta, acabada, imutável, com existência própria e “fora do mundo”? Para que ensinar Matemática? Quais os objetivos dessa disciplina? Que Matemática ensinar? OU ISTO OU AQUILO Ou se tem chuva e não se tem sol Ou se tem sol e não se tem chuva! Ou se calça a luva e não se põe o anel, Ou se põe o anel e não se calça a luva! Quem sobe nos ares não fica no chão, Quem fica no chão não sobe nos ares. É uma grande pena que não se possa Estar ao mesmo tempo nos dois lugares! Ou guardo o dinheiro e não compro o doce Ou compro o doce e gasto o dinheiro. Ou isto ou aquilo; ou isto ou aquilo... E vivo escolhendo o dia inteiro! Não sei se brinco, não sei se estudo, Se saio correndo ou fico tranqüilo. Mas não consegui entender ainda Qual é melhor: se é isto ou aquilo. Cecília Meireles

3. INTRODUÇÃO: Conhecimentos matemáticos são aplicados na interpretação de fenômenos, em diferentes áreas da ciência, nas atividades tecnológicas e cotidianas. O cidadão necessita da capacidade de leitura e interpretação de informações através de distintas formas de linguagem matemática, de percepção da coerência ou não de uma argumentação, bem como da competência para formular suas próprias idéias de forma consistente, para uma inserção crítica e autônoma na sociedade contemporânea. Dentro deste espírito, espera-se que o estudante e cidadão compreenda os conceitos fundamentais da Matemática, tratados na Educação Básica, de forma a saber aplicá-los em situações diversas, relacionando-os entre si e com outras áreas do conhecimento humano. Nesse sentido, a Matemática Financeira tem se mostrado um elemento positivo e que funciona como um “elo de ligação”.

4. Você sabe responder às questões seguintes? • 1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece as seguintes opções de compra: • à vista, com 30% de desconto sobre o preço de tabela; • com um acréscimo de 20% sobre o preço de tabela, em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias). • Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida? 2) Uma loja oferece uma mercadoria à vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

5. 3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2  0,30103 e log 3  0,47712 4) Calcule quanto uma pessoa deve depositar semestralmente numa conta a prazo fixo, que paga juros de 12% ao semestre, para acumular R$ 50 000,00, daqui a 10 anos, considerando-se que o depósito inicial somente ocorrerá no final do primeiro semestre. 5) Um eletrodoméstico pode ser comprado por R$ 1.500,00 à vista ou com entrada de R$ 450,00 e mais 4 pagamentos mensais de R$ 296,11. Qual a taxa de juros implícita no financiamento proposto? Será que esses tipos de questões costumam, normalmente, ser trabalhadas nas séries da Educação Básica? Será que nossa formação contempla tais discussões?

6. E PARA QUE ELA SERVE? Tenho a certeza, após muitos anos de magistério, que as respostas às duas últimas perguntas é NÃO. A Educação Básica, na maioria dos casos, ignora completamente a Matemática Financeira e, quando não o faz, trabalha num verdadeiro “conto de fadas” como se vivêssemos num país com economia a “juros simples”. Lembra da famosa “fórmulazinha” que está na maioria dos livros do Ensino Fundamental? Para quase nada...infelizmente!

7. Veja o exemplo abaixo extraído de um importante livro do Ensino Fundamental...(Antiga 5ª série) Uma criança consegue resolver tal questão só com os conhecimentos de porcentagem e juros simples ?????

8. Números racionais Equações Polinomiais Porcentagem PA e PG Logaritmos Equações Exponenciais A grande vantagem da Matemática Financeira e da sua inserção na Educação Básica é, além de amplas possibilidades de contextualização, permitir relacionar diversos conteúdos tradicionais da Educação Básica, desde as primeiras séries do Ensino Fundamental. MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

9. solução OS DOIS GRANDES “SEGREDOS” DA MATEMÁTICA FINANCEIRA • OS FATORES DE CORREÇÃO • VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Casos comentados 1) O senhor “Enkren Kado”, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00? • FATOR DE AUMENTO = 100% + 32,5% = 132,5% = 1,325 • NOVO PREÇO = 1,325 x 60,00 = 79,50

10. solução solução 2) Ritinha, em Setembro, obteve uma correção salarial de 15%, sobre o salário de Agosto, passando a receber R$ 908,50. Quanto recebia em Agosto? • A x 1,15 = 908,50  A = 908,50 :1,15 = 790,00. • Logo, em agosto, Ritinha recebia R$ 790,00 3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento? • 34,00 x F = 47,00 • F = 47 : 34 = 1,3824 (Fator de correção) • 1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento Percentual)

11. solução 4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ? • 47 x F = 34 • F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução) • 0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final) • 100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percentual)

12. solução $70 30 d $100 5) Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 30%, ou então com pagamento normal, sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento? Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada em 100 reais. Com o desconto de 30%, o preço à vista seria de 70 reais. • F = 100 / 70 1,4286 • Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de 42,86% • Observe que o preço à vista é de 70 reais e não de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o cálculo dos juros.

13. solução $70 Saldo devedor $20 30 d $50 $50 6) O que aconteceria no problema anterior, se a opção pelo pagamento do preço de tabela, fosse subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato da compra e outra a 30 dias da compra? F = 50 /20 = 2,5 Logo, a taxa de juros cobrada seria de 150% em um mês.

14. RESUMINDO AS COISAS ... F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%) F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%) Primeiro “Segredo” – Fatores de Correção • Exemplo: Seja uma taxa de 3,5% • Taxa percentual = 3,5%  taxa unitária = 0,035 • fator de aumento 1,035 • fator de redução = 0,965

15. +12% +12% +12% AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOS 7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3 aumentos sucessivos de 12%? solução P P x 1,12 (P x 1,12) x 1,12 ((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 = P x 1,123 P x 1,123 = P x 1,4049 Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49% Aumentos ou reduções sucessivos – Multiplica-se os respectivos fatores de correção

16. +8% +X% 8) Certa classe trabalhadora conquistou, no mês de julho de 2006 (em dissídio coletivo), um reajuste salarial de 15%, sobre os salários de janeiro de 2006, descontadas as possíveis antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho de 2006 uma antecipação de 8%, sobre os salários de janeiro. Qual o valor do reajuste complementar, devido a tal classe trabalhadora, sobre os salários de junho de 2006? solução • Verifique que se trata de um caso de aumentos sucessivos. O segundo aumento (a determinar), sobre o primeiro (antecipação de 8%), terão de dar um total acumulado de 15%. JAN. 06 JUN. 06 = 15% • 1,08 x F = 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO SERÁ: • F = 1,15 : 1,08 1,065 • Conclusão: Deverão receber um reajuste complementar de 6,5%, aproximadamente.

17. 5% +X% (aumento real) inflação • IMPORTANTE: Assim como aumentos sucessivos são calculados pelo produto dos fatores de correção, as subtrações geradas por taxas sucessivas devem ser calculadas através da divisão dos respectivos fatores de correção. • 9) Uma mercadoria aumentou 12% num mesmo período em que a inflação correspondente foi de 5%. Qual a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria? • Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há inflação, o aumento sofrido por algum preço é constituído por duas parcelas: a correção da inflação e o aumento real (quando há). = 12% (Taxa nominal) • Logo, F = 1,12 : 1,05 1,067 • A taxa de aumento real da mercadoria, foi de 6,7%

18. Jornal do Brasil – 30 de abril de 2004 10) Trabalhando com a Notícia na sala de aula ... FATOR DE AUMENTO = 260 / 240 1,0833 TAXA DE AUMENTO = 0,0833 x 100 = 8,33 % Ou (1,0833 – 1) x 100 Taxa real de aumento ... • F = 1,0833: 1,0702 1,012 (fator de aumento) • A taxa de ganho real do salário mínimo, foi de 1,2% e a notícia estava correta.

19. O 2º Segredo... “O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO”

20. x F n PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. NUMA DATA FUTURA, O DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR Fn E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR Fn. A B 11) Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2006. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra propôs pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2006, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia teve de pagar à loja? solução Como Lídia pagou com uma antecipação de 1 mês, no cálculo basta DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 reais.

21. 12) Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas: R$ 10 000, prazo de 1 mês; R$ 20 000, prazo de 3 meses; R$ 40 000, prazo de 6 meses. No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

22. 0 1 2 3 4 5 6 solução 10 000 20 000 40 000 0 1 2 3 4 5 6 W 10 000 20 000 40 000

23. solução 5000 1 2 3 0 2500 x 13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos). 2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)3 2625 + x = 5788,13 x = 3163,13

24. solução 400 1 2 0 220 220 14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja? Sugerimos “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor à vista) com as saídas (pagamentos mensais). 400 . F2 = 220 . F + 220 40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0 Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40 Logo, F = 1 + i  1,067 ou i  0,067 ou ainda i  6,7%

25. SALDO = $210 $450 $180 $180 $240 Aliás…lembra da questão retirada do livro da antiga 5ª série? Ela teria de ser resolvida como a questão anterior. Vejamos: Preço a vista = 600 x 0,75 (25% de desconto) = 450 reais. Entrada = 0,4 x 600 = 240 reais Valor de cada prestação = 360: 2 = 180 reais. Equação que resolve o problema:

26. solução 15) Cálculo do tempo... Equações Exponenciais e logaritmos. Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021 580 x (1,05) n = 900 (1,05) n = 1,55 ou então n . log (1,05) = log (1,55) n = log (1,55) / log (1,05) n = 0,1903 / 0,021 n  9 meses

27. 12.000 i = 8 % a.a. 0 n 5.000 16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2  0,30103 e log 3  0,47712

28. solução 17) (CONCURSO DE PROFESSORES – PEDRO II – 2007) Um certo capital foi investido a juros compostos, com uma taxa de 20% ao mês. O tempo que levará para que este capital triplique é de:(log 2  0,30 e log 3  0,48). A) 5 meses B) 10 meses C) 8 meses D) 6 meses Se designarmos o capital por C, o Montante final será 3C. Logo, Cálculo do log 1,2

29. Livro: Matemática Financeira na Educação Básica Vendas no site: www.sotese.com.br Prof. Ilydio Pereira de Sá www.magiadamatematica.com ilydio@gmail.com

30. LANÇAMENTO A MAGIA DA MATEMÁTICA: ATIVIDADES INVESTIGATIVAS, CURIOSIDADES E HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA – ED. CIÊNCIA MODERNA www.lcm.com.br www.submarino.com.br www.saraiva.com.br www.cultura.com.br