MANUAL DE LABORATORIO DE CÓMPUTO ECONOMETRÍA II MODELOS DE ELECCIÓN DISCRETA PARA DATOS AGRUPADOS

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS ECONÓMICAS MANUAL DE LABORATORIO DE CÓMPUTOECONOMETRÍA IIMODELOS DE ELECCIÓN DISCRETA PARA DATOS AGRUPADOS Profesor: Barland A. Huamán Bravo 2011

2. Datos Agrupados En la práctica, muchasveces, en lugar de tener los datoscorrespondientes a cadauno de los individuosquecomponen la muestra lo quetenemos son los cuadrosresúmen de los datosindividuales. Cuandoestoscuadrosresúmenmuestran los datosagrupados de acuerdo a algunacaracterística (porgrupos de edad, educación, etc) los datosreciben el nombre de AGRUPADOS.

3. Datos Agrupados En nuestro primer ejemplo supongamos que tenemos agrupados los datos de las 100 personas que compraron televisores en 5 grupos de ingreso como los siguientes:

4. Datos Agrupados En términos matemáticos supongamos que tenemos ni observaciones en el grupo i y de esas observaciones para mi se cumple el evento analizado y para ni – mi no se cumple. Entonces podemos definir la probabilidad expost de comprar un televisor Sony para cada uno de los grupos como:

5. DatosAgrupados: MPL Supongamos que escribimos las probabilidades ex ante utilizando el MPL. Esto es: Esta última ecuación se puede re-escribir como sigue: Donde

6. DatosAgrupados: MPL En muestras grandes (para valores grandes de ni para todo i) y por lo tanto E(ui)  0. Por otra parte, por tratarse de una variable binomial. Esta varianza tiene la característica de no ser constante. Esto es, como lo habíamos notado antes, los modelos de variable dependiente categórica son heterocedásticos aún para el caso de datos agrupados.

7. Datos Agrupados: MPL Para poder obtener estimadores eficientes del modelo uno debe corregir la heterocedasticidad. En este caso particular, el método es sencillo porque conocemos la forma funcional de la varianza de los errores del modelo. Lo único que debemos hacer es obtener una estimación de la misma. La estimación puede obtenerse a partir de las probabilidades ex post como sigue.

8. Datos Agrupados: MPL Unavezquetenemosestavarianzadefinimos el ponderador

9. Datos Agrupados: MPL Y aplicamos el método de mínimos cuadrados generalizados estimados: Los estimadores de los parámetros de la ecuación anterior son insesgados, consistentes y eficientes.

10. Datos Agrupados: MPL No obstante, el MPL en el caso de datosagrupadosestásujeto a menoscríticasque en el caso de micro datoscomparte los mismosproblemas. Además, uno de los problemasquepuedeocurrirescuando el agrupamiento de los datos (como en el ejemplo de los televisores) dejaalgún valor de . En estecaso no se puedeconstruir el ponderadorwi.

11. Datos Agrupados: MPL Ejemplo: Una empresa vitivinícola lanzó al mercado hace un año un nuevo vino blanco y está pensando en ofrecer un precio especial como forma de re lanzar su producto. La empresa consideraría esta estrategia si con una disminución del 10% en el precio logra un aumento más que proporcional en la probabilidad de compra del vino. La empresa nos contrata para que ayudemos en la toma de esta decisión. • Para ayudarnos en nuestra investigación la empresa nos entrega (de sus archivos) los siguientes datos agrupados por barrio:

12. Datos Agrupados: MPL Número de personas en el barrio que compra el vino de la empresa Precio promedio de venta del vino en los comercios del barrio Número total de personas en el barrio

13. Datos Agrupados: MPL Para responder a la inquietud de la empresaestimemos la probabilidad de compra de suproductoutilizando un MPL. Estoes, especifiquemos el siguientemodelo: Precio de venta promedio

14. Datos Agrupados: MPL Como sabemos, estemodelopresentaheterocedasticidadpor lo tantodebemosemplear el método de mínimoscuadradosgeneralizadosestimados. Para esto, primerodebemosconstruirunaestimación de la varianza de los erroresutilizando la fórmula:

15. 183/203 = 0.901 0.901*(1-0.901)/203 (1/0.00044)0.5

16. Datos Agrupados: MPL Ahora estamos en condiciones de crear la variable dependiente y las independientes. La variable dependiente es la multiplicación de la probabilidad de comprar el producto de la empresa por el ponderador wi. Las variables independientes son, el ponderador wi que multiplica a  y el precio promedio multiplicado por wi. Estos datos se presentan en la siguiente tabla.

18. Datos Agrupados: MPL Entonces la estimación de los parámetroses:

19. Datos Agrupados: MPL El modeloestimadoes: Para calcularlasvarianzasestimadas de los coeficientes del modeloprimerodebemosestimar la varianza de los residuos a partir de:

20. Datos Agrupados: MPL Entonces:

21. Datos Agrupados: MPL Para evaluar la estimación podemos realizar los contrastes de hipótesis sobre los coeficientes individuales. H0:  = 0 vs. HA:   0 Como el valor del estadístico de contraste es mayor al valor crítico de la distribución, se rechaza la hipótesis nula.

22. Datos Agrupados: MPL H0:  = 0 vs. HA:   0 Como el valor del estadístico de contrasteesmenor al valor crítico de la distribución, se rechaza la hipótesisnula. Unadisminución del 10% en el precioprovoca un aumento de 0.361% en la probabilidad de compra del vino.

23. Datos Agrupados: Logit El modeloLogitparadatosagrupadospuedeinterpretarse a través de la definición de la tasa de probabilidad. La tasa de probabilidad se define como el cociente entre la probabilidad de queocurra el eventoque se analiza y la probabilidad de que no ocurra. Estoes:

24. Datos Agrupados: Logit La tasa de probabilidad nos dice las “chances” que hay de que el evento que estamos analizando ocurra. Por ejemplo, si Pr(Yi=1 |X)=0.8 y Pr(Yi=0 |X)=0.2, entonces la tasa de probabilidad es 0.8/0.2=4/1. Esto quiere decir que hay chances de 4 a 1 de que ocurra el evento analizado. El evento analizado es 4 veces más probable.

25. Datos Agrupados: Logit Para el modeloLogit la tasa de probabilidades:

26. Datos Agrupados: Logit Por lo tanto, podemosescribir el modelocomo: Como antes, podemos re escribir la ecuación anterior como:

27. Datos Agrupados: Logit Donde: En estecaso, comoocurría con el MPL, puededemostrarseque:

28. Datos Agrupados: Logit Como ocurría con el MPL, aquítambién se debeestimarpormínimoscuadradosgeneralizadosdebido a la heterocedasticidad de los errores del modelo. Para estocalculamos el siguienteponderador:

29. Datos Agrupados: Logit Y aplicamos el método de mínimos cuadrados generalizados estimados: Los estimadores de los parámetros de la ecuación anterior son insesgados, consistentes y eficientes.

30. Datos Agrupados: Logit Ejemplo (continuación): Resolvamos el problema de la probabilidad de comprar el vinoblancousando un modeloLogit: En estecasonuestraprimeratareaesconstruir la variable dependiente, esdecir el logaritmo de la tasa de probabilidad.

31. Datos Agrupados: Logit Como estemodelotieneheterocedasticidaddebemoscalcularunaestimación de la varianza de los errores a partir de: Y los valores del ponderadorcomo: Estosresultados se muestran en la siguientetabla:

33. Datos Agrupados: Logit Ahoraestamos en condiciones de crear la variable dependiente y lasindependientes. La variable dependientees la multiplicación del logaritmo de la tasa de probabilidadpor el ponderadorwi. Las variables independientes son, el ponderadorwiquemultiplica a  y el preciopromediomultiplicadoporwi. Estosdatos se presentan en la siguientetabla.

35. Datos Agrupados: Logit Entonces, la estimación de los parámetroses:

36. Datos Agrupados: Logit El modelo estimado es: Ó, escrito en términos de la tasa de probabilidad:

37. Datos Agrupados: Logit El modelo estimado es: Ó, escrito en términos de la tasa de probabilidad:

38. Datos Agrupados: Logit La matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores es:

39. Datos Agrupados: Logit Para evaluar la estimaciónpodemosrealizar los contrastes de hipótesissobre los coeficientesindividuales. H0:  = 0 vs. HA:   0 Como el valor del estadístico de contrastees mayor al valor crítico de la distribución, se rechaza la hipótesisnula.

40. Datos Agrupados: Logit H0:  = 0 vs. HA:   0 Como el valor del estadístico de contrasteesmenor al valor crítico de la distribución, se rechaza la hipótesisnula. Los dos coeficientes son estadísticamentesignificativos. Pero en estecasoesmásdifícil responder a la pregunta de la empresa. Porqué?

41. Datos Agrupados: Logit Una posible respuesta es calcular el impacto de una disminución en el precio para el “individuo promedio”. Esto es: Reemplazando obtenemos que

42. Datos Agrupados: Logit Esto quiere decir que ante una disminución del 10% la probabilidad de comprar el nuevo vino aumenta 0.344% medida en el individuo promedio.

43. Datos Agrupados: Probit El modeloProbitparadatosagrupadospuedeescribirse a partir de la siguienteexpresión , donde(•) representa la función de distribuciónacumulada de la Normal. A partir de estaprobabilidad y aplicando la funcióninversaobtenemos:

44. Datos Agrupados: Probit Como antes, podemos re escribir la ecuación anterior como: Donde . Para el modeloProbitpuededemostrarseque:

45. Datos Agrupados: Probit Donde(•) es la función de densidad de la distribución Normal. Note que, a diferencia de lo queocurría con los casosanteriores, no podemosestimar la varianza de los erroressimplementereemplazando la probabilidad ex ante porsuestimación ex post. Además, necesitamos la estimación de los parámetros del modelo.

46. DatosAgrupados: Probit Por lo tanto, en el caso de la estimación del modeloProbit con datosagrupados se procede de la siguientemanera: 1. Estime el modelopormínimoscuadrados y obtengaestimadores de  y . 2. Calcule el ponderador 3. Estimepormínimoscuadradosgeneralizados:

47. Datos Agrupados: Probit Los estimadores de los parámetros de la ecuación anterior son insesgados, consistentes y eficientes. Como se puede observar, siempre que se tengan datos agrupados los modelos (MPL, Logit y Probit) se estiman por el método de mínimos cuadrados generalizados estimados, mientras que cuando tenemos micro datos el método utilizado es el de máxima verosimilitud.

48. Datos Agrupados: Probit Ejemplo (continuación): Resolvamos el problema de la probabilidad de comprar el vino blanco usando un modelo Probit: En este caso nuestra primera tarea es construir la variable dependiente, es decir la inversa de la función de probabilidad acumulada de la normal estandarizada. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

50. Datos Agrupados: Probit Entonces, la estimación de los parámetroses: