PROGETTAZIONE DI ITINERARI DIDATTICI: LE MEDIE E LE DISUGUAGLIANZE

1. Celia Di Foggia, Raffaele Prosperi, Giorgio Ravagnan, Alberta Schettino PROGETTAZIONE DI ITINERARI DIDATTICI: LE MEDIE E LE DISUGUAGLIANZE Nuovi scenari per la matematica – Salerno – 29/08/2012 rprosp@alice.it, albertaschettino@gmail.com

2. PROGETTAZIONE DI ITINERARI DIDATTICI: LE MEDIE E LE DISUGUAGLIANZE Sommario

3. 1. Analisi della proposta: Le medie e la disuguaglianza Due livelli di azione Medie • Concetto centrale della statistica • Confronto media aritmetica vs media geometrica • Approccio geometrico • Approccio algebrico Disuguaglianza

4. 1. Analisi del quesito: Le medie e la disuguaglianza

5. 1. Analisi della proposta: Le medie e la disuguaglianza

6. 1. Analisi della proposta: Le medie e la disuguaglianza

7. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva)

8. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva)

9. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva) Presentazione di dati relativi alla stessa variabile per due sequenze differenti ESEMPIO: temperatura rilevata nelle 24 ore di un determinato giorno rispettivamente nelle città di Torino e Bari Torino Bari

10. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva) Chiedere agli alunni

11. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva) Una volta calcolata la media

12. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva) Definire la media e introdurre i diversi casi di media

13. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva) Sugli indici di dispersione (1) • Proporre due sequenze diverse di numeri, come nel caso delle temperature, ma più brevi, intere e con uguale media; calcolarne le medie mostrando che sono uguali e chiedere quale delle due serie è meglio rappresentata dalla media, ossia per quale delle due la media è meglio rappresentativa dei dati forniti. • Esempio: età dei componenti di un gruppo di studenti universitari del primo anno che studiano insieme: età dei componenti di una famiglia: La media è la stessa (19) nei due casi, ma nel primo essa rappresenta molto bene tutti gli elementi, nel secondo è molto poco rappresentativa dei diversi dati inseriti.

14. 2. Approccio statistico (statistica descrittiva) Sugli indici di dispersione (2)

15. 3. Approccio geometrico

16. 4. Approccio algebrico

17. Tutti gli studenti che frequentano il terzo anno di una scuola media sono stati sottoposti ad un test di matematica costituito da 10 quesiti. I risultati del test sono riportati in figura. Determinare:a) il numero degli studenti sottoposti al test;b) la moda della distribuzione;c) la mediana della distribuzione; d) il valor medio delle risposte esatte per alunno. 5.Esempi di quesiti di verifica Proposta di quesito

18. Si può dedurre dal test il numero degli allievi? • È possibile dedurre dal grafico il quesito che ha ottenuto il maggior numero di risposte esatte? Esiste un termine che sintetizza questo valore? • Esiste un valore che ripartisce la distribuzione al 50%? Esiste un termine che sintetizza questo valore? • In media quante sono le risposte esatte date dagli alunni? 5.Esempi di quesiti di verifica Le richieste potrebbero essere sostituite da:

19. È richiesto di calcolare: il numero di studenti partecipanti la moda del numero di risposte esatte la mediana del numero di risposte esatte al test il valore medio delle risposte esatte per alunno (si può calcolare anche per quesito). 5.Esempi di quesiti di verifica Analisi del testo del quesito

20. E’ possibile determinare il numero di test proposti agli alunni individuando la modalità massima E’ possibile calcolare il numero di studenti partecipanti sommando le singole frequenze E’ possibile calcolare la moda del numero di risposte esatte: essa è la modalità (pertanto un valore compreso nel dominio) che si è presentata il maggior numero di volte E’ possibile calcolare la mediana del numero di risposte esatte al test: esso la modalità corrispondente al valore di posizione centrale dopo aver ordinato tutti i numeri di risposte esatte fornite (semplice, ma molto lungo), oppure più semplicemente corrispondente al 50% della distribuzione cumulata E’ possibile calcolare il valore medio delle risposte esatte sia in riferimento al numero di alunni (dividendo il totale di risposte esatte per il numero di alunni) sia al numero di quesiti (dividendo il numero totale di risposte esatte per il numero di quesiti) 5.Esempi di quesiti di verifica Analisi del problema

21. Dalla dicitura riguardante la variabile (“numero risposte esatte”) si deduce che si possono fornire da 0 a 10 risposte esatte (11 modalità); quindi, la variabile “numero di risposte esatte fornite dai singoli alunni” e il loro valore massimo, 10, permette di verificare che il Numero test è 10. • L’indicazione sull’asse delle ordinate consente di individuare il tipo di grafico: è un grafico a barre verticali di frequenze (assolute) indicanti il numero di alunni che hanno fornito un determinato numero di risposte esatte ai 10 quesiti. 5.Esempi di quesiti di verifica Rilevazione di informazioni dall’analisi dei dati riportati nel grafico

22. il numero di studenti partecipanti si ottiene sommando le frequenze relative a tutti i numeri di risposte esatte: 2 + 6 + 12 + 12 + 13 + 8 + 5 + 3 + 1 = 62, quindi il numero di studenti è 62 la moda del numero di risposte esatte è il valore di modalità (pertanto compreso tra 0 e 10) che si è presentata il maggior numero di volte: la frequenza massima è 13, per cui la moda della distribuzione è 6 (numero di risposte esatte che si è presentato più volte). MODA = 6 la mediana del numero di risposte esatte al test è la modalità corrispondente al valore di posizione centrale dopo aver ordinato in ordine crescente tutti i numeri di risposte esatte fornite, ciascuno tante volte quante si sono verificate (si avrebbe 2,2,3,3,3,3,3,3,…), oppure più semplicemente individuando il 50% della distribuzione cumulata (vedi tabella sottostante); risulta MEDIANA = 6 5.Esempi di quesiti di verifica Risoluzione (1)

23. il totale di risposte esatte è 341, il numero di alunni 62, per cui, essendo, 341/62 = 5,50 il valor medio di risposte esatte per alunno è 5,50 il numero totale risposte esatte (341) diviso il numero di quesiti (10) fornisce il valore della media delle risposte esatte per quesito: 34,1 5.Esempi di quesiti di verifica Risoluzione (2): calcolo della media

24. 5.Esempi di quesiti di verifica I quesiti proposti nel seguito vanno intesi come una panoramica di quesiti di differenti livelli di competenza, da assemblare in funzione del percorso proposto e degli obiettivi da testare.