Continuità delle funzioni

1. Continuità delle funzioni

2. Funzione continua in un punto Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x0un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x0 se risulta: lim f(x) = f(x0)

3. Deduzioni • Esiste il valore della funzione nel punto x0 • Esiste ed è finito il limite della funzione per • Il limite coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto

4. Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma: lim f(x0 +h) = f(x0)

5. Se una funzione f(x) è continua in un punto x0 il calcolo del limite per x tendente a x0 si ottiene ponendo nella funzione x = x0

6. Esempi di funzioni continue • La funzione f(x) = k è continua in ogni suo • punto; cioè qualunque sia x0 lim k = k

7. Esempi di funzioni continue b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0 lim x = x0

8. Esempi di funzioni continue c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0 lim xn =

9. Esempi di funzioni continue d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante; cioè

10. Esempi di funzioni continue e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0 lo sono pure: f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x) * g(x)

11. Esempi di funzioni continue f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore

12. Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari

13. Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = (con a>0) è continua in ogni x

14. Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = è continua in ogni x>0

15. Esempi di funzioni continue f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx sono continue in ogni x

16. Funzione continua in un intervallo Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

17. Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto. Teorema di Weirstrass

18. Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimo assoluti. Teorema di Bolzano

19. Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno all’intervallo. Teorema

20. Funzioni monotone Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b). Se per ogni coppia di punti x1e x2dell’intervallo, con x1 < x2 risulta: allora f(x) è crescente M O N O T O N A non decrescente decrescente non crescente

21. Funzioni limitate Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b). Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente I valori h e k possono non appartenere al codominio.

22. Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.

23. Funzione di funzione

24. Sia z=g(x) una funzione definita in un intervallo (a,b); Sia inoltre y=f(z) una funzione della variabile z, definita per ogni valore della variabile z che si ricava dalla funzione z=g(x) al variare di x nell’intervallo suddetto.

25. Dicesi funzione di funzione o funzione composta la funzione y=f[g(x)]

26. esempio

27. Forme indeterminate di limiti

28. Limiti notevoli

30. Punti di discontinuità di una funzione

31. Discontinuità di prima specie La funzione è discontinua di prima specie in x0 quando in tale punto esistono finiti e diversi il limite sinistro e destro.

32. La differenza Si chiama salto della funzione in x0

33. Discontinuità di seconda specie La funzione è discontinua di seconda specie in x0 quando in tale punto o non esiste o non è finito uno dei limiti sinistro e destro..

34. Discontinuità di terza specie La funzione è discontinua di terza specie in x0 quando in tale punto esiste finito ma la f(x) non è definita in tale punto o il suo valore è diverso da detto limite.

35. La discontinuità di terza specie è eliminabile perché si può sostituire ad f(x0 ) il valore del limite.

36. esempi

37. Asintoti La retta x=x0 si dice asintoto verticale della funzione y=f(x) se: oppure

38. Asintoti La retta y=l si dice asintoto orizzontale della funzione y=f(x) se:

39. Asintoti La retta y=mx+q si dice asintoto obliquo della funzione y=f(x) se:

40. con e

41. Infinitesimi Una funzione f(x) si dice infinitesimo per x che tende a x0 se:

42. Se f(x) e g(x) sono infinitesimi per x che tende a x0 e se esiste un intorno di tale punto tale che in tutti i punti dell’intorno risulti g(x) diverso da zero allora si potrà avere:

43. f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x); cioè tende a zero più velocemente.

44. f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x); cioè tende a zero meno velocemente.

45. f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine di g(x); cioè tende a zero con la stessa velocità.

46. f(x) e g(x) non sono confrontabili.

47. Per confrontare più infinitesimi spesso si fa riferimento ad un medesimo infinitesimo chiamato infinitesimo principale che sarà:

48. f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto all’infinitesimo principale se:

49. Infinito Una funzione f(x) si dice infinito per x che tende a x0 se:

50. Infiniti