Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 w Szczecinie • Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu • ID grupy: • 98/91 G1 • 98/14 G2 Opiekun: • P. Halina Opala • P. Elżbieta Fietz • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • Historia liczby • Semestr/rok szkolny: • 4/5 / 2011/2012

3. Wstęp System liczbowy to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się pewnego skończonego zbioru znaków (cyfr), które można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. Celem prezentacji jest przedstawienie historii systemów zapisu liczb.

4. Systemy pierwotne Pierwsza metoda liczenia wykorzystywała metodę odpowiedniości jeden - jeden, która pozwala w bardzo prosty sposób porównywać dwa zbiory istot, czy przedmiotów tej samej lub różnej natury bez pomocy liczenia abstrakcyjnego. Dzięki tej metodzie człowiek prehistoryczny mógł przez wiele tysiącleci uprawiać arytmetykę sam tego nieświadomy i nie wiedzący, co to jest liczba pojęta abstrakcyjnie. W tym celu ludzie z różnych stron świata używali muszli, paciorków, twardych owoców, kości, patyków, zębów słonia, orzechów kokosowych, kulek glinianych, ziaren kakao. Układali te przedmioty w stosy lub rzędy w ilości odpowiedniej ilości istot lub przedmiotów, które chcieli policzyć.

5. Znaczyli też kreski na piasku lub robili węzełki na sznurkach, przesuwali muszle lub paciorki nawleczone na wzór różańca. Do liczenia zaczęto również wykorzystywać ciało: dotyka się kolejno palców prawej ręki, począwszy od małego, potem nadgarstka, łokcia, ramienia, ucha i oka prawego, następnie nosa i ust, potem oka, ucha, ramienia, łokcia i nadgarstka lewego i kończy się na małym palcu lewej ręki. W ten sposób dochodzi się do liczby 22. Jeśli to nie wystarcza, dodaje się brodawki piersi, biodra, części płciowe, potem kolana, kostki i palce u nóg, najpierw z lewej a potem z prawej strony.

7. W cielesnej technice liczenia posługiwanie się palcami ręki odegrało decydującą rolę. Cała ludzkość nauczyła się liczyć abstrakcyjnie do pięciu na palcach jednej ręki, a potem przedłużać ciąg liczb na palcach drugiej przez symetrię aż do dziesięciu. Ręka ludzka ma niezliczone zastosowania materialne. Jest jakby naturalnym narzędziem, szczególnie w uświadamianiu sobie liczb od 1 do 10 i w nauce elementarnej arytmetyki. Dzięki wielości i względnej niezależności palców i dzięki ich ruchliwości ręka stanowi kolekcję zbiorów wzorcowych, najprostszą, jaką człowiek ma "pod ręką".

9. Problem zaczął się pojawiać przy wyrażaniu dużej liczby. Nie można przecież bez końca dokładać patyczków, kamyków, rys lub supełków i ani liczby palców, ani liczby części ciała nie można dowolnie powiększać. Nie można też powtarzać nieograniczoną ilość razy tego samego słowa ani wciąż tworzyć nowych znaków dla coraz większych liczb. Rozwiązaniem okazało się grupowanie po np. dziesiątkami, setkami. Na pierwszą nitkę nawlekano 9 muszelek, następna nakładano na drugą i zdejmowano wszystkie z pierwszej. Kiedy na drugiej było 9, dziesiątą nakładano na trzecią i zdejmowano z drugiej, itd. Pierwsza nitka oznaczała jedności, druga dziesiątki, trzecia setki, itd.

10. Niektóre ludy miały zwyczaj grupowania liczonych obiektów po pięć, nauczyły się liczyć tylko na palcach jednej ręki, posługując się drugą jako "pamięciową" przy przedłużaniu liczenia. Ilustruje to technika palcowa, której ślady znajdują się w różnych rejonach Afryki i Oceanii. Liczy się najpierw pięć pierwszych jednostek wyciągając po kolei palce prawej ręki. Gdy doszło się do pięciu, zgina się duży palec u prawej ręki. I tak liczy się aż do dziesięciu wyciągając znowu palce lewej ręki, po czym zgina się palec wskazujący prawej ręki, żeby zaznaczyć pięć dalszych jednostek właśnie policzonych. Można tak liczyć aż do 25. A jeśli to nie wystarcza, można liczenie przedłużyć do 30 wracając znów do lewej ręki, która jest wolna

12. Znacznie bardziej rozpowszechniony rachunek dwunastkowy, który mógł doprowadzić do kompletnego oparcia numeracji na bazie 12, co stwarza system wygodniejszy od opartego na dziesiątce, gdyż 12 ma aż cztery dzielniki: 2,3,4,6. System dwunastkowy używany był w handlu, o czym świadczą tuzin i gros używane jeszcze dzisiaj. Można również policzyć do dwunastu używając palców jednej ręki, ponieważ każdy palec ma trzy człony, kciuk jest wyłączony z rachunku, gdyż służy bowiem za narzędzie do wykonywania operacji liczenia.

13. Sześćdziesiątka jako numeracja jest bardzo dużą bazą, silnie obciążające pamięć, gdyż wymaga znajomości sześćdziesięciu słów lub znaków dla nazwania liczb od 1 do 60. Jest to tak dużo, że tabliczka mnożenia lub dodawania bardzo trudno się wtedy nauczyć na pamięć. A jednak niektóre ludy posługiwały się tą bazą w ciągu wieków, a nasza własna kultura zachowała ślady tego, ponieważ i my jej używamy mierząc czas w godzinach, minutach i sekundach lub łuki i kąty w stopniach ,minutach i sekundach. W tym systemie również opracowano liczenie na palcach.

14. Cud ruchomości i prawności - ręka ludzka - jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym środkiem pomocniczym do liczenia i rachowania używanym przez rodzaj ludzki w ciągu wieków. Polega on na przypisaniu każdemu palcowi liczby całkowitej według naturalnego porządku tych liczb poczynając od jedności. To przypisanie odbywa się czasem przez podnoszenie kolejnych palców, jeśli zaczyna się od pozycji zgiętej, czasami przez opuszczanie jednego po drugim, jeśli na początku są wyciągnięte. Istnieją na świecie różne warianty tej techniki palcowej, Można np. przypisywać liczby palcom od prawej strony do lewej, lub na odwrót. Można zaczynać od kciuka lub małego palca, lub od wskazującego, jak czynią muzułmanie w Afryce Północnej

15. Ale ręka, pierwszy konkretny przyrząd do liczenia i rachunku, daje tylko chwilowe sposoby rejestracji liczb. Umie zadowolić potrzebę wzrokowego przedstawienia liczby, ale nie potrafi jej utrwalić w pamięci. Jedną z metod zapamiętania liczb, wynalezioną w epoce cywilizacji Inków było posługiwanie się sznureczkami z węzełkami. Przyrząd ten, zwany quipo albo quipu (od słowa znaczącego w języku Inków "węzeł"), składał się ze sznurka około dwóch stóp długości i z przywiązanych do niego cieńszych sznureczków barwnych, połączonych w kilka grup i umieszczonych w równych odstępach za pomocą różnego rodzaju węzłów

16. Te quipa spełniały wielorakie funkcje dzięki temu, że kolory cieńszych sznurków, ilość węzełków i ich położenie względem siebie, wielkość i rozkład ich skupień miały dokładnie określone znaczenie. Można było na quipu wyrazić pewne elementy liturgii oraz dane chronologiczne i statystyczne. Spełniały one rolę kalendarza i służyły do przekazywania informacji. Kolor sznureczka mógł umownie odpowiadać konkretnemu przedmiotowi lub abstrakcyjnemu pojęciu.

17. Quipu - przykłady

18. Metodą w najszerszym zakresie znaną w historii liczb i jedną z najstarszych jest liczenie za pomocą nacięć na kościach lub kawałkach drewna. Świadczy o tym chociażby bardzo ciekawy przedmiot przechowywany obecnie w muzeum Akwitanii w Bordeaux. Jest to zaostrzony kawałek rogu renifera z nacięciem podłużnym między dwoma rzędami nacięć poprzecznych, z których każdy składa się z dwóch grup równoległych nacięć, 3 i 7 rys z jednej strony, 5 i 9 z drugiej.

19. Inna metoda to metoda stosu kamyczków lub patyków, muszelek, twardych owoców. W Kenii pierścienie dookoła szyi i ramion są znakiem bogactwa i dystynkcji u kobiet z plemienia Masajów, ponieważ każdy pierścień oznacza posiadanie jednego wołu lub krowy. Jeszcze niedawno w niektórych wsiach afrykańskich liczono w ten sposób dziewczyny na wydaniu lub młodych ludzi zdatnych do noszenia broni

20. Metoda ta odegrała ważną rolę w arytmetyce. Gdy mówimy calcul słowo to wskazuje ten przedwieczny sposób, ponieważ calculus znaczy po łacinie "kamyczek". Kamyki leżą u podstaw abaków i liczydeł, to jest tych narzędzi, które człowiek wynalazł szukając praktycznego sposobu wykonywania coraz bardziej złożonych rachunków i z których tak często korzystał, gdy jeszcze nie znał rachunku na piśmie za pomocą cyfr "arabskich".

21. U narodów zachodnich abaki miały kształt tablic lub deseczek podzielonych kilkoma liniami poziomymi lub pionowymi na rzędy lub kolumny odpowiadające różnym rzędom numeracji, np. dziesiętnej. żeby przedstawić jakieś liczby i wykonać na nich pewne działanie, umieszczano na abaku kamyki lub żetony, z których każdy oznaczał jednostkę.

22. Liczydło zostało wynalezione w erze przedchrześcijańskiej. Była to metalowa płytka opatrzona pewną liczbą wyżłobień równoległych, wzdłuż których ślizgały się ruchome kuleczki tej samej wielkości. Każde wyżłobienie odpowiadało jednemu rzędowi dziesiętnemu z wyjątkiem dwóch skrajnych prawych, które przeznaczone były dla ułamków. Trzecie wyżłobienie odpowiadało jednostkom, następne dziesiątkom, piąte z kolei setkom, itd.

23. Co w pojęciu starożytnych było liczbą? Najstarsze pojęcie liczby (Okres od Talesa z Miletu do Euklidesa z Aleksandrii) to zbiór jedności całkowitych (dodatnich) lub jednakowych części jedności, czyli liczba całkowita i ułamek. Euklides określał liczbę jako stosunek danej wielkości do jednostki miary. Ten stosunek był zawsze liczbą dodatnią całkowitą lub ułamkową.

24. O cyfrach W rozważaniach o liczbach nie można pominąć znaków, za pomocą których wyrażamy liczby w piśmie. Te znaki nazywamy cyframi. Do najstarszych znaków cyfrowych należą: znaki babilońskie, egipskie, rzymskie, greckie, hinduskie i Majów. Bez cyfr trudno wyobrazić sobie matematykę. Wielu zapewne matematyka kojarzy się wyłącznie z cyframi, w przeciwieństwie do dyscyplin humanistycznych, operujących przede wszystkim słowem. Życie codzienne w dużym stopniu również zdominowane jest przez cyfry – gdy patrzymy na zegarek, płacimy za zakupy, zapisujemy datę itd. Cyfry stały się czymś tak powszechnym i oczywistym, że mogłoby się wydawać, iż takie są od zawsze, niezmienne. Nic bardziej mylnego. Ich zapis zmieniał się na przestrzeni wieków, a dodatkowo w różnych kulturach obowiązywały różne systemy cyfrowe. Cyfry używane współcześnie zaczęły zdobywać przewagę dopiero w epoce nowożytnej.

25. CO TO JEST CYFRA? Cyfra to umowny, symboliczny znak pisarski służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, co oznacza zero. Obecnie używane cyfry arabskie tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego i zostały zapożyczone przez Arabów z Indii. Najstarsze dokumenty zawierające znaki liczb, czyli cyfry, pochodzą z czwartego tysiąclecia p.n.e. Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się znaku zero, około V wieku n.e. Tłumaczyć to można trudnością uznania zera za liczbę. Pojęcie liczby znacznie łatwiej jest  bowiem powiązać z pewną grupą przedmiotów, gdy mowa np. o pięciu książkach czy dwunastu komputerach. Trudniej jest natomiast uznać, że zero, czyli „nic”, ma podobny status do innych liczb. Innymi słowy – liczby stwierdzają istnienie jakichś przedmiotów, podczas gdy zero stwierdza ich brak.

26. HISTORIA CYFR

27. Cyfry babilońskie Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni nowożytni znaleźli 44 tablice, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. Liczby babilońskie są właściwie kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesiątki i setki.Za pomocą tych znaków pisano każdą liczbę, posługując się zasadą mnożenia i dodawania, przy czym wówczas większa liczba zawsze poprzedza mniejszą.Oprócz tego sposobu pisania liczb Babilończycy posługiwali się systemem pozycyjnym i sześćdziesiątkowym. W systemie tym znak jedynki może oznaczać: 1, 60, 602 itd., zależnie od tego, na którym stoi miejscu.Babilończycy umieli wykonywać cztery działania arytmetyczne na liczbach naturalnych i ułamkach, obliczać procent, dzielić liczbę na części proporcjonalne.Ślady babilońskiej numeracji sześćdziesiątkowejodnajdujemy obecnie na przykład w rachubie czasu(godziny, minuty, sekundy),w używanych czasem nazwach kopa (60), mendel (15), tuzin (12), gros (144).

28. Cyfry Egipcjan Prawie tak samo stare jak babilońskie są cyfry egipskie. Do wyrażania swoich myśli i uczuć Egipcjanie używali hieroglifów. Uproszczone pismo hieroglificzne nazywamy hieratycznym.Egipcjanie najpierw pisali liczby wyższego rzędu a potem niższego. Stosowali przy tym zasadę dodawania lub mnożenia.Głównym źródłem naszych wiadomości o matematyce egipskiej jest tzw. Papirus Ahmesa (około 2000-1700 p.n.e.), pisarza faraona, znaleziony w roku1853 przez Anglika Rhinda. Papirus ten ma kształt wstęgi o długości 5,25 m. i szerokości 33 cm i zawiera wszystko, co w tamtej epoce Egipcjanom było znane w zakresie arytmetyki i geometrii.

29. Jeszcze o Cyfrach Egipcjan Starożytni Egipcjanie, podobnie jak wiele innych ludów, zapisywanie liczb zaczęli od bardzo prostej metody. Jedna pionowa kreska | oznaczała, że policzono jeden przedmiot, dwie kreski || – dwa przedmioty, trzy kreski ||| – trzy, cztery kreski |||| – cztery. Im większą liczbę trzeba zanotować, tym bardziej uciążliwy staje się ten sposób, a więc dla większych liczb wymyślili specjalne symbole. Liczby od 1 do 9 nadal zapisywano odpowiednią ilością pionowych kresek. Ale już 10 oraz liczby większe zapisywano specjalnym, pojedynczym znakiem.

30. Cyfry greckie • Grecy stosowali dwa sposoby zapisu liczb: joński i ateński. Sposobem jońskim liczby wyrażano literami alfabetu. Aby napisaną liczbę odróżnić od słowa, pisano nad nią kreskę. Sposobem tym posługiwali się mieszkańcy Miletu, Aleksandrii oraz regionów greckich pozostających pod wpływem kultury tych miast.Prawdopodobnie cyframi jońskimi posługiwali się Tales, Euklides, Archimedes i inni uczeni i filozofowie działający w Aleksandrii i Małej Azji.Ateńczycy początkowo do pisania liczb używali liter słów - liczebników :Г - oznaczało 5Δ - oznaczała 10 H - oznaczało 100X - oznaczało 1000M - oznaczało 10 000.I, II, III, IIII - oznaczało 1, 2, 3, 4.Za pomocą takich cyfr mógł starożytny Grek wyrazić potrzebną mu liczbę.

31. CYFRY GRECKIE

32. Cyfry rzymskie Znaki rzymskie są pochodzenia etruskiego i znane już były około 2500 lat temu. Początkowo Rzymianie zapisywali liczby za pomocą pionowych kresek. Później używano także liter. Cyfry, który w systemie rzymskim jest tylko siedem oznacza się dużymi literami alfabetu. System ten funkcjonuje do dziś. Cyfry rzymskie można spotkać na tarczy zegara, przy numeracji rzędów, używa się ich czasami do zapisu dat, oznaczania wielkich postaci na przykład Jan Paweł II, Jan III Sobieski itd.

33. Cyfry majów Majowie to naród, który zamieszkiwał tereny obecnego Meksyku, Hondurasu i Gwatemali, wytępiony przez zdobywców Ameryki. Naród ten stworzył wysoko rozwiniętą cywilizację. Do zapisu liczb Majowie używali między innymi takich znaków: jeden O, pięć_. A tak tworzyli liczby:dwa: OO, trzy: OOO, cztery: OOOO, sześć: O, siedem: OO ,

34. Cyfry arabskie Cyfry, którymi obecnie posługujemy się powszechnie, pochodzą od Hindusów. Narody europejskie poznały je dzięki Arabom. Słynny matematyk Leonardo Fibonacci z Pizy pierwszy podaje je w swoim wielkim dziele Liber Abaci (Księga abaku), wydanym w 1202 r.Polska była jednym z pierwszych krajów, który wprowadził u siebie cyfry hinduskie, a było to w XIV stuleciu. Arytmetyka oparta na użyciu cyfr hinduskich była u nas wykładana w Akademii Krakowskiej.

35. Jak zmieniały się cyfry

36. Systemy zapisywania liczb Najstarszy znany zapis liczby ma 30 tysięcy lat. W 1937 roku na Morawach znaleziono kość wilka, na której widać 55 rowków ułożonych w grupach po pięć. A więc najstarsza zapisana liczba to 55. Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie około 3300 p.n.e. Od tego odkrycia zaczęła się historia pisma: najpierw wymyślono sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisywania słów. Każdy lud wymyślał swój system liczbowy, wykorzystując specjalne znaki albo litery alfabetu. Do dziś zachowały się tylko cyfry rzymskie.

37. SYSTEM DZIESIĄTKOWY System dziesiątkowy był jednym z największych wynalazków ludzkości. Swój udział mają w nim Babilończycy, Egipcjanie i Hindusi, którzy opracowali ostateczną wersję. Pomysł, że ta sama cyfra może mieć różne znaczenie w zależności od miejsca, które zajmuje w zapisie liczby, nie był wcale prosty. Ale dzięki niemu można było stworzyć system zapisu dowolnie dużych liczb za pomocą 10 cyfr. Ciekawe, że wynalazek zera był ostatnim elementem odkrycia. Przez pewien czas obchodzono się przez zera, które zastępowano wolnym miejscem. Zamiast 103 pisano 1 3. Jednak puste miejsce oznaczające zero na końcu było rzeczą bardzo kłopotliwą i po jakimś czasie w pustym miejscu zaczęto stawiać kropkę, która ostatecznie zamieniła się w znane nam kółko. Długo jednak zero było tylko cyfrą, która samodzielnie nic nie znaczyła - uznawano tylko liczby dodatnie. Skoro układ dziesiątkowy wymyślili Hindusi, to dlaczego mówimy o "cyfrach arabskich"? Otóż do Europy wynalazek ten przenieśli właśnie Arabowie, którzy zresztą nazywają te cyfry hinduskimi. Dziś w krajach arabskich używa się cyfr o nieco innym kształcie, ale zasada konstruowania liczb pozostała bez zmian.

38. system rzymski W systemie rzymskim rolę cyfr spełniają litery. Pierwotne znaki tego systemu miały nieco inny kształt, a dopiero potem upodobniły się do liter. Cyfry rzymskie powstały najpierw jako skrócony zapis karbów wycinanych na patykach czy kościach. Najpierw stosowano metodę prostą, ale mało wygodną: jedna kreska odpowiadała jedności. Ponieważ jednak trudno szybko policzyć nacięcia co piąte stawiano na ukos. \ \ \ \/

39. Gdy liczby były jednak dużo większe, nawet liczenie kolejnych piątek sprawiało trudności, więc co drugą pisano jeszcze inaczej: \ \ \ \/ \ \ \ X Jeśli trzeba było zapisać liczbę 13, pisano prostu: \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ Później zauważono, że krócej jest napisać po prostu: X \ \ \ Następnie cyfry upodobniły się do liter i pisano po prostu XIII. Zwyczaj, aby pisać IX zamiast VIIII, jest jeszcze późniejszy.

40. Alfabet Braille’a Dzięki Luisowi Braille’owi, cyframi mogą posługiwać się także niewidomi. Alfabet ten oparty jest na wojskowym systemie umożliwiającym odczytywanie rozkazów bez użycia światła. Różni się od wojskowego tym, że jest oparty na 6 punktach wypukłych, które niewidomi odróżniają palcami.

41. Dzieje zera Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskich tekstów używało sanskryckiego słowa shunya w znaczeniu pustki. Zapiski pokazują, że starożytni Grecy nie byli pewni co do statusu zera jako liczby: pytali "jak nic może być czymś?", co doprowadziło do interesujących filozoficznych argumentów na temat natury i istnienia zera i próżni. Późni Olmekowie w południowo-centralnym Meksyku zaczęli używać prawdziwego zera (znak muszli) prawdopodobnie około IV wieku p.n.e. a na pewno w 40 roku p.n.e., kiedy stały się integralną częścią zapisu liczb u Majów, ale nie miało to wpływu na matematykę europejską.

42. Późni Olmekowie w południowo-centralnym Meksyku zaczęli używać prawdziwego zera (znak muszli) prawdopodobnie około IV wieku p.n.e. Później znak zera przekształcił się w grecką literę omikron (oznaczającą oryginalnie 70). Kolejne prawdziwe zero było używane na tablicach liczebników rzymskich ok. 525, ale jako słowo nulla oznaczające nic, a nie jako oddzielny symbol. Kiedy dzielenie dawało resztę zero, używano słowa nihil, także oznaczającego nic. Te średniowieczne zera były potem używane przez wszystkie średniowieczne algorytmy wyznaczania daty Wielkanocy. W 725 św. Beda Czcigodny używał litery N jako symbolu zera, w czym jednak był osamotniony. Do Europy hinduski system zapisu liczb dotarł w XI wieku za pośrednictwem hiszpańskich Maurów, stąd jego cyfry zostały nazwane cyframi arabskimi. Fibonacci używał w XIII wieku zera ale tylko jako cyfry. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie.

43. Odkrycie zera było jednym z ważnych i bardzo późnych wynalazków matematycznych. Dokonali go dopiero Hindusi przy okazji wymyślania systemu dziesiątkowego. Liczby niewymierne są znacznie starsze! Nic więc dziwnego, że w wielu książkach zera nie zalicza się do liczb naturalnych. Jednak w podręcznikach szkolnych stosuje się umowę, według której zbiór liczb naturalnych obejmuje również zero.

44. Liczby naturalne Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce. Taki system zapisu liczb nie nadaje się do zapisu dużych liczb. Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok. 3400 p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok. 3100 p.n.e.). W XIX wieku Russell zdefiniował po raz pierwszy ściśle liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych. Peano w 1889 zaksjomatyzował liczby naturalne. Na początku XX wieku von Neumann stworzył swoją konstrukcję liczb naturalnych.

45. O liczbach ujemnych Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I wieku p.n.e. Chińska praca Jiu-zhang-Suanshu(Dziewięć tekstów o sztuce matematyki) zawierała metody znajdowania powierzchni figur. Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne – ujemnych. To najwcześniejsza znana wzmianka o liczbach ujemnych na świecie. W kulturze zachodniej pierwsze użycie liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0 w dziele Aritmethica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie. .

46. Na początku VII wieku liczby ujemne były używane w Indiach w celu księgowania długów. Praca Diofantesa była znana i rozważana przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę, który w pracy „Brahma-Sphuta-Siddhanta 628” używał liczb ujemnych w celu stworzenia ogólnej postaci funkcji kwadratowej. Jednak kiedy w XII wieku w Indiach Bhaskarauzyskał ujemne pierwiastki równania kwadratowego, stwierdził że ujemne wartości "w tym przypadku nie powinny być brane, gdyż są nieadekwatne. Ludzie ich nie aprobują." Większość europejskich matematyków odrzucała koncepcję liczb ujemnych aż do XVII wieku, chociaż Fibonacci akceptował ujemne rozwiązania w zagadnieniach finansowych, gdzie reprezentowały ujemne salda (rozdział 13 Liber Abaci, rok 1202) oraz straty (w pracy Flos). W tym samym czasie, Chińczycy oznaczali liczby ujemne przez przekreślenie ostatniej niezerowej cyfry liczby. W Europie liczb ujemnych użył Chuquetw XV wieku. Używał ich jako wykładników, nazywając "liczbami absurdalnymi". Aż do XVIII wieku powszechnie nie uznawano liczb ujemnych i odrzucano ujemne rozwiązania równań jako nie posiadające interpretacji

47. Kto odkrył liczbę ujemną? Z liczbą ujemną musiał się spotkać już Diofantos (III-IV w. n.e.), ale udawał że jej nie widzi, bowiem takich liczb nie uznawał. Ojciec europejskiej algebry Muhammed ibn Musa Al-Chorezmi (IX w. n.e.). również nie uznawał liczb ujemnych i omijał je, natomiast starożytna matematyka chińska i hinduska znała je od dawna.

48. Kto po raz pierwszy w Europie uznał liczbę ujemną? Pierwszy, kto nie pominął, liczb ujemnych ,milczeniem, był Włoch Leonardo z Pizy(Fibonacci, XII-XIII w.n.e), który rozwiązując zadanie dane mu na turnieju matematycznym nie odrzucił odpowiedzi ujemnej, lecz wytłumaczył ją poglądowo jako stratę(dług).

49. UŁAMKI ZWYKŁE Starożytni Egipcjanie znali tylko ułamki proste, czyli ułamki o liczniku równym 1. Każdą inną liczbę niecałkowitą przedstawiali w postaci sumy ułamków prostych. Można sobie wyobrazić, jakie to było skomplikowane. W starożytnej Grecji w V wieku p.n.e. stosowano już ułamki o dowolnych licznikach i mianownikach. Co ciekawe, już wtedy zapisywano je w postaci , ale mianownik znajdował się nad, a licznik pod kreską ułamkową ( przy czym jako cyfry występowały litery greckie). W papirusie Rhinda, zapisanym w Egipcie ponad 2500 lat temu, znajdujemy zadania na dodawanie i mnożenie ułamków. Były to skomplikowane rachunki, bo Egipcjanie znali tylko ułamki proste, czyli ułamki o liczniku równym 1. Reguły działań na ułamkach zwykłych opisane zostały po raz pierwszy w chińskiej " Matematyce w dziewięciu księgach" ( II wieku p.n.e. W Europie działań na ułamkach i liczbach mieszanych jako pierwszy uczył Fibonacci w "Księdze Abaku" (1202 r). oczywiście już znacznie wcześniej wykonywano przydatne w praktyce rachunki na ułamkach.

50. Ułamki dziesiętne Już Sumerowie używali czegoś w rodzaju ułamków dziesiętnych, ale w systemie sześćdziesiątkowym. Nie używali przy tym przecinka. Pierwsze ułamki dziesiętne używane były w Chinach w III wieku n.e. W Europie wprowadził je matematyk flamandzki Simon Stewin w XVI w. Przecinek w zapisie ułamka dziesiętnego zastosował w 1617 r. szkocki baron John Neper. W Anglii i USA zamiast przecinka używa się kropki, dlatego spotykamy ją w kalkulatorach. W pozostałych krajach europejskich w tym w Polsce, używamy przecinka. Przed II wojną światową w Polsce zamiast przecinka niekiedy używano kropki, ale podniesionej ( jak dziś znak mnożenia).