La Regla de la Cadena

1. La Regla de la Cadena Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers

2. Introducción Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t), ambas funciones derivables, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple: Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones:

3. Caso 1 Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que: Veamos esta fórmula de manera gráfica:

4. Caso 1 Z =f (x,y) x y + t t

5. Ejemplo Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva x t + T y t

6. Continuamos… Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces

7. Caso 1 ( General) Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:

8. Caso 2 Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:

9. Caso 2 Z =f (x,y) x y s t s t + +

10. Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y , z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen. Entonces

11. w=f (x,y,z) x y z s s t t t s

12. Ejemplo Demuestre que Z =f (x,y) x y r  r 

13. Continuamos…

14. Se sigue que …

15. Por lo tanto

16. Segunda derivada La segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original. Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)). Veamos el siguiente ejemplo:

17. Ejemplo… Muestre que cualquier función de la forma Donde a es una constante, cumple con la ecuación: Solución: Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces

18. Calculemos ahora

19. 

20. Ejemplo Demuestre que: Solución: Del ejemplo anterior, tenemos que

22. Por otra parte,

24. Simplificando resulta, Así, COMPRUEBELO!!

25. Ecuación de Laplace Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el Laplaciano de f Y se denomina la ecuación de Laplace a:

26. Ejemplo Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es, Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace. Demostración: Lo que queremos probar es que:

27. Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces Z =f (u,v) u v x y x y

30. Entonces, Ecuación de Laplace para f

31. Derivación Implícita Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto: Tenemos la ecuación

32. Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular  z/ x, z/y .

33. Supongamos que queremos calcular  z/ x

34. Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:

35. Ejemplo Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, esto es z=f(x,y). Calcular  z/ x. Solución: Sean u=xy , v = z/y