PERTEMUAN KE-11 11. POLINOM NEWTON-GREGORY

1. PERTEMUAN KE-11 11. POLINOM NEWTON-GREGORY Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi, nilai-nilai x berjarak sama, misalnya pada tabel nilai fungsi atau pada pengukuran yang dilakukan pada selang waktu yang teratur. Untuk titik-titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana . Selain itu, tabel selisih terbaginya pun lebih mudah dibentuk dan lebih sederhana. Kita namakan tabel tersebut sebagai tabel selisih saja, karena tak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen tabel. Ada dua macam tabel selisih, yaitu tabel selisih maju ( forward difference) dan tabel selisih mundur (backward difference) . Karena itu ada dua macam polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory maju dan polinom Newton- Gregory mundur. 11.1 POLINOM NEWTON-GREGORY MAJU Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju ( forward difference) , misalkan diberikan lima buah titik dengan absis x yang berjarak sama. Maka tabel selisih maju yang dibentuk adalah sebagai berikut, TABEL SELISIH MAJU UNTUK n 5 Lambang (baca: delta) menyatakan selisih maju dan arti setiap simbol di dalam table adalah sebagai berikut, metnum pkk http://www.mercubuana.ac.id 1 zakaria

2. f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 )  x2 x0 fx2 , x1 fx1 , x0  x2 x0 x2 x1 x1 x0 fx2 , x1 , x0  f1f 0 2 f 0 2h 2 2 f 0 2!h 2 h 2h    …………………………(11.2) Bentuk umum dari proses diatas adalah sebagai berikut, n f ( x0 ) n!h n n f 0 n!h n fxn ..., x1 , x0  ……………………………………(11.3) Dengan demikian polinom Newton untuk titik data yang berjarak sama dapat ditulis sebagai, Pn ( x) NGn ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) fx1 , x0 ( x x0 )(x x1 ) fx2 , x1 , x0 ... ( x x0 )(x x1 )...( x xn1 ) fxn , xn1 , xn2 ,...x1 , x0 f 0 1!h 2 f 0 2!h 2  ...  f 0 ( x x0 )  ( x x0 )( x x1 ) n f 0 n!h n ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) ....................................(11.4) Persamaan (11.4) disebut polinom Newton-Gregory maju, yang juga dapat dinyatakan sebagai, n f 0 n!h n pn ( x) NGn ( x) pn1 ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) ...................(11.5) Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai, xi x0 ih , dimana i 0 , 1, 2 ,..., n dan nilai x yang diinterpolasi adalah x x0 sh atau x x0 sh , dimana s R maka persamaan (11.4) dapat dinyatakan dalam parameter s, sebagai berikut, s(s 1)h 2 2  f 0 ... 2!h 2 sh 1!h pn ( x) NGn ( x) f 0 f 0 s(s 1)(s 2)...(s n 1)h n n  f 0.........................................................(11.6) n!h n yang menghasilkan persamaan baru, yaitu metnum pkk http://www.mercubuana.ac.id 3 zakaria

3. 1 x 1 dalam selang0,000 ; 0,625 Bentuk tabel selisih untuk fungsi f ( x) dan h 0,125 . Hitung polinom Newton – Gregory maju derajat 5 atau NG5 (0,300) dan polinom Newton – Gregory maju derajat 3 atau NG3 (0,300) Jawab: TABEL SELISIH MAJU UNTUK n 5 Untuk menghitung NG5 (0,300) , kita harus tahu nilai s untuk x 0,300 . Disini x x0 h 0,300 0,000 0,125 h 0,125 , sehingga    2,4 . Maka x0 0,000 dan s 2, 4 1! 2, 4 (1, 4) 2! 2, 4(1, 4 )( 0, 4) 3! (0,111) (0,022) (0,066) NG5 (0,300) = 1,000 2, 4(1, 4)( 0, 4)(0,6 ) 4! 2, 4(1, 4)( 0, 4)(0,6)(1,6) 5! (0,003) (0,005) 0,769 polinom Newton – Gregory maju derajat 3 atau Untuk memperkirakan NG3 (0,300) dibutuhkan 4 buah titik. Ingatlah kembali bahwa error ( galat ) interpolasi metnum pkk http://www.mercubuana.ac.id 5 zakaria