Relaciones de orden

1. Relaciones de orden Recordar: * ¿Qué es una relación de orden parcial? * ¿Cómo reconocer estas propiedades en una representación cartesiana? 

2. Relaciones de orden Definición: Un conjunto (A, R ) parcialmente ordenado es totalmente ordenado si cualesquiera dos elementos de A, a y b, están vinculados mediante la relación R. Es decir, a, b  A [a  b  a Rb  b R a ]. • Por ejemplo: • (N, ) es un conjunto totalmente ordenado. ¿Por qué? • Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) se define la relación • “A R B sii A  B”. • (P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado. ¿Por qué?

3. Relaciones de orden Ejercicio 1: En N, el conjunto de los números naturales se define la relación “divisor de”, así: “aRb sii a divide a b, (se denota por a|b)” (a|b si existe un número natural n tal que b = an) • Compruebe que es una relación de orden. • ¿Es un orden total o parcial? (Ir a la respuesta) Piénsalo un poco ...

4. Relaciones de orden Elementos distinguidos en un conjunto ordenado. Sea (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, E1: Elementos minimales mi  A es minimal x  A [x Rmi  x = mi]  x  A [x  mi  x ℟mi] (Esta es la proposición matemática para expresar que no existe otro elemento que sea, mediante la relación de orden, menor que el minimal). E2:Elementos maximales ma  A es maximalx  A [ma Rx  ma = x] (No existe otro elemento que sea, mediante la relación de orden, mayor que el maximal).

5. Relaciones de orden Ejemplos: 3) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {, {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de inclusión, la cual es de orden parcial  {1}  {1,2} y  {2}  {1,2}  Entonces, B es el elemento maximal y  es el elemento minimal, pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del minimal, ni “por encima” del maximal. 4) En el conjunto C = {, {1}, {2}} se define la relación de inclusión. Observar que  {1} y  {2}.  es el elemento minimal y tanto {1} como {2} son los elementos maximales.

6. Relaciones de orden Moraleja: Los elementos maximales y minimales no son únicos, en caso de existir. Ejercicio 2: ¿Es posible determinar el elemento minimal y maximal para la relación definida en N: a|b?

7. Relaciones de orden E3 Elemento mínimo a  A es mínimo x  A [ a Rx] E4 Elemento máximo b  A es máximox  A [ x Rb] Ejemplo:  En la relación “inclusión” sobre el conjunto A, el elemento máximo es el elemento maximal: el universo y el elemento mínimo es el conjunto vacío.

8. Relaciones de orden Teorema importante: “Si el conjunto A es parcialmente ordenado y posee elemento máximo (o mínimo) entonces este es único”. Demostración: Supongamos que el conjunto A posee dos elementos máximos, digamos M1 y M2. Por definición de máximo para cada uno: M1 máximo  M2R M1 M2 máximo  M1R M2 Como R es antisimétrica: entonces M1 = M2

9. Relaciones de orden Definiciones: 1) Un elemento cs de A es una cota superior de B  A sii x  B [ x Rcs] 2)  Un elemento ci de A es una cota inferior de B  A sii x  B [ ci Rx] 3) El supremo de B, es la mínima cota superior de B; la cual es un elemento de A. 4)  El ínfimo de B, es la máxima cota inferior de B; la cual es un elemento de A. 5) Los elementos a y b de A son consecutivos sii • a R b y • [a R x  x R b]  [a = x  x = b]

10. Relaciones de orden Ejercicio 3: Sea A = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48 } y la relación definida por “(a, b) Rsii a divide a b : a|b” Sea B = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Determinar para B, si existen • Cotas superiores • Cotas inferiores • Elemento minimal y elemento maximal. • Máximo y mínimo. • Supremo e ínfimo. • Elementos consecutivos. (Ir a la respuesta)

11. c a b Relaciones de orden Diagramas de Hasse: Sea (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y finito. A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el plano (o en el espacio), que llamaremos vértice. Un diagrama de Hasse es el gráfico resultante al unir dos elementos consecutivos mediante un segmento de recta, que llamaremos arista. Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relación R R = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)} Es de orden total. Su diagrama de Hasse es:

12. Relaciones de orden Ejercicio 4: Realizar el diagrama de Hasse para A = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } con la relación “(a, b) Rsii a divide a b : a|b” Ir a la respuesta

13. Relaciones de orden Tarea: Preparar para el jueves los ejercicios 19, 20 y 29 de la página 381 del libro. “El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña.” - Confucio.

14. Respuestas Ejercicio 1 a)Veamos que es una relación de orden * Como a= a.1 para cualquier a natural entonces a|a, por lo tanto a R a, para todo a natural. Entonces R es reflexiva. * Si aRb entonces a|b, i.e., existe un natural n tal que b = an. Si bRa entonces existe un natural m tal que a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m  n.m = 1  n = m = 1  a = b. Entonces R es antisimétrica. *Si aRb y bRc entonces existen naturales n y m tales que b = an y c = bm Por lo tanto: c = bm =(an).m = a (n.m) = a.k donde k es un n° natural. Esto indica que a|c o que aRc. Entonces R es transitiva. R es un orden parcial sobre A. b) No es un orden total. Por ej.: ni 2 está relacionado con 7, ni 7 está relacionado con 2. Esto indica que no es orden total. (Retorno)

15. (Retorno) Respuestas Ejercicio 3 a) Cotas superiores: 24, 48 Cotas inferiores: no tiene pues 2 no está relacionado con 3 b) Elemento maximal: 24. Elementos minimales : 2 y 3 ¿Por qué? c) Supremo: 24 e ínfimo: no tiene. d) Los elementos consecutivos son: 2 y 4 3 y 6 4 y 8 6 y 12 12 y 24 2 y 6 4 y 12 8 y 24 (Retorno)

16. 24 8 12 6 4 2 3 Respuestas Ejercicio 4 El diagrama de Hasse para el orden (A, R) es: Observa que se ha hecho una convención al construirlo: se traza un segmento de x hacia arriba, hacia y, si xRy y son consecutivos. De modo que leemos el diagrama de abajo hacia arriba, de los “elementos menores” hacia los “mayores” Retorno

17. A A ... Representación cartesiana Sea R una relación definida sobre el conjunto A. Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.

18. A A ... Representación cartesiana Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares se reflejan respecto a la diagonal principal.

19. A A Representación cartesiana Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la diagonal misma. Retorno ...