Álgebra Linear e Geometria Analítica

1. Álgebra LineareGeometria Analítica

2. Engenharia CivileEngenharia Topográfica

3. Equipa docente: Engenharia Civil Diurno: Marília Pires; Susana Fernandes; Nelson Pires Engenharia Civil Nocturno: Marília Pires; Nelson Pires Engenharia Topográfica: Marília Pires

4. Para tirar dúvidas: • mpires@ualg.pt • sfer@ualg.pt • Página web: w3.ualg.pt/~mpires

5. Vamos jogar à Batalha Naval

6. Precisamos de mar:

7. Agora precisamos de barcos:

8. Agora precisamos de barcos:

9. Agora arranjar maneira de localizar os tiros:

10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 A B C D E F G H I J

11. Tiros: A7 H3 J9

12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 A  B C D E F G  H I J 

13. Matrizes 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5

14. Matrizes 2 3 4 5 6 7 1 1 45 56 -9 5 0.9 56 7 2 -9 7 0 0 0 3 6 3 99 -10 32 76 65 54 89 0 89 -1 65 32 12 0 4 10 0 9 0 76 4 2 5

15. Matrizes 2 3 4 5 6 7 1 1 45 56 -9 5 0.9 56 7 2 -9 7 0 0 0 3 6 3 99 -10 32 76 65 54 89 0 89 -1 65 32 12 0 4 10 0 9 0 76 4 2 5 Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunas Diz-se que tem dimensão 57

16. Matrizes 2 3 4 5 6 7 1 1 45 56 -9 5 0.9 56 7 2 -9 7 0 0 0 3 6 3 99 -10 32 76 65 54 89 0 89 -1 65 32 12 0 4 10 0 9 0 76 4 2 5 Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.

17. Matrizes 2 3 4 5 6 7 1 1 45 56 -9 5 0.9 56 7 2 -9 7 0 0 0 3 6 3 99 -10 32 76 65 54 89 0 89 -1 65 32 12 0 4 10 0 9 0 76 4 2 5 Este elemento está na linha 3 e coluna 5. Diz-se que está na posição (3,5)

19. A tem dimensão 34

24. Uma matriz A com m linhas e n colunas diz-se que tem dimensão mn e representa-se por [aij] i =1,…,m; j=1,…,n

25. Matrizes especiais: • Matrizes nulas Omn Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulas • O23=

26. Matrizes especiais: • Matrizes quadradas Ann Matriz com n linhas e n colunas • A33=

27. Matrizes especiais: • Matriz triangular superior Ann aij = 0 se i > j • A33=

28. Matrizes especiais: • Matriz triangular inferior Ann aij = 0 se i < j • A33=

29. Matrizes especiais: • Matriz diagonal Ann aij = 0 se i  j • A33=

30. Matrizes especiais: • Matrizes coluna An1 Matriz com n linhas e 1 coluna • A51=

31. Matrizes especiais: • Matrizes linha A1n Matriz com 1 linha e n colunas • A15=

32. Matrizes especiais: • Matrizes identidade Inn Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1. • I33=

33. Matrizes especiais: • Matrizes escalares Ann Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a . • A33=

34. Matriz simétrica de outra: • A matriz B diz-se simétrica da matriz A se as entradas de B forem os simétricos das entradas correspondentes de A. • (É claro que A e B têm a mesma dimensão) A= B = B = - A

35. Matriz transposta doutra: • A matriz B diz-se transposta da matriz A se as entradas de B foram tais que bik = aki. • Escreve-se B = AT A= B = AT = b12 = a21 = 2

36. Multiplicar uma matriz por um escalar: • Todas as entradas da matriz são multiplicadas pelo mesmo valor . • B= A • (É claro que A e B têm a mesma dimensão) A= B =3 A =

37. Somar matrizes • Só se podem somar matrizes da mesma dimensão. • C = A + B • Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição de A e de B A= B = A + B =

38. Multiplicar Matrizes CASO 1 • Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmo número de elementos. C = AB A= B =

39. Multiplicar Matrizes CASO 1 • Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. C = AB A= B =

40. Multiplicar Matrizes CASO 1 • Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. C = AB A= B = AB = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]

41. Multiplicar Matrizes CASO 2 • Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna Faz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna. Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da coluna. C = AB A= B =

42. Multiplicar Matrizes CASO 2 • Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna C = AB A= B =

43. Multiplicar Matrizes CASO 2 • Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna C = AB A= B = C = =

44. Multiplicar Matrizes CASO GERAL • Multiplicar uma matriz Anp por uma matriz Bpm C = AB Cada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz B Então Cnm

45. 32 24 34

46. 32 24 34 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

47. O produto de matrizes não é comutativo. Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA. Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.

48. Matriz Inversa: • Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1

49. Propriedades das operações com matrizes • A + B = B + A (comutativa) • (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) • A + O = A (elemento neutro) • A + (-A) = O (simétricos) • (A + B) = A +  B • ( + ) A = A +  A •  (A )= ( ) A

50. Propriedades das operações com matrizes • 1 A = A •  O = O • (AT)T = A • ( A + B) T = AT + BT • ( A) T =  AT • A (B + C) = AB + AC (distributiva) • (B + C) A = BA + CA • (AB)C = A(BC)