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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it. Corso di “ Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni). SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI

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  1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI Frequenza naturali – Vettori modali Funzione di parametri “interni” al sistema C e Φ DIPENDONO DA PARAMETRI ESTERNI

  2. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI Se le condizioni iniziali sono: Allora avremo:

  3. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI Da cui si ottiene: Indicando con U la matrice modale:

  4. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI N.B. Questo tipo di approccio è attuabile fino ai sistemi con 2 GDL per i sistemi con numero maggiore di GDL non è praticabile questo tipo di soluzione.

  5. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Si ottiene quando collego due sistemi ad 1 GDL identici con una molla di costante elastica molto bassa.

  6. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Le equazioni di moto sono: In forma matriciale avremo dunque:

  7. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Si cerca una soluzione del tipo: Dall’equazione di moto avremo dunque:

  8. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI L’equazione caratteristica è dunque:

  9. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI I modi di vibrare risultano dunque essere:

  10. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Si ottengono due moti sfasati di 180°: Una soluzione qualsiasi si scrive nella forma:

  11. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Imponendo le condizioni iniziali: Si ottiene:

  12. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Considerando che k<<mgL/a2: L’equazione di moto diventa: dove ωB rappresenta la frequenza dei battimenti.

  13. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI

  14. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA VETTORE COSTANTE Cerco una soluzione del tipo:

  15. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA Se ottengo soluzioni negative vuol dire che ho una fase di 180°:

  16. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

  17. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA VETTORE COSTANTE Cerco una soluzione del tipo:

  18. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

  19. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

  20. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA La soluzione è dunque:

  21. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA Se il sistema non è smorzato la matrice impedenza è reale: Questa soluzione include la fase: l’inversione di segno è dovuta allo sfasamento di 180°

  22. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO RISOLVO IL SISTEMA IPOTIZZANDO PICCOLI SPOSTAMENTI PER LE DUE MASSE.

  23. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Ovviamente considero un’unica compontente del moto.

  24. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Per piccoli spostamenti avremo: La forza di gravità introduce dei termini che contribuiscono allo spostamento ma non alle vibrazioni.

  25. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Scompongo il moto in contributo statico e contributo vibrazionale. EQUILIBRIO STATICO EQUILIBRIO DINAMICO

  26. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO

  27. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO I MODI DI VIBRARE SONO DUNQUE:

  28. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Considerando il caso particolare in cui F2=0 e ponendo k=T/L: Il denominatore è il determinante caratteristico:

  29. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO

  30. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI SISTEMA DI ASSORBIMENTO MASSA PRINCIPALE N.B. Sistema impiegato per contenere le vibrazioni quando non è possibile variare massa e/o rigidezza del sistema principale.

  31. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI

  32. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI Nel caso in cui ω=ωa allora:

  33. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani castellani@unipg.it Corso di “Meccanica Applicata “ A.A. 2011-2012 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI

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