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Processi Relativistici e Spazio delle Fasi

Processi Relativistici e Spazio delle Fasi. Processi Relativistici (1). Richiamo: Matrice S e matrice T per transizioni non relativistiche: Estensione a processi relativistici : H’ e’ densita ’ volumetrica d’Hamiltoniana d’interazione. Processi Relativistici (2). Commenti :

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Processi Relativistici e Spazio delle Fasi

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Presentation Transcript

  1. ProcessiRelativistici e SpaziodelleFasi

  2. ProcessiRelativistici (1) • Richiamo: Matrice S e matrice T per transizioni non relativistiche: • Estensione a processirelativistici: • H’ e’ densita’ volumetricad’Hamiltonianad’interazione Fabrizio Bianchi

  3. ProcessiRelativistici (2) • Commenti: • Equivalenzamassa-energiaconsentecreazione e distruzionediparticelle. • tramitel’interazionevienedistrutto lo statoiniziale e creato lo stato finale. • Glielementidimatricesono al minimo del secondoordine: scattering di 2 particellerichiedeinterazionediciascuna con il campo che media l’interazione. • L’interazioneavvienetramite lo scambiodiparticellevirtuali (off-mass-shell perche’ non rispettano la relazione E2=p2+m2) • d(4)(pi-pf) garantisceconservazione del 4-impulso • Sviluppoperturbativodisolitorappresentatopittorescamentetramitediagrammidi Feynman, nellaloroversionecovariante Fabrizio Bianchi

  4. ProcessiRelativistici (3) • Probabilita’ ditransizione per unita’ di tempo: • Estensione al casorelativistico: • Densita’ di rate d’interazione • Daintegraresullospaziodellefasiaccessibileallostato finale Fabrizio Bianchi

  5. ProcessiRelativistici (4) • Normalizzazione: 1 particella in volume V • Imponendocondizioniperiodichesuciascunlato (L=V1/3): • Da cui ilnumerodistati per intervallodipx: Fabrizio Bianchi

  6. ProcessiRelativistici (5) • Per N particelle: • Problema: e’ unaespressione non invariantedi Lorentz. Infatti: Fabrizio Bianchi

  7. ProcessiRelativistici (6) • Pero’: • E’ invariante. Alloraridefiniamodn come: • Attenzione: ilfattoredispaziodellefasioracontiene N fattori extra 1/Eicheoccorrecompensare. Si ridefiniscel’elementodimatrice Fabrizio Bianchi

  8. ProcessiRelativistici (7) Fabrizio Bianchi

  9. ProcessiRelativistici (8) • NB: rate ditransizione NON e’ invariantedi Lorentz. • Integralee’ sommadiquantita’ invarianti • La divisione per Ea o EaEbrendeil rate non invariante • Ok per decadimento: inverso del rate e’ la vita media dellostato (instabile) che non e’ ovviamente un invariante (dilatazionedei tempi). • Anche per le reazioniil rate misurato in interazioni/unita’ di tempo non e’ invariatevistochel’unita’ di tempo dipendedalriferimentoscelto. • E’ possibiledefinireunaquantita’ invariante: la sezioned’urtototale Fabrizio Bianchi

  10. ProcessiRelativistici (9) • Sezioned’urtototale: • Flusso: Fabrizio Bianchi

  11. ProcessiRelativistici (10) • M contiene le funzionid’ondadelleparicelleiniziali e finali. • Decadimenti: • Reazioni: Fabrizio Bianchi

  12. ProcessiRelativistici (11) Fabrizio Bianchi

  13. Invarianti e Non • N.B.: • σ :Sez. d'urto totale e’ invariante di Lorentz • Significato classico: Area efficace intercettata dal proiettile • Area: Non dipende dal riferimento (grandezza trasversale) • Γ : Rate totale di decadimento: non e’ invariantedi Lorentz • Vita media: t =1/Γ • Dipende dal riferimento (v. dilatazione dei tempi) Fabrizio Bianchi

  14. SpaziodelleFasi (1) • Supponiamoche M non dipendadagliimpulsidelleparticellefinali. Escedall’integralechequindisiriduce al purofattoredispaziodellefasi: • Spessoevidenzaeffettidinamicirilevataconfrontando le distribuzionistatisticheosservate con quelleprevistedal solo spaziodellefasi. • Rn e’ funzionedell’energiatotale (uguale in statiiniziale e finale) ed e’ unamisura del peso statisticototaledellaconfigurazionedellostato finale. • Possibilelimitarel’integrazione ad alcunideigradidiliberta’ dellostato finale, ottendodistribuzionistatistichediRnrispetto ad una o piu’ variabilidellostato finale Fabrizio Bianchi

  15. SpaziodelleFasi (2) • Proprieta’ dell’elementoinvariantedispaziodellefasi: Fabrizio Bianchi

  16. SpaziodelleFasi a Due Corpi(1) • L’integraletotalesullospaziodellefasi a 2 corpi: • Integrandosu p2 (usando la d): • L’argomentodellad e’ un invariante e sipuo’ calcolare in qualsiasiriferimento. Nel CM: Fabrizio Bianchi

  17. SpaziodelleFasi a Due Corpi (2) • Quindi: • Poiche’: Fabrizio Bianchi

  18. SpaziodelleFasi a Due Corpi (3) • R2(E) sipuo’ scrivere: Fabrizio Bianchi

  19. SpaziodelleFasi a Due Corpi (4) • Il rate totale e’: • Per ottenere la distribuzioneangolareoccorredivideteil rate differenziale per il rate totale: • Spaziodellefasi e’ fattorepuramentestatistico -> distribuzioneangolareuniforme. Fabrizio Bianchi

  20. SpaziodelleFasi a TreCorpi (1) Fabrizio Bianchi

  21. SpaziodelleFasi a TreCorpi (2) Fabrizio Bianchi

  22. SpaziodelleFasi a TreCorpi (3) • Eseguendol’integrazionesu cosq13 (siriporta ad un’integrazionecheelimina la dvistoche cosq13 dipendeda E2): • Le variabiliangolari non sonovincolate e siintegranosubito. Rimane: • Dove l’integrale e’ estesoallaregionecinematicamentepermessa (Dalitz Plot !). Il rate differenziale: • E’ costante e mostrache, in assenzadieffettodell’elementodimatrice, la popolazionestatistica del DP e’ uniformementedistribuita. Fabrizio Bianchi

  23. p-p -> p+p-n • In assenzadieffettidinamici: Dalitz Plot uniforme • Nel plot dati ad un energianel CM di circa 3.8 GeV • Addensamenti e rarefazionineidatisonosegnodifortieffettidinamici • E’ equivalentepresentareil plot in termini di masse invarianti al quadrato o dienergie: Fabrizio Bianchi

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