Mechanik deformierbarer Medien

1. Mechanik deformierbarer Medien Elastomechanikfester Körper: Biegung eines Balkens

2. Inhalt • Biegung eines Balkens • Die „Neutrale Faser“ • Definition der „neutralen Faser“ • Bauprinzip: Röhrenknochen

3. Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material • sowohl bei Dehnung • als auch bei Verdichtung

4. „Hookesches Gesetz“ bei DehnungundVerdichtung (vgl. mit der Verformung einer Ziehharmonika):

5. Biegung eines Balkens Elastizitätsmodul des Materials: Auslenkung Last Biegung eines einseitig eingespannten Balkens: Die Höhe a geht mit der drittenPotenz in die Auslenkung ein.

6. Die „Neutrale Faser“ • Linie, deren Länge bei entsprechender Dehnung und Verdichtung konstant bleibt

7. Biegung eines Balkens, einseitig eingespannt Oberhalb der neutralen Faser wird das Material gestreckt Unterhalb der neutralen Faser wird das Material gestaucht „Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert

8. Versuch zur Balkenbiegung • Ein „Balken“ wird hochkant und quer dazu eingespannt. Hochkant ist die Durchbiegung viel geringer.

9. Auslenkung eines Balkens bei Biegung Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die Auslenkung ein

10. Versuch zur „Neutralen Faser“: • Die Neutrale Faser wird im polarisierten Licht an einem in der Mitte belasteten, zweiseitig eingespannten Glasbalken gezeigt. Unter Spannung stehende Bereiche drehen die Polarisationsebene • Man erkennt, dass das Gebiet um die „Neutrale Faser“ im Innern des Balkens ohne Spannung bleibt.

11. Hohler Balken, einseitig eingespannt Oberhalb der neutralen Faser wird das Material gestreckt Unterhalb der neutralen Faser wird das Material gestaucht „Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert

12. Versuch: Biegung eines hohlen und eines ausgefüllten Stabes mit gleicher Materialmenge • Der Versuch zeigt, der Hohlstab ist viel stabiler

13. Hohlbalken • Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit einem innen hohlen, hohen Profil die geringste Durchbiegung • Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich, nahe der „Neutralen Faser“, hätte ohnehin wenig zur Biegesteifigkeit beigetragen

14. In der Natur tragen Röhrenknochen zur Leichtbauweise der Vögel bei

15. Unterschied zwischen Scherung und Biegung eines Balkens Bei der Scherung verschieben sich alle benachbarten Teilchen in gleicher Weise, die Wechselwirkungskräfte zwischen allen Teilchen werden auf Dehnung beansprucht. Bei der Biegung gibt es Bereiche mit unterschiedlichen Kraftverhältnissen, oben wird gedehnt, unten gestaucht, in der Mitte gibt es die kräftefreie „Neutrale Faser“

16. Zusammenfassung • Die Auslenkung bei der Biegung eines ein- oder zweiseitig eingespannten Balkens ist proportional zur • dritten Potenz der Länge • Kehrwert der dritten Potenz der Balken Höhe • Kehrwert der Breite des Balkens • Kehrwert des Elastizitätsmoduls • „Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert • Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit einem innen hohlen, hohen Profil die geringste Durchbiegung • Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich, nahe der „Neutralen Faser“, hätte ohnehin wenig zur Biegesteifigkeit beigetragen

17. Finis