SYSTEMY LICZBOWE

dr inż. Jacek FLOREK Instytut Informatyki SYSTEMY LICZBOWE • Rodzaje informacji (analogowe i cyfrowe) • System dwójkowy • System heksadecymalny 1

RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax MASZYNA ANALOGOWA R=(0,Umax) WE WY nieskończony zbiór możliwych wartości 0 0 Informacje dyskretne (cyfrowe) U(t) Umax Umaxq # # MASZYNA CYFROWA #  #  R=(U, 2U, 3U, 4U) a/c c/a moc zbioru R wynosi 4 0 0 U - kwant wartości

Oznaczenie symboliczne Długość słowa Nazwa a0 a3...a0 a7.....a0 a15.......a0 a31.........a0 a63...........a0 bit tetrada, kęs bajt słowo 16-bitowe, słowo podwójne słowo, dwusłowo słowo 64-bitowe, czterosłowo 1 4 8 16 32 64 INFORMACJA CYFROWA (1) Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w postaci słów cyfrowych Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z symboli 0 i/lub 1 1b - oznacza 1 bit 1B=8b 1B - oznacza 1 bajt 1kB=1024B (210) 1MB=1024kB 1GB=1024MB Przykład: 20 MB jest ilością informacji ośmiokrotnie większą niż 20Mb

INFORMACJA CYFROWA (2) W słowach cyfrowych wyróżnia się najstarszą i najmłodszą pozycję, tj. bit najbardziej znaczący zwany najstarszym (ang. MSB - Most Significant Bit) oraz bit najmniej znaczący zwany najmłodszym (ang. LSB -Least Significant Bit) an-1 ......................... a0 MSB LSB Analogicznie możemy mówić o starszym i najmłodszym bajcie lub o starszej lub młodszej tetradzie

DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym możemy przedstawić jako następująca sumę: (an-1...a1a0)D = an-1*10(n-1) +...+ a1*101 + a0*100 = gdzie: i - numer pozycji w liczbie, ai - dowolna z cyfr od 0 do 9, n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie Przykład: 424D = 4*102 + 2*101 + 5*100 pozycja jedynek (0) pozycja dziesiątek (1) pozycja setek (2)

DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dwa symbole (cyfry): 0, 1 Dowolną liczbę w systemie dwójkowym możemy przedstawić jako następująca sumę: (an-1...a1a0)B = an-1*2(n-1) +...+ a1*21 + a0*20 = gdzie: i - numer pozycji w liczbie, ai - dowolna z cyfr (0 lub 1), n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie Przykład: 10100B = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20

KONWERSJA LICZB 1. 10100B = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20D 2. 20:2 = 10 10:2 = 5 5:2 = 2 2:2 = 1 1:2 = 0 reszta=0 reszta=0 reszta=1 reszta=0 reszta=1 kierunek odczytu wyniku czyli 20D = 10100B

HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY) SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje szesnaście symboli (cyfr i liter): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Dowolną liczbę w systemie heksadecymalnym możemy przedstawić jako następująca sumę: (an-1...a1a0)H = an-1*16(n-1) +...+ a1*161 + a0*160 = gdzie: i - numer pozycji w liczbie, ai - dowolna cyfra heksadecymalna, n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie Przykład: 1C2H = 1*162 + C*161 + 2*160

KONWERSJA LICZB (1) 1. 1C2H = 1*162 + C*161 + 2*160 = = 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450D 2. 450:16 = 28 28:16 = 1 1:16 = 0 reszta=2 reszta=C reszta=1 kierunek odczytu wyniku reszty zapisujemy w postaci cyfry heksadecymalnej czyli 450D = 1C2H

KONWERSJA LICZB (2) Do konwersji zapisu binarnego na heksadecymalny i odwrotnie wykorzystuje się tabelę:

KONWERSJA LICZB (3) 1. każdą cyfrę hex. zapisujemy w postaci czwórki cyfr binarnych 1C2H = = 0001 1100 0010 = = 000111000010 = = 111000010B odrzucamy nieznaczące zera na początku liczby binarnej liczbę binarną dzielimy od końca na czwórki ewentualnie dopisując nieznaczące zera w ostatniej (pierwszej) czwórce 2. 111000010B = = 0001 1100 0010B = = 1C2H każdą czwórkę binarną zapisujemy w postaci cyfry hex.

W jakim systemie liczbowym zapisano biografię? Ukończyłem uniwersytet w 44 roku życia; po roku, jako już 100-letni młodzieniec, ożeniłem się z 34-letnią panienką. Nieznaczna różnica wieku – 11 lat tylko – sprzyjała bardzo harmonijnemu małżeńskiemu pożyciu. W stosunkowo krótkim czasie mieliśmy już 10 dzieci. Moja miesięczna pensja wynosiła 13000 zł, z których 1/10 oddawałem siostrze, tak iż na własne utrzymanie mieliśmy tylko 11200 zł na miesiąc; mimo to byliśmy szczęśliwi. W systemie dziesiętnym ma ona postać: Ukończyłem uniwersytet w 24 roku życia; po roku, jako już 25-letni młodzieniec, ożeniłem się z 19-letnią panienką. Nieznaczna różnica wieku – 6 lat tylko – sprzyjała bardzo harmonijnemu małżeńskiemu pożyciu. W stosunkowo krótkim czasie mieliśmy już 5 dzieci. Moja miesięczna pensja wynosiła 1000 zł, z których 1/5 oddawałem siostrze, tak iż na własne utrzymanie mieliśmy tylko 800 zł na miesiąc; mimo to byliśmy szczęśliwi.

dr inż. Jacek FLOREK Instytut Informatyki KODOWANIE LICZB I TEKSTÓW • Kody binarne • kod naturalny NKB • kod BCD • kod Gray’a • inne kody • Kodowanie znaków (tekstów) 2

KODOWANIE Def.1. Kodowaniem nazywamy przyporządkowanie poszczególnym obiektom zbioru kodowanego odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi, przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać dokładnie jeden element kodowany A 111 Zbiorem kodowanym może być zbiór dowolnych obiektów (cyfr, liter, symboli graficznych, stanów logicznych, poleceń do wykonania itp.) 100 B 010 C 001 Proces kodowania może być opisem słownym, wzorem (zależnością matematyczną), tabelą kodową itp. Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)

NATURALNY KOD BINARNY (NKB) Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny kod binarny (NKB) Minimalna długość k słowa binarnego reprezentującego liczbę dziesiętną A musi spełniać warunek: Oznacza to, że aby zakodować liczbę dziesiętną w zakresie 0-15 wystarczy wykorzystać jedną tetradę (długość słowa kodowego k=4) gdyż

KOD PROSTY BCD Gdy w systemie wygodnie jest operować liczbami dziesiętnymi stosowany jest kod BCD. Liczba terad kodu BCD jest bowiem równa liczbie pozycji dziesiętnych reprezentowanej liczby. Np. dziesiętna liczba 6-pozycyjna (000000-999999) jest kodowana na 24 bitach • Konstrukcja: • każdej cyfrze dziesiętnej przyporządkowujemy czterocyfrową liczbę dwójkową w kodzie NKB*); • słowo kodowe w kodzie prostym BCD otrzymujemy zapisując każdą cyfrę liczby dziesiętnej w postaci tetrady binarnej 463D = 010001100011BCD 67D = 01100111BCD *) gdybysmy zamiast kodu NKB użyli kodu np. Gray’a wówczas otrzymalibysmy kod BCD Gray’a

KOD GRAY’A Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się tylko na jednej pozycji Kod Gray’a tworzy się z kodu naturalnego NKB biorąc pod uwagę:

INNE KODY BINARNE Długość słowa kodu „1 z n” (w tabeli „1 z 10”) jest równa n, tj. liczności zbioru kodowanego (liczbie kodowanych słów) Kod 5-bitowy stosowany do kodowania cyfr dziesiętnych Są to kody nadmiarowe (redundancyjne), w których liczba pozycji binarnych jest większa niż wynika to z ogólnej zależności Redundancję można wykorzystać do zwiększenia niezawodności operacji wykonywanych na liczbach

KODOWANIE ZNAKÓW Początki: • Harald C. M. Morse (kropka - kreska - ....); • Anatol de Baudot (dalekopis); • w pierwszych maszynach cyfrowych - kod dalekopisowy 5-bitowy, a potem 8-bitowy (EBCDIC); W 1977 roku kiedy to ANSI (American National Standards Institute) zatwierdził kod ASCII (The American Standard Code for Information Interchange). Jest to 7-bitowy kod (8 bit do kontroli parzystości), definiujący 128-elementowy zestaw znaków (character set) o wartościach kodowych od 0 do 127. Zestaw zawiera litery łacińskie (duże i małe), cyfry i znaki interpunkcji oraz różne znaki specjalne. Międzynarodowa Organizacja Standaryzacji - ISO, nadała amerykańskiemu systemowi kodowania status standardu międzynarodowego oznaczonego jako ISO 646. • Kod ASCII rozszerzony wprowadza dodatkowe 128 znaków wykorzystując mało używany bit parzystości: • IBM wprowadza • Code Page 474 dla USA • Code Page 852 dla Europy Wschodniej

KODOWANIE ZNAKÓW kod ASCII

KODOWANIE ZNAKÓW problem polskich liter • 1. W 1987 roku ISO tworzy standard ISO 8859 (rozszerzone ASCII): • ISO 8859-1 (Latin-1) - Europa zachodnia • ISO 8859-2 (Latin-2) - Europa wschodnia • ............................... • ISO 8859-5 (cyrlica) • ............................... • ISO 8859-7 (greka) • ............................... 2. W 1990 roku Instytut Maszyn Matematycznych tworzy kod Mazovia (rozpowszechniony w dobie kart graficznych Hercules) 3. Firma Microsoft tworzy własny zestaw znaków dla Europy wschodniej Windows CP 1250

KODOWANIE ZNAKÓW problem polskich liter

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB • Do reprezentacji liczb całkowitych stosowane są kody stałopozycyjne • zapis znak-moduł • zapis U1 • zapis U2 • zapis polaryzowany (BIAS) Zapis znak-moduł tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna; „0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000 W zapisie U1 (uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity mają różne znaczenie. Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB. Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB. „0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000 Zapis U2 (uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero tak utworzone słowo odpowiada w NKB modułowi tej liczby. „0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000 Zapis BIAS (polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2n-1 kodu NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne wartości liczby 2 n-1+A

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB dodawanie i odejmowanie

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB dodawanie i odejmowanie (kod U2) W zapisie U2 (uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako: an-1...a0 = -an-1.2n-1+an-2.2n-2+ ... +a0.20 Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą wartość ujemną 1101U2 = -1.23+1.22+0.21+1.20 = -8+4+1 = -3D 0111U2 = -0 .23+1.22+1.21+1.20 = 4+2+1 = 7D Ponieważ: a-b=a+(-b); -a+b=(-a)+b; -a-b=(-a)+(-b) to korzystnie jest stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej 7D ~0111U2 1000 + 1 1001U2 negacja wszystkich bitów i dodanie 1 -7D Zakresy liczb w kodzie U2: -2n-1X 2n-1-1 np. dla n=5 liczby od -16D (10000U2) do +15D (01111U2). W zakresie tym muszą się znaleźć nie tylko argumenty ale i wynik. -9D = -1.16+0.8+1.4+1.2+1.1 -9D = -1.32+1.16+0.8+1.4+1.2+1.1 10111 +11000 1 01111 110111 +111000 1 101111 -8D = -1.16+1.8+0.4+0.2+0.1 -8D = -1.32+1.16+1.8+0.4+0.2+0.1 -17D = -1.32+0.16+1.8+1.4+1.2+1.1 -17D = -1.32+0.16+1.8+1.4+1.2+1.1 bit poza zakresem - odrzucamy bit poza zakresem - nie odrzucamy

ZMIENNOPOZYCYJNA REPREZENTACJA LICZB • Do reprezentacji liczb ułamkowych stosowany jest zapis zmiennopozycyjny złożony z trzech części: • jednobitowe pole znaku • n-bitowe pole części ułamkowej (mantysy) - S[0.5, 1.0) • tj. dwójkowo 0.1000...0  S<0.1111...1 • czyli 0.1a-2a-3...a-(n+2), tj. 1.2-1+a-2.2-2+a-3.2-3+...+a-(n+2).2-(n+2) • m-bitowe pole części wykładnika (cechy) - E • A = ±S.B±E • B - podstawa (np. 2, 10, 16 itp.) • Przykład: • +625,625 =0,625625.103 1001110001 0,625=0,5+0,125  0,100+0,001 = 0,101 1001110001,101 = 0,1001110001101.210 1bit znaku mantysa (23 bity) cecha (8 bitów) 0 0011 1000 1101 0000 0000 0000 10001010

dr inż. Jacek FLOREK Instytut Informatyki ELEMENTY ALGEBRY BOOLE’A • Zmienne logiczne i operacje logiczne • Aksjomaty algebry Boole’a i prawa de Morgana • Funkcje logiczne • Minimalizacja funkcji logicznych • Realizacja funkcji logicznych 3

ZMIENNE LOGICZNE I OPERACJE LOGICZNE Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która może przyjmować jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub „H”). • Algebra Boole’a jest algebrą z trzema operacjami na dwuwartościowych argumentach (wyniki też są dwuwartościowe) • suma logiczna (alternatywa) • iloczyn logiczny (koniunkcja) • negacja (inwersja) działania dwu- lub więcej argumentowe działania jedno-argumentowe Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie argumenty są równe 0. Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują wartość 1. Def.3. Negacja polega na zmianie wartości argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli argument ma wartość 0, to operacja daje w wyniku wartość 1.

AKSJOMATY ALGEBRY BOOLE’A I PRAWA DE MORGANA 1. Przemienność 2. Łączność 3. Rozdzielczość 4. Tożsamość 5. Komplementarność Prawa de Morgana

OPERACJE LOGICZNE

FUNKCJE BOOLE’OWSKIE • Istnieją cztery sposoby przedstawienia tych funkcji: • tablica prawdy • postać kanoniczna funkcji • dziesiętny zapis funkcji • mapa Karnaugha 1. 2. 4. 3. - wskazanie na postać alternatywną - wskazanie na postać koniunkcyjną

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH • Minimalizację funkcji można przeprowadzić: • przekształcając postać kanoniczna funkcji • wykorzystując mapy Karnaugha • metodą Quine’a • metodą Quine’a-McCluskeya • metodą tablic harwardzkich • metodą Patricka • metodą Blake’a Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=(5,7,13,15) AB CD f(A,B,C,D)=BD

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=(5,7,13,15) AB CD AB lub CD

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=(5,7,8,9,12,15) AB CD f(A,B,C,D) =

REALIZACJA FUNKCJI BOOLE’OWSKICH OR AND NOR NAND EXOR NOT

dr inż. Jacek FLOREK Instytut Informatyki PROJEKTOWANIE UKŁADÓW LOGICZNYCH • Podział układów logicznych • Realizacja funkcji logicznych układów kombinacyjnych • Realizacja układu sekwencyjnego 4

PODZIAŁ UKŁADÓW LOGICZNYCH Układy logiczne można podzielić (w zależności od przyjętego kryterium) na: • układy kombinacyjne • układy sekwencyjne Def.1. Układem kombinacyjnym nazywamy taki układ cyfrowy, w którym stan wejść jednoznacznie określa stan wyjść układu. Def.2. Układem sekwencyjnym nazywamy taki układ cyfrowy, w którym stan wyjść zależy od stanu wejść oraz od poprzednich stanów układu. • układy asynchroniczne • układy synchroniczne Def.3. Układem asynchronicznym nazywamy taki układ cyfrowy, dla którego w dowolnym momencie jego działania stan wejść oddziaływuje na stan wyjść. Def.4. Układem synchronicznym nazywamy taki układ cyfrowy, dla którego stan wejść wpływa na stan wyjść w pewnych określonych odcinkach czasu zwanych czasem czynnym, natomiast w pozostałych odcinkach czasu zwanych czasem martwym stan wejść nie wpływa na stan wyjść.

PODZIAŁ UKŁADÓW LOGICZNYCH układy kombinacyjne: • układy zbudowane z bramek • bloki kombinacyjne • sumatory • komparatory • dekodery, kodery, transkodery • multipleksery, demultipleksery • ..... • układy matrycowe • ........ układy sekwencyjne: • przerzutniki • rejestry • liczniki • ..... A={X,Y,: XY} X- zbiór stanów sygnałów wejściowego Y - zbiór stanów sygnałów wyjściowego  - funkcja opisująca działanie układu A={X, Y, S, : XxSS, : XxSY} X- zbiór stanów sygnałów wejściowego Y - zbiór stanów sygnałów wyjściowego S - zbiór stanów wewnętrznych  - funkcja przejść (określa zmiany stanów układu wszystkich wzbudzeń)  - funkcja wyjść (przyporządkowuje sygnały wyjściowe stanom układu i wzbudzeniom)

REALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH Przykład: Zaprojektować układ realizujący funkcję f(A,B,C,D)=(5,7,13,15) f(A,B,C,D)=(5,7,13,15)= A B C D lub na podstawie tablic Karnaugha B D

REALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH Przykład: Zaprojektować układ realizujący funkcję CD AB A B C D

REALIZACJA UKŁADU SEKWENCYJNEGO • Założenia (przykład): • układ dwustanowy S={S1=0, S2=1} • o czterech pobudzeniach X={X1=00, X2=01, X3=10, X4=11} • i dwóch stanach sygnałów wyjściowych Y={Y1=1,Y2=0} • oraz funkcjach • : X1x S1= S1 : S1= Y2 • X2xS1 = S1 S2= Y1 • X3x S1 = S2 • X4xS1 = S2 • X1x S2 = S2 • X2xS2 = S1 • X3x S2 = S2 • X4xS2 = S2 tabela przejść i wyjść zakodowana stany pierwotne stany następne St x1 y S x2

dr inż. Jacek FLOREK Instytut Informatyki PODSTAWY DZIAŁANIA UKŁADÓW CYFROWYCH • Cyfrowe układy arytmetyczne • Przerzutniki • Rejestry • Liczniki • Dzielniki • Bramki trójstanowe • Multipleksery i demultipleksery • Magistrale danych 5-6

Przykład projektowania układu kombinacyjnego(jednobitowy półsumator) Dodawanie binarne dwóch bitów przeniesienie wynik sumowania b b a a C=ab a Y b półsumator C sumator ci b y yi półsumator bi y c b a półsumator Ci+1 ai c a

Przykład projektowania układu kombinacyjnego(jednobitowy sumator) ai yi bi  ci ci+1 ai ai bi bi 1. Dane są dwie liczby w kodzie NKB: • 2. Jak znaleźć sumę? • Dodawać poszczególne pozycje (począwszy od pozycji najmniej znaczących) uwzględniając przeniesienie. Czyli obliczyć dwie funkcje: yi - binarny wynik dodawania oraz ci+1 - wartość przeniesienia 3. Tabela prawdy 4. Mapy Karaugha ci ci ci+1 yi ai yi bi ci ci+1

Przykład projektowania układu kombinacyjnego(sumator wielobitowy)    • Aby zrealizować sumowanie dwóch k-bitowych liczb należy połączyć ze sobą k sumatorów jednobitowych b0 a0 b1 a1 ak-1 bk-1 c0=0 ck y0 y1 yk-1

PRZERZUTNIKI wejścia informacyjne wejście zegarowe wyjścia wejścia programujące Def.1. Przerzutniki są podstawowymi elementami układów sekwencyjnych, których zasadniczym zadaniem jest pamiętanie jednego bitu informacji Posiada co najmniej dwa wejścia i z reguły dwa wyjścia Zasadnicze typy przerzutników: RS, JK, D i T

ASYNCHRONICZNY PRZERZUTNIK RS S Q R Q Q R Q S wejście ustawiające (SET) wyjście proste wejścia informacyjne/programujące wyjścia wyjście zanegowane wejście zerujące (RESET) pamiętanie ustawianie zerowanie stan zabroniony wpis jedynki S R zerowanie Q pamiętanie Q czas

SYNCHRONICZNY PRZERZUTNIK RS S Q Q R wejście ustawiające (SET) wyjście proste zegar CK wyjście zanegowane wejście zerujące (RESET) CK S R Q asynchroniczny Q czas

INNE PRZERZUTNIKI D R J T Q Q Q Q zegar zegar zegar zegar Q Q Q Q S K T D JK RS Q Q Q Q Przerzutnik JK działa podobnie jak RS, z tą różnicą, że gdy J=K=1, to sygnał zegara zmienia stan. W innych przypadkach J działa jak S, a K jak R. Przerzutnik D zapamiętuje stan wejścia D w chwili impulsu zegara. Przerzutnik T zmienia swój stan w czasie impulsu zegarowego, jeżeli T=1 a pozostaje w stanie pierwotnym, gdy T=0

SYSTEMY LICZBOWE