Estudo dos Poliedros

1. Estudo dos Poliedros

2. 18 m x Enchendo a piscina • A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura. Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.

3. Enchendo a piscina • O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros. Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa? x (m) 1,8 E na parte mais funda? Qual é a capacidade da piscina, em litros? 0,8 Em quanto tempo a piscina ficará cheia? 0 C 43.200 V ( L)

4. Poliedro: uma forma muito especial • Determinados sólidos tem uma forma muito particular. Observe os sólidos representados a seguir. B C D A E F N M P Q

5. Definição • Os sólidos apresentados têm algumas característica comuns: • São limitados por polígonos; • Cada lado desses polígonos pertence a exatamente a dois dos polígonos; • Dois desses polígonos nunca são coplanares. Todo sólido que obedece a essas condições é chamado de poliedro.

6. Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.

7. Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.

8. Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. B C D F G A E H Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.

9. Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. O conjunto de todas as faces de um poliedro é chamado Superfície poliédrica. É a parte externa, visível. É a “casca” do poliedro.

10. Poliedro convexo e poliedro côncavo • Observe os sólidos representados abaixo. B C D A E F Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço. Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.

11. Poliedro convexo e poliedro côncavo • Observe agora o sólido representado abaixo. N M P Q O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes. Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.

12. Classificação dos poliedros • Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F). F Poliedro F Poliedro 4 tetraedro 9 eneaedro 5 pentaedro 10 decaedro 6 hexaedro 12 dodecaedro 7 heptaedro 20 icosaedro 8 octaedro

13. Veja alguns desses poliedros Hexaedro (P1) Octaedro (P2) Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)

14. Relação de Euler • Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo. Poliedro V F A P1 8 6 12 P2 6 8 12 P3 9 9 16 P4 10 7 15 V + F – A = 2

15. Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem? Exemplos V + F – A = 2 ⇒ 6 + F – 12 = 2 ⇒ F – 6 = 2 ⇒ F = 8

16. Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadran-gulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices? Exemplos Primeiro vamos achar o número de arestas. 7 quadrang. ⇒ A = 7.4 = 28 9 Faces ⇒ 2 triang. ⇒ A = 2.3 = 6 ⇒ 2A = 34 ⇒ A = 17 V + F – A = 2 ⇒ V + 9 – 17 = 2 ⇒ V = 10 ⇒ V – 8 = 2

17. Poliedros regulares • Poliedro regular é todo poliedro em que: • Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si; • De cada vértice, parte o mesmo número de arestas. Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.

18. O prisma e suas formas

19. O prisma e suas formas • Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

20. Definição r • Observe a animação.   O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

21. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de faces • bases (polígonos congruentes). • faces laterais (paralelogramos). • Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

22. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de arestas • arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). • arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

23. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma h • A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

24. Nomenclatura dos prismas • Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases Prisma triângulo P. triangular quadrilátero P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

25. Veja alguns desses prismas Prisma Pentagonal Prisma triangular

26. Classificação dos prismas • Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base. Dizemos que ele é: • prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases; • prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.

27. Classificação dos prismas h h Prisma Pentagonal oblíquo Prisma triangular reto

28. B A C Prisma regular • Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. O prisma é reto e a Base é hexágono regular O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero ⇒ ⇒ Prisma hexagonal regular Prisma triangular regular

29. Prisma quadrangulares

30. Prismas quadrangulares • Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. Paralelepípedo

31. Prismas quadrangulares • Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

32. Prismas quadrangulares • Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular

33. Estudo do cubo

34. Estudo do cubo • O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a→ medida de cada uma das arestas a a a

35. a a a Diagonais no cubo • Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais. a→ medida de cada uma das arestas D d→ diagonal da face d D→ diagonal do cubo

36. D a d a a Diagonais no cubo • Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. d2 = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2 a

37. Diagonais no cubo • Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. D2 = a2 + d2 D a ⇒ D = a2 + 2a2 a ⇒ D = 3a2 a d ⇒ D = a√3 a

38. a a a Área da superfície total do cubo • Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a AT = 6a2

39. A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo? Exemplo ⇒ a2 = 9 AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a = 3 d = a√2 ⇒ d = 3√2 D = a√3 ⇒ D = 3√3

40. O cubo como unidade de volume • Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume. 1 u V = 1 u3 1 u 1 u 1 u Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.

41. O cubo como unidade de volume • Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume. 1 u V = 1 u3 1 u 1 u 1 u • Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3. • Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

42. Volume • O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido. • Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo? V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3

43. Volume do cubo • Analise as três figuras a seguir. a = 1 u V = 1 u3 a = 2 u a = 3 u V = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3 De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é V = a3

44. Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área da superfície total e o volume desse cubo? Exemplo 6 D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = ⇒ a = 2√3 m √3 AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2 V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3

45. Estudo do Paralelepípedo retângulo

46. Estudo do paralelepípedo retângulo • O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c→ As dimensões do paralelepípedo. b c a • Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

47. Diagonal do paralelepípedo • Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. D c b d a d→ diagonal da face inferior D→ diagonal do paralelepípedo

48. Cálculo da diagonal do paralelepípedo • Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. D c b d a d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2

49. O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura? Exemplo D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2 ⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160 ⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9

50. Área da superfície total do paralelepípedo • Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a ab b c bc ac bc b c ab a AT = 2ab + 2ac + 2bc ac AT = 2(ab + ac + bc)