GRUP NORMAL

1. GRUP NORMAL

2. Intidarisebaranghomomorfismagrupmempunyaisifattambahanyaitumengandungsemuakonjugat (conjugates) darianggotanya. Definisi VIII.1 • GrupbagianSdarigrup G dikatakangrupbagian normal ( normal subgroup ) asalkanuntuksetiapanggotanyasdalamSdansetiapaGberlakubahwaa-1saS. • IstilahSgrupbagian normal darigrupGsering kali disingkatsebagaiS normal dariG. • Berikutinisifat-sifattentang normal darisuatugrup.

3. Teorema VIII.1 • UntuksebaranggrupGberlakubahwa { 0 } danGmerupakan normal dalamG. • JikaGabelianmakasetiapgrupbagiandariG normal dalamG. • GrupbagianS normal dalamGjikadanhanyajikaaS = SauntuksemuaaG. • GrupbagianS normal dalamGjikahanyajikaa-1Sa = SuntuksemuaaG. • JikaS normal dalamGdanTsebaranggrupbagiandariGmaka ST = { st | sSdant T } grupbagiandariG.

4. Teorema VIII.2 : Jikaf : GHhomografismagrupmakainti Ker(f) normal dalamG. Bukti : • Misalkanx Ker(f) danaG. • Akanditunjukkanbahwaxadalam Ker(f). f( xa) = f(x) f(a) = f(x ) ef(a) = f( a) = f(e) = e. • Berartixadalam Ker(f).■ Definisi VIII.2 : Misalkanf : G HsebarangfungsidanXsebaranghimpunanbagiandariH. Prapeta (inversimage) Xdibawahf yang dilambangkandenganf–1(X) didefinisikansebagai : f–1(X) = { gG | f(g) X }.

6. Teorema VIII.3 Misalkanf : G Hhomomorfisma. Sifat – sifatberikutiniberlaku : • JikaSgrupbagiandariHmakaf–1(S) grupbagiandariG. • JikaNgrupbagian normal dariHmakaf–1(N) normal dariG. • JikaSgrupbagiandaripetaf(G) danordedariGberhinggamakaordedarif(G) samadengan |K| |S| denganKintidarif.

7. Bukti : Karenaf(e) = edenganedalamSmakaanggotadentitaseberadadalamf–1(S). Misalkanx, ydalamf–1(S). Karenaf(xy) = f(x) f(y) = ssuntuksuatus, sdalamS danStertutupmakaf(xy) dalamS. Akibatnyaxydalamf–1(S). Misalkanx –1adalahinversdarixdenganxdalamf–1(S). Akandibuktikanbahwaf–1(N) tertutupdibawahoperasikonjugatdarianggotanya. Ambilsebarangxdalamf–1(N) danadalamG. Karenaxdalamf–1(N) makaf(x) dalamNsehingga f(a–1xa) = f(a–1) f(x) f(a) = ( f(a) ) –1f(x) f(a). KarenaN normal dalamf(G) maka ( f(a) ) –1f(x) f(a) dalamf(G) danakibatnyaa–1xadalamf–1 (N). Berartif–1(N) tertutupterhadapoperasikonjugat.

8. Untuksetiaps dalamS dapatdinyatakans = f(x) untuksuatuxdalamGkarenas f(G).■

9. LATIHAN • BerikancontohbahwauntukSdanTgrupbagiandarigrupGmakaSTtidakperlugrupbagiandariG. • BuktikanbahwajikaSdanT normal dalamGmakaSTjuga normal dalamG. • Diketahuibahwaf : G Hhomomorfismagrup. BuktikanbahwajikaN normal dalamGmakaf(N) = { f(n) | ndalamN } grupbagian normal dariIm(f) = f(G).

10. MisalkanHgrupbagian normal dariG. JikaHdanG/HabelianmakaapakahGharusabelian. • JikaH normal darigrupGmakabuktikanbahwaC(H) = { xG | xH = Hx } merupakangrupbagian normal dariG.

11. TERIMA KASIH