Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre

1. Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Indice 1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral. 2) Operaciones con sucesos. 3) Enfoques de la Probabilidad. 4) Axiomas de Kolmogorov.5) Axiomas de la Probabilidad subjetiva. 6) Resultados básicos con probabilidades.7) Variables aleatorias. 8) Educción de probabilidades.

2. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias • El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultados • experimentales (E) a una función numérica (real) de los resultados • Dado el espacio probabílistico (E, A, P), la aplicación : E  ,   () • es un variable aleatoria si  x  , {  E: ()  x} es un suceso, • -1((-,x])  A,-Álgebra • La probabilidad definida sobre sucesos se transforma en probabilidad de • que la variable aleatoria  tome valores en (-,x], P(  x) • Se trata de un cambio de lenguaje: antes el algebra de Boole y ahora • la Teoría de Funciones del Análisis (herramientas matemáticas: • funciones de variable real, cálculo diferencial e integral,.....)

3. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias • Modelización: Abstracción • Modelo de distribución de probabilidad: especifiación de los posibles • valores de la variable aleatoria con sus probabilidades • Notación: • X, Y,... variables aleatorias. X()=x, Y()=y,.... • número asociado al resultado   E, cuantificación • Lenguaje de sucesos  de probabilidad  de funciones reales • Sucesos Variable aleatoria • - Venta de un producto número de productos vendidos • - Llegada de un cliente número de clientes atendidos • - Tamaño de un e-mail número de kbytes enviados por e-mail • - Fallo de un dispositivo número de horas hasta el fallo de un dispositivo • - Curación de un paciente número de años de supervivencia post-tratamiento • - Incendio forestal número de hectáreas quemadas (+localización)

4. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias • Diferencias entre Estadística Descriptiva y Cálculo de Probabilidades: • - La variable estadística es descriptiva, analiza hechos. • - La variable aleatoria es probabilista, analiza causas potenciales, • sobre el futuro, no hechos, el proceso generador de los hechos, datos • Tipos de variables aleatorias: asociación entre resultado y un número real • - Discreta: toma un conjunto de valores finito o infinito numerable • Cardinal(E) N • - Continua: toma valores en un intervalo, • Cardinal()  potencia del continuo

5. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias. Función de distribución • La variable aleatoria no se presta al Análisis Real pues son funciones • reales de sucesos (conjuntos) y no de variable real, sobre  • Se introduce la función de distribución de la variable aleatoria : • F:   [0,1], F(x) = P(()  x) • Propiedades: • 1. 0  F(x) 1,  x   • 2. lim x  - F(x) = 0, lim x  + F(x) = 1 • 3. x1 < x2  F(x1)  F(x2), monotonía no decreciente • 4. lim x  a+ F(x) = F(a),  a  , continuidad por la derecha • 5. P(a    b) = F(b) – F(a), probabilidad de un intervalo

6. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas • La variable aleatoria  se dice discreta si toma valores en un conjunto • numerable {x1,x2,…xn,…}, finito o infinito. Si pi = P(  xi)  0, i=1,2,…n,… • 1. i pi = 1 • 2. P(  xn) = ni pi • Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria : • P(=x) = P({  E: ()=x}) • Asignación de probabilidad a los sucesos elementales sobre los que la • variable aleatoria toma el valor x. Masa de probabilidad puntual • Se obtiene la función de distribución de la variable aleatoria : • F(x) = P(  xj) = P({  E: ()  xj}) = xj  x P(=xj) = xj  x Pj • La F(x) de una variable aleatoria discreta es escalonada

7. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas Binomial Número de aciertos al observar B resultados dicotómicos o serie de Bernoulli. B=1, distribución de Bernoulli La probabilidad de observar un número de aciertos en B ensayos independientes con una proporción de aciertos A Hipergeométrica: Binomial en un contexto de muestreo de n elementos con reemplazamiento, Np aciertos, Nq fallos, N=Np+Nq y n PDF = CNpyCNqn-x/CNn Mean = np, Variance = npq(N-n)/(N-1) Multinomial: resultados en más de dos clases o categorías.

8. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas Geométrica Número de ensayos independientes hasta el primer acierto, con una propoción A de acierto Versión discreta de la distribución continua Exponencial

9. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas Binomial Negativa Número de ensayos hasta completar B aciertos en una serie de Bernoulli. B=1, distribución geométrica.

10. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas Poisson Número de eventos en un periodo de tiempo (soporte) dado con una tasa fija y estable (A) . Soporte continuo: tiempo, longitud, superficie,…

11. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias discretas Logarítmica Número de eventos en un periodo de tiempo dado. Número de artículos adquiridos por un comprador en un periodo de tiempo dado.

12. f(x) F(x) x Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas • Una variable aleatoria es continua si toma valores en un intervalo (xa,xb)   • Se dice absolutamente continua si P(x   x+dx) = f(x)dx, donde f es su • función de densidad (generaliza el histograma con infinitas clases) • Propiedades: • 1. f(x)  0, x • 2. +- f(x)dx = 1 • 3. F(x) = P(-   x) = x- f(t)dt • 4. f(x) = dF(x)/dx  • el modelo de probabilidad se define con f o F. • Los puntos o valores discretos de la variable aleatoria • continua no tienen masa de probabilidad. La probabilidad de un • valor x=a es la del intervalo [a-1/2,a+1/2] • La probabilidad de un intervalo [a,b] es P(a   b) = ba f(t)dt • Variable aleatoria mixta: F(x) = F1(x)+(1 - )F2(x), 0   1, F1 vad, F2 vac

13. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas Algunas distribuciones continuas: Antilognormal, HalfNormal(A,B), Bell curve, HyperbolicSecant(A,B), Beta(A,B,C,D), Inverse Gaussian, Bilateral exponential, InverseNormal(A,B), Bradford(A,B,C), Laplace(A,B), Burr(A,B,C,D), Logistic(A,B), Cauchy(A,B), LogLogistic, Chi(A,B,C), LogNormal(A,B), Chi-square, LogWeibull, Cobb-Douglas, Lorentz, Cosine(A,B), Maxwell, Double-exponential, Negative exponential, DoubleGamma(A,B,C), Nakagami(A,B,C), DoubleWeibull(A,B,C), Non-central Chi, Erlang, Normal(A,B), Error function, Pareto(A,B), Exponential(A,B), Power-function, Extreme-value Rayleigh, ExtremeLB(A,B,C), Reciprocal(A,B), Fisher-Tippett Rectangular, Fisk(A,B,C) Sech-squared, FoldedNormal(A,B), Semicircular(A,B), Frechet StudentsT(A,B,C), Gamma(A,B,C), Triangular(A,B,C), Gaussian, Uniform(A,B), GenLogistic(A,B,C), Wald, Gompertz, Weibull(A,B,C), Gumbel(A,B)

14. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas La distribución de errores de observaciones físicas que manifiesta ruido blanco en la medida Distribución simétrica Asociadas a la distribución Normal están las Distribuciones Chi-cuadrado y t-student

15. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas Distribución asociada al soporte continuo de La variable aleatoria discreta de Poisson Caso particular de la distribución Gamma y Weibull Tiempo de vida o entre fallos de procesos sin memoria

16. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas C=1, distribución Exponencial Modela distribuciones cuya asimetria es muy significativa Con C grande se aproxima a la Normal

17. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas C=1, distribución Exponencial Generalización de la Distribución Exponencial Modelización de tiempos en fiabilidad de sistemas

18. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas Describe la ignorancia dentro de un intervalo Los números pseudo-aleatorios que se generan en las simulaciones son uniformes en el intervalo [0,1] Posteriomente se utilizan para generar valores del proceso aleatorio de interés.

19. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias continuas Estimación bayesiana Distribución de probabilidad de los parámetros de un Modelo

20. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias. Características • Esperanza E[X], medida de centralización, promedio de los valores de la • variable con su probabilidad (va discreta) o • densidad de probabilidad (va continua). • Es un operador lineal E[aX+b]=aE[X]+b, E[h(X)] = +- h(t)f(t)dt • Varianza Var(X), medida de dispersión asociada a la Esperanza Var(X) = • 2 = E[(X-E[X])2], promedio con su probabilidad (va discreta) o densidad de • probabilidad (va continua). Var(X) = E[X2-E[X]2]. Var((aX+b) = a2Vax(X) • Cuantiles de orden p  [0,1], valores de la variable aleatoria que son la raiz • de la ecuación F(xp) = p, p  {1/4,1/2,3/4} xp cuartiles, • p  {1/10,1/5,…9/10} xp deciles, p  {1/100,1/50,…99/100} xp percentiles • Momentos de orden k: 0,1,3,4,5,… • E[Xk], k = E[(X-E[X])k], E[(X-x*)k]. CAs = 3 / 3, CAp = (4 / 4) – 3, CV =  /  • Mediana: cuartil x1/2, Moda: Máximo de Pj (va discreta) o de f(x) (va continua) • Tipificación:  va X, Y=(X-E[X])/Var(X) presenta E[Y]=0 y Var(Y)=1.

21. Modelización de la incertidumbre Variables aleatorias • Teorema de Markov • Dada la variable aleatoria  y g()  0,  K > 0, • P(g()  K)  E[g()]/K • Desigualdad de Chebyschev • Dadas E[] y  de cualquier variable aleatoria,  K > 0 • P(|  - E[]| < K )  1 – 1/K2 • P(|  - E[]|  K ) < 1/K2

22. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades • Estimación de probabilidades • Estimación objetiva (frecuencia relativa) y subjetiva (expertos) • Asignación de probabilidades: tarea compleja. • Métodos rigurosos y sistemáticos • Métodos directos e indirectos • Probabilidades para variables discretas y continuas • Morgan y Henrion (1990)

23. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Datos. • Momentos (Pearson) • Los k parámetros  son funciones de los momentos m1,…mk • Los momentos muestrales definen k ecuaciones. • Estimaciones insesgadas (E[’]= ), efiecientes (min Var()), • consistentes (E[’n] )y robustas ((1-)f(X)+  g(X)). ECM(’) = E[(- ’)2] • EMV (Fisher) • Maxima verosimilitud, estimar los parámetros de la distribución que • maximizan la probabilidad de la muestra observada. Se supone que los • datos son variables aleatorios identicamente distribuidas e independientes. • Estimaciones insesgadas (E[’]= ) • Otros métodos.

24. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Discretas • Asignación directa (simple y poco fiable) • Asignación basada en apuestas (motivación económica, punto de • indiferencia, favorable  desfavorable  favorable  …. Convergencia) • Asignación basada en loterías (comparar sorteos con uno de referencia) • Representación con árboles de sucesos • Continuas • Utilizar los métodos anteriores para asignar ciertas probabilidades • acumuladas y ajustar una función de distribución • Solicitar ciertos cuantiles (percentiles y cuartiles) y ajustar la F

25. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Otros métodos - mejoras • Método de la probabilidad: sesgo de confianza y anclaje, construir la F en • ciertos intervalos, contrastar y revisar los resultados • Método de las alturas relativas: escalas termométricas. Pj, f(x) • Método de Raiffa-Schlaifer: moda, hipótesis de apuntamiento elevado y • probabilidad baja de valores alejados de la moda • Descomposición y asignación de probabilidades: puede ser en principio • más sencillo asignar probabilidades condicionadas y tendencias. • Árboles de probabilidad – escenarios condicionantes

26. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Fases de educción • Adquisición de conocimiento (PROBABILISTICO) – Inteligencia Artificial. • Marco: encuesta / entrevista + diseño y preparación y ejecución y análisis • 1. Motivación: importancia y propósito • 2. Estructuración: definición de las variables y distribuciones de • interés. Escalas, tablas, parametros, características, funciones,… • Dependencias. • 3. Condicionamiento: identificar sesgos y • las causas (experto, técnicas,…) • Tarea compleja en tiempo. • SRI: fases 1, 2, 3 y • 4. Codificación: valores extremos (sesgos), redundancia (inconsistencias), • revisión, sensibilidad del experto al nivel de información o evidencia • 5. Verificación: refleja la asignación las creencias del experto? • Cuestionario derivado del modelo de probabilidad asignado.

27. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Comparativa de métodos. • - Depende del problema, del experto/decisor • - Recomendado: utilizar variso métodos. • Contraste de Consistencia de los resultados o juicios. • Las inconsistencias pueden resolverse o no en el marco del modelo. • Contraste de Coherencia entre sucesos complementarios. El espacio muestral • tiene probabilidad 1. • Calibración: ensayar el método/técnica en un problema sencillo no trivial • antes de atacar la asignación en el problema real

28. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Sucesos muy raros • Asignación de probabilidades pequeñas de sucesos sin precentes. • Estimaciones subjetivas muy sensibles al sesgo (infra/sobrestimación) • Difícil discriminar ordenes de magnitud en las probabilidad pequeñas. • Procedimientos de asignación: descomposición e identificación de factores • que determinan escenarios con probabilidades significativas del suceso raro • Arboles de sucesos: árboles de probabilidad, • etapa ~ factor. El Cálculo de Probabilidades • suministra la probabilidad global a partir de • las de los factores. Sucesos raros (sr)  hojas • Arboles de fallos: descomposición causal • del suceso raro. Causas  hojas. sr1 ¬sr ¬sr sr2 ¬sr ¬sr sr o y c1 c2 c3 c31 c32

29. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación • Heurísticas y sesgos • Disponibilidad de la heurística. • Recuerdos fuertes, Imaginación, correlaciones falsas • 2. Representividad de la heuristica. • Ignorancia de las tasas frecuencia, secuencias de artefactos o patrones previos, • ignorancia de la regresión a la media, conjunción de falacias • 3. Ajuste de la heurística. • Insuficiencia, sobreestimación de conjunción de eventos, infraestimación de • disyunciones de eventos. • 4. Otros sesgos en los juicios. • Sobre estimar los sucesos deseables, propagar la covarianza entre sucesos • Calidad de los juicios probabilísticos: expertos reales, problemas reales no de • laboratorio, asignación comprensible, motivación, frecuencia ~ probabilidad

30. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Discretización • Características de variables aleatorias continuas • Simulación, integración, discretización • Discretización: perdida de información mínima • Por niveles en cada nivel la media o mediana • Uniforme, ajuste de error • No Uniforme, para variables aleatorias multidimensionales • Divergencia de Kullback y Leibler