Treball de recerca

1. Treball de recerca Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia Rosa García Pérez Febrer 2005

2. D’on prové la Topologia? I per què serveix? Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

3. Qui va tractar o influir en la Topologia? Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

4. Qualsevol persona pot resoldre alguns problemes topològics, amb els coneixements que té? Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

5. Transformacions geomètriques equivalents Conceptes topològics Si una figura és feta de goma es pot deformar i obtenir una altra figura diferent, però equivalent a l’anterior. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

6. Corbes de Jordan En el pla, una circumferència és topològicament equivalent a un triangle, a un quadrat,... Aquestes figures s’anomenen corbes de Jordan o cobres tancades simples. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

7. Característica: defineixen un interior i un exterior, i no es tallen elles mateixes. Per saber si el punt A està dins o fora: nombre de talls segment AB. • si és parell, A està fora. • si és senar, A estarà dins. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

8. Forats topològics Les regions que no tenen cap forat en el seu interior s’anomenen “simplement connexes”. • Totes elles són connexes; hi ha, però, algunes diferències: • el nombre de forats és diferent. • el nombre de corbes de Jordan que defineix la seva vora és diferent. • si li fem un tall qualsevol a la superfície A deixa de ser connexa. • a la resta de superfícies és possible fer talls de forma que la superfície segueixi essent connexa. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

9. Laberints Sortida d’un laberint. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

10. Teorema dels quatre colors Els matemàtics Appel i Haken van aconseguir demostrar que un mapa es podia pintar amb quatre colors. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

11. Jocs topològics: el Melnitsa de sis És una versió del tres en ratlla, però s’hi juga amb sis fitxes. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

12. Cinta de Möbius És una superfície descoberta el 1958 per F. A. Möbius, matemàtic i astrònom alemany. Construcció d’una cinta de Möbius: Una característica d’aquesta cinta és que té una sola cara. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

13. En fer una volta completa a la cinta de Möbius, s’intercanvien dreta i esquerra, per aquesta raó es diu que és no orientable. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

14. En el pla el nombre màxim de punts que es poden connectar és quatre. S’anomena nombre cromàtic. Les superfícies no orientables són aquelles en què el nombre cromàtic és major de quatre. En aquesta figura està resolt el problema de la connexió de canonades i les cases sobre una cinta de Möbius: Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

15. Nusos topològics R. Courant diu que: “Un nus es fa corbant i enllaçant un tros de corda i unint després els extrems”. No té nus Sí té nus Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

16. Què passa quan tallem dos cops una cinta de Möbius? La seva vora és un nus? Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

17. Grafs Els grafs es componen de vèrtexs, arestes i llaços. Amb això podem distingir les diferents regions que pot tenir un graf. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

18. A partir d’una matriu podem extreure informació per fer un graf i a l’inrevés. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

19. Arbres Els grafs simples, connexes i sense llaços s’anomenen arbres. Aquest graf no és un arbre: Però es pot reduir a un arbre: Traiem...4,5 Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

20. Com recórrer camins El problema dels set ponts de la ciutat de Königsberg, a Prúsia. Consisteix a determinar si una persona pot fer una passejada, de manera que creui un sol cop cada un dels set ponts que hi ha a la ciutat i torni al lloc de partida. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

21. Una representació de la ciutat de Königsberg: Simplificant i esquematitzant el problema, obtenim el següent graf, que reuneix tota la informació necessària. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

22. Grafs d’un sol traç Solució d’Euler: • Si tots els vèrtexs són parells, el problema té solució. • Si hi ha dos vèrtexs senars també té solució. • Si hi ha 4, 6, 8... vèrtexs senars, el problema no té solució. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

23. D’Euler a Fleury L’algorisme de Fleury permet trobar un recorregut eulerià. Aplicació de l’algorisme: Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

24. 1. Sabries dir on es troben els punts A, B i C, dins o fora del dibuix? Estudi a l’IES Celestí Bellera Dins Fora A B Enquesta C Sabries dir alguna norma fàcil per trobar la solució? Explica-la. Si col·loquem qualsevol altre punt fora i fem una línia del punt de dins cap al de fora, si les interseccions que fa és parell el punt estarà a fora i si és senar estarà a dins.

25. Dins i fora Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

26. 2. Quines figures són equivalents? a) B,D i E b) A, C i E c) D i A d) Cap de les anteriors Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

27. Figures equivalents Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

28. 3. Quants camins diferents hi ha per trobar la sortida a aquest laberint? Fes d’un color diferent cadascun. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

29. Laberint Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

30. 4. Es pot pintar aquest dibuix amb quatre colors sense que cap del mateix color es toqui? Fes-ho tu. Quatre colors Dos colors Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

31. Els quatre colors Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

32. Conclusions • La Topologia és una branca de la Geometria, però no es basa ni en càlculs ni mides. • La Topologia serveix per resoldre problemes en el pla com la distribució de canonades. • Els que van tractar la Topologia eren matemàtics, físics, astrònoms... de diferents èpoques, comLeonhard Euler, F. A. Möbius, Camille Jordan, Miguel de Guzmán... • No fa falta que una persona tingui conceptes topològics per resoldre algunes qüestions. Però en alguns aspectes, els més petits tenen una ment més oberta i encara no tenen una idea prefixada de les coses. Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia

33. Treball de recerca Amb nusos, cintes i camins arribem a la Topologia