Relaciones de equivalencia

1. Relaciones de equivalencia

2. Definición Relaciones de equivalencia • Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U. • Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia si R satisface las tres propiedades: • R es reflexiva • R es simétrica • R es transitiva

3. Ejemplos Relaciones de equivalencia • La relación R sobre Z definida por: a R b  a – b es múltiplo de 3. • Sea k, la relación R sobre Z: a R b  a – b es múltiplo de k. • Dado un conjunto D  U, la relación: A R B  A  D = B  D • Sobre los números reales , la relación R: x R y  x – y  Z • La relación R sobre 2definida por: (x,y) R (a,b)  x.y = a.b • La relación R sobre Z2 definida por: (m,n) R (p,q)  m+q = n+p Una relación de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

4. Sea A un conjunto no vacío. Sean Diremos queP es una partición de Ay escribimos si: y Cada subconjunto Ajes una celda de la partición Partición de un conjunto Definición: Ejemplos: • Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es • P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}. • En efecto {1,3} {4}=  {1,3}  {2,5}=   {4}  {2,5}=. • Además {1,3}  {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A

5. Partición de un conjunto Ejemplos: 2) Sea A = {1, 2, 3, 4} una partición P de A con 2 celdas es P = { {1}, {2,3,4} }, donde A1={1}, A2={2,3,4}. En efecto {2,3.4}  {1} =   {1}  {2,3,4} = {1, 2, 3, 4} = A

6. Ejercicios Ejercicio 1: Determine todas las particiones posibles para el conjunto A = {1, 2, 3} Ejercicio 2: Determine el número de particiones distintas para el conjunto A = {1, 2, 3, 4} con exactamente dos celdas. Para pensar: Cuente todas las particiones distintas del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}.

7. Clase de equivalencia Definición: Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío. Sea a  A, llamaremos clase de equivalencia de a y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que están relacionados con a, es decir [a] = { x  A / x R a } Ejemplo: La relación R sobre Z : a R b  a – b es múltiplo de 2. Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1: [0] = { 0, ±2, ±4, ±4,… } y [1] = { ±1, ±3, ±5,… }

8. Ejercicios Ejercicio 3: En el conjunto A = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relación R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)} Determine [1], [2] y [4]

9. Clase de equivalencia Definición: Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R. El conjunto cociente es una partición de A • En efecto, • Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos. • La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.

10. Clase de equivalencia Demostración: 1) Sean x, y  A  [x]= [y]  [x]  [y] =  i) Si x R y  [x]= [y]; sea z  [x]  z R x  x R y  z R y (transitividad)  z  [y], de donde [x]  [y]. Razonando de manera similar se prueba que [y]  [x]. Por lo tanto, [x] = [y]. ii) Si (x,y)  R entonces [x]  [y] = . En efecto, si existiera z  [x]  [y] entonces z R x  z R y por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

11. Clase de equivalencia Demostración: 2) Veamos que En efecto, si x  A, como R es reflexiva, x R x  x  [x] Por otro lado, sea z tal que

12. Clase de equivalencia Toda relación de equivalencia sobre A genera una partición en A. Toda partición sobre el conjunto A, genera una relación de equivalencia

13. Ejercicios Ejercicio 5: En 2, la relación R definida por: (x,y) R (a,b)  x.y = a.b Determine las clases de equivalencia y dibújelas en el plano Ejercicio 6: Definimos en Z, la relación R: x R y  x2 – y2= x – y Encuentre las clases de equivalencia de algunos números, por ejemplo 0, 5 y 8

14. Soluciones Solución 1: Como A tiene 3 elementos solo podemos tener particiones con 3 celdas, 2 celdas y 1 celda, es decir, como A=3, el número 3 puede escribirse como 3 = 3 (partición con una celda de 3 elementos). Hay 1 3=2+1 (partición con dos celdas de 1 y 2 elementos). Hay 3=1+1+1 (partición con tres celdas de 1 elemento). Hay 1 Hay 5 particiones de distintas de A P1 ={ {1, 2, 3}} P2 = {{1, 2}, {3}}, P3 = {{1, 3}, {2}}, P4 = {{2, 3}, {1}} P5 = {{1}, {2}, {3}}