UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia O Método dos Elementos Finitos Generalizado Aplicado à Análise de Vibrações Livres de Vigas de Euler-Bernoulli Aluno: Marcos Arndt Orientador: Prof Dr Roberto Dalledone Machado Co-Orientador: Prof Dr Adriano Scremin

2. 1.INTRODUÇÃO • Avanços tecnológicos => estruturas leves e esbeltas. • Real comportamento dinâmico das estruturas. • Solução exata somente para geometrias muito simples. • Métodos numéricos: - Método dos Elementos Finitos (MEF) - Método Composto (MC) - Método dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG)

3. 2.Método dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG) • Combinação do MEF com o Método da Partição da Unidade (Melenk e Babuska, 1996). • Também conhecido como Método dos Elementos Finitos Estendido (MEFE). • Incorpora ao espaço solução aproximado características locais da equação diferencial previamente conhecidas.

4. {i} uma partição unitária tal que: Bases teóricas da partição da unidade: • Rne {i} uma cobertura aberta de  • Espaço global V utilizado para aproximar u em :

5. 3.MEFG APLICADO A PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS RETAS • Equação governante da vibração: • Vibração livre de viga reta com seção uniforme:

6. 3.1. Formulação Variacional Encontrar (,u), comuH2(0,L) satisfazendo as condições de contorno e R, tal que para todas as funções testes admissíveis

7. 3.2. Método dos Elementos Finitos Generalizado Solução aproximada do MEFG: uMEF uENRIQUECIDO Partição da Unidade uMEF g.l. nodais:

8. uENRIQ. MEFG MC: g.l. campo: MEFG MMA: MEFG Trig.:

9. 4.APLICAÇÕES 4.1. Viga uniforme engastada-livre • Solução exata:

10. Resultados para o refinamento p:

11. Resultados para o refinamento p:

12. Dados comparativos do MEFG para viga engastada-livre :

13. 4.2. Viga uniforme bi-rotulada • Solução exata:

14. Resultados para o refinamento p:

15. 4.3. Viga uniforme engastada-livre com massa concentrada na extremidade

16. 4.4. Viga engastada-rotulada composta por dois materiais diferentes

17. 5.CONSIDERAÇÕES FINAIS • Resultados indicam potencial do MEFG. • Desenvolvidos elementos de barra e viga. • Desenvolvimento do MEFG adaptativo. • MEFG adaptativo tem apresentado rápida convergência e alta precisão.

18. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia O Método dos Elementos Finitos Generalizado Aplicado à Análise de Vibrações Livres de Vigas de Euler-Bernoulli Aluno: Marcos Arndt Orientador: Prof Dr Roberto Dalledone Machado Co-Orientador: Prof Dr Adriano Scremin