Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku, • Liceum Ogólnokształcące im. J. Dąbrowskiego w Międzychodzie • ID grupy: 97/8_MF_G2,97/31_MF_G1 • Opiekun: Dorota Dorożyńska, Leszek Kowalewicz • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • Problemy ekstremalne w geometrii trójkąta • Semestr/rok szkolny: • II/2010/2011

3. Trójkąt - co to za figura? • Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółlniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

4. Informacje • Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki. • Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami. • W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności. • Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

5. Ważne elementy trójkąta • Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta. • Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem ciężkości (środkiem masy, barycentrum) trójkąta. • Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

6. Wysokości Symetralne

7. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. • Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta. Dwusieczne kątów wewnętrznych

8. Ważne punkty • Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi. • Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt. • Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty. • Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

9. Punkt Nagela Punkt Gergonne’a

10. Punkt Fermata Punkt Brocarda

11. Podział trójkątów ze względu na Boki: • Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: • trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; • trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; • trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary. Trójkąt różnoboczny Trójkąt równoramienny Trójkąt równoboczny

12. Własności trójkąta Równoramiennego • Trójkąt ten ma (co najmniej jedną) oś symetrii , która pokrywa się z wysokością, środkową, dwusieczną i symetralną opuszczonymi na podstawę. • Szczególne przypadki trójkąta równoramiennego: • trójkąt równoboczny - dowolne dwa boki można uznać za ramiona, • równoramienny trójkąt prostokątny - kąt prosty może być jedynie między ramionami. Długość podstawy jest równa długości ramienia.

13. Związki metryczne w trójkącie równoramiennym • Zależność między kątami: • Zależność między długością podstawy i ramienia: • Pole trójkąta równoramiennego: • gdzie: • a - długość podstawy; • b - długość ramienia; • β -miara kąta przeciwległego do a czyli kąta między ramionami miara kąta przy podstawie

14. Własności Trójkąta równobocznego: • Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę: • Jego obwód wynosi: • Wysokość ma długość: • Pole powierzchni jest równe: • Długość promienia okręgu wpisanego wynosi: • Długość promienia okręgu opisanego wynosi: • Jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi, oraz dzielą się w stosunku 1 : 2, • Jest to szczególny przypadek trójkąta równoramiennego.

15. Podział trójkątów ze względu na kąty: • Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się: • trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; • trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej; • trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty. Trójkąt ostrokątny Trójkąt prostokątny Trójkąt rozwartokątny

16. Trójkąty pitagorejskie • Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: a2+b2=c2. Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne. Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego, wyrażony wzorem 32+42=52.

17. Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek a2+b2=c2, Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci: • a=2n+1,   • b=2n(n+1),   • c=2n2+2n+1, • (I) (2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2 • gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną.

18. Oto tabelka ułożona na tej zasadzie:

19. Z tabelki powyższej wynika, że liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz  z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskich trójkąta: • 4, 5, 32 ... 12, 13, 52 ... 24, 25, 72 ... 40, 41, 92 ... 60, 61, 112 ... 84, 85, 132

20. Oprócz wzoru (I) przypisywanego Pitagorasowi, znane są inne znacznie późniejsze wzory do odnajdowania trójkątów pitagorejskich. Oto jeden z nich: • (II)     (m2 + n2)2=(m2 - n2)2 + (2mn)2. • W równaniu tym w miejsce m i n podstawiać można dowolne liczby naturalne (pod warunkiem, że m>n). Wzór (II) jest ogólniejszy niż wzór (I) i zawiera wszystkie możliwe trójki pitagorejskie. Jeżeli chcemy uniknąć powtarzania się trójkątów pitagorejskich podobnych (podobne są np. trójkąty o bokach: 3, 4, 5 i 6, 8, 10), to należy przestrzegać następujących reguł: • jedna z liczb m i n powinna być parzysta, druga nieparzysta, • liczby m i n powinny być pierwsze względem siebie, czyli nie powinny mieć żadnego wspólnego dzielnika z wyjątkiem jedności, • m > n.

21. Poniższa tabelka ułożona jest w myśl powyższych reguł:

22. Twierdzenie pitagorasa • W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. • Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

23. Wzory na pole trójkąta • Przyjmując dla trójkąta ABC następujące oznaczenia: • a, b, c - długości boków; • - wysokości opuszczone na boki odpowiednio; • - kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio; • - pole powierzchni; • - promień okręgu opisanego; • - promień okręgu wpisanego; • - połowa obwodu; • dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni:

24. (postać wyznacznikowa) (wzór Herona);

25. Twierdzenie Cosinusów • W dowolnym trójkącie zachodzi następujący wzór cosinusów: • Gdzie c jest dowolnym bokiem trójkąta, a i b jego pozostałymi bokami, a C kątem leżącym naprzeciwko boku c. • Wniosek: Cosinus kąta α dowolnego trójkąta wyraża się wzorem: • skąd

26. Twierdzenie sinusów • W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie. • Zależność tę można zapisać następująco:

27. Przykładowe zadanie: • Dwa statki zakotwiczone na redzie obok siebie, wypływają w tym samym czasie i poruszają się wzdłuż prostych, które tworzą kąt 32°20’. Prędkość jednego ze statków jest równa 28 węzłów (28w.). Po upływie 3,5 godziny (3,5h) odległość między statkami była równa 72 mile morskie (72mi). Przyjmując, że morze jest płaskie, oblicz prędkość drugiego statku, jeśli wiadomo, że płynął on z prędkością powyżej 20 węzłów. Wynik podaj w przybliżeniu do jednego węzła. • Rozwiązanie: • Przyjmując oznaczenia: • - prędkości poruszania się statków, • - długości dróg, które pokonały statki, • d - odległość między statkami po upływie 3,5h, mamy:

28. Dane: t=3,5h, d=72 mi, α=32°20’, • Szukane: • Jeżeli przyjmiemy, że statki wyruszyły z punktu P, a po upływie 3,5 godziny znalazły się odpowiednio w punktach A i B, to modelem tej sytuacji jest trójkąt PAB (rysunek obok), Z fizyki wiadomo, że droga s=vt, zatem: • , czyli • Z twierdzenia sinusów mamy: skąd B γ d β α P A

29. Wyznaczamy drogę przebytą przez drugi statek. • Odp. Drugi statek płynął z prędkością około 38 węzłów.

30. Twierdzenie Talesa • Jeśli ramiona kąta płaskiego przetnie się 2 równoległymi prostymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym z ramion kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, a zatem |OA|:|OB| = |OA’|:|OB’| oraz |OA|:|OB| = |AA’|:|BB’| (rys.). Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: jeśli długości odcinków wyznaczonych przez 2 proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

31. zadania • Zad.1 • Cosinus kata ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy a przeciwprostokątna ma długość 12. Oblicz długość przyprostokątnych.

32. Zad 1 • Dane: • cos= • c= 12 • Rozwiązanie: • cos = • cos

33. Zad 2 • Zad2. • W trójkącie prostokątnym, przeciwprostokątna ma miarę 9cm, a kąt ostry 30. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta.

34. Zad 2 • Dane: c= 9cm • Rozwiązanie: • Sin30= • a= 9*sin30

35. ZAD 3 • Zad.3 • Liczba sin65 jest: • Większa od • Większa od • Większe od 1 • Mniejsze od