Теория пластин

1. Теория пластин Теория гибких пластин Основные гипотезы Геометрические соотношения Определение обобщенных внутренних усилий.

2. Основные гипотезы • Пластинки, прогиб которых превышает 1/4 толщины, называют гибкими (рис.1). Перед рассмотрением построения теории гибких пластин, проанализируем выполняемость основных гипотез теории пластин: • гипотеза о прямых не деформируемых нормалях (+), • гипотеза о недеформируемой срединной поверхности ((-), так какU0 ≠0,Vo≠0), • гипотеза о ненадавливании слоев друг на друга ((+), так как σz=0). Рис.1 Тонкая гибкая пластина

3. Геометрические соотношения Следуя 1-й гипотезе (εz =0) и используя соотношения Коши получим, что функция прогиба пластины w = w(x,y) не зависит от координаты z. Также следуя 1-й гипотезе о сдвигах (yxz= yyz=0), запишем (1) откуда находим производные перемещений (2)

4. Геометрические соотношения интегрируя уравнения по z, получим (3) и для определения функций f1 и f2 используем условие на срединной поверхности 2-й гипотезы: (4) Следовательно,f1 = U0, а f2 = V0 и окончательно получим (5)

5. Геометрические соотношения Найдём компоненты тензора деформации произвольной точки пластины (6) где εx°, εy° и γxy° - компоненты тензора деформации срединной поверхности (тензор мембранной деформации). Для установления связи между тензором мембранных деформаций и вектором перемещений нельзя использовать тензор малых деформаций - тензор Коши и соответствующие геометрические соотношения. Необходимо использовать нелинейные геометрические соотношения - тензор деформаций Грина: (7)

6. Геометрические соотношения

7. Определение обобщенных внутренних усилий Для определения компонент тензора напряжений воспользуемся обобщенным законом Гука: (10) и, подставляя компоненты тензора деформаций, получим: (11)

8. Определение обобщенных внутренних усилий По аналогии с тензором мембранных деформаций εij°, удобно ввести тензор мембранных напряженийσij°, тогда соотношения примут вид (12) Исследуем внутренние усилия, возникающие в гибкой пластине. Рассмотрим элемент dxdy (рис.2.). Усилие (13)

9. Определение обобщенных внутренних усилий создается мембранными напряжениями, поэтому его называют мембранным усилием; аналогично мембранное усилие (14) Рис.2. Внутренние усилия в гибкой пластине

10. Определение обобщенных внутренних усилий Мембранное сдвиговое усилие: (15) Изгибающий момент: (16) (17) Где , (18) Аналогично (19) Крутящий момент (20)