1 / 29

HOMOMORFISMA GRUP

HOMOMORFISMA GRUP. Dalam mempelajari sistem , perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar .

tejana
Download Presentation

HOMOMORFISMA GRUP

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. HOMOMORFISMA GRUP

  2. Dalammempelajarisistem, perlujugamempelajaritentangsuatufungsi yang mengawetkanoperasialjabar. • Sebagaicontoh, dalamaljabar linier dipelajaritentangalihragam linier ( linier transformation ). FungsiiniT : V  W mengawetkanpenjumlahandanpergandaanskalar. Definisi VII.1 • Diketahuipemetaan/fungsif : AB. Fungsi f dikatakansurjektifjikadanhanyajikauntuksetiapyBterdapatxAsehinggay = f(x).

  3. Contoh VII.1 : • Diketahuifungsif : R  R denganf(x) = x. Fungsifmerupakanfungsi yang surjektif. Sedangkanfungsif : RRdenganf(x) = x2bukanfungsisurjektifkarena -2  R tetapitidakadax R sehinggaf(x) = x2 = -2. Definisi VII.1 • Diketahuipemetaan/fungsif : AB. • Fungsifdikatakaninjektifjikadanhanyajikauntuksetiapx, yAdenganf(x) = f(y) berlakux = y.

  4. Contoh VII.2 : • Diketahuifungsif : R  R denganf(x) = x3. Fungsifmerupakanfungsi yang injektifkarenauntuksetiapx, yR denganf(x) = f(y) makax3 = y3sehinggaberlakux = y. • Sedangkanfungsif : R  R denganf(x) = x2bukanfungsiinjektifkarenaada -2 , 2  R dan -2 ≠ 2 tetapif(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2). Definisi VII.1 • Diketahuipemetaan/fungsif : AB. Fungsifdikatakanbijektifjikafinjektifdanfsurjektif.

  5. Contoh VII.3 : • 1. Fungsif : R  R denganf(x) = xmerupakanfungsibijektif. • 2. Fungsif : R  R denganf(x) = x2merupakanbukanfungsibijektifkarenaftidakinjektif. • 3. Fungsif : R  R denganf(x) = 2 x + 3 merupakanfungsibijektif. • 4. Fungsif : R  R denganf(x) = x3merupakanfungsibijektif. • 5. Fungsif : R R+denganf(x) = exmerupakanfungsibijektif. Definisi VII.1 • Misalkan < G, * > dan < H, .> grup. • Pemetaanf : GHdinamakanhomomorfismagrupjikafmengawetkanoperasiyaituasalkanbahwaf(x * y) = f(x) . f(y) untuksemuax, yG.

  6. Contoh VII.4 • Misalkan < G, . > suatugrupabeliandannbilanganbulattertentu. • Akanditunjukkanbahwaaturanf(x) = xnmendefinisikansuatuhomomorfisma f : GG. • Karenaf(xy) = (xy)n = xnyn = f(x) f(y) makafmengawetkanoperasi. • Khususnya,  : Z10* Z10* dengan (x) = x2. Hal ituberarti(1) = 1, (3) = 9, (7) = 9, dan(9) = 1. Contoh VII.5 • Determinansebenarnyamerupakanhomomorfismadari M2x2* keR* karenadeterminanmempunyaisifatdet(AB) = det(A) . det(B) yang berartifungsideterminanmengawetkanoperasi. Dalamhalinideterminanjugamerupakanfungsi yang surjektif.

  7. Suatuhomomorfismagrup yang bijektif (surjektifdaninjektif) dinamakanisomorfismagrup, sedangkanisomorfismadarigrupGkedirinyasendiridinamakanautomorfisma. • DalamteorigrupautomorfismadapatdigunakanuntukmenghubungkangrupbagiandarisuatugrupGdengangrupbagian yang lain dalamupayamenganalisisstrukturdarigrupG. Salahsatubentukautomorfisma yang pentingadalahsebagaiberikut: untuksetiapbdalamGterdapatsuatuautomorfismafbyang membawaxkekonjugatnyayaitub-1xb. PetadarisebaranggrupbagianSdibawahautomorfismafbadalahb-1Sb = { b-1s b | sdalamS }. • DalamhalinimerupakangrupbagiandariG yang isomorfisdenganS. Berbagaigrupbagianb-1SbdinamakankonjugatdariS.

  8. Manfaatutamadarihomomorfismaf : GHyaitudenganmelihatsifat-sifatdaripetanya (image) dapatdisimpulkansifat-sifatdarigrupG. Definisi VII.3 • PetaIm(f) atauf(G) darihomomorfismagrup f : GHdidefinisikansebagai Im(f) = f(G) = { f(g) | gG }. • PetadarihomomorfismafsamadenganHjikafsurjektifataufpada (onto) H.

  9. Teorema VII.1 • Jikaf : GHhomomorfismagrupmakaIm(f) grupbagiandariH. Bukti Akandibuktikanbahwa f(G) tertutup. • Ambilsebarangf(a), f(b) dalamf(G). Karenafhomomorfismamakaf(ab) = f(a) f(b). • Tetapia, bdalamGsehinggaabdalamG (sebabGgrup). • Jadif(a) f(b) = f(ab) dalamGdenganabdalamGatauf(G)tertutup. Akandibuktikanbahwa edalam f(G) • Anggotaeadalahidentitasdalam H untukmembedakandenganedalam G. • Misalkanf(b) sebaranganggotadalamIm(f). • Karenaf(b) dalamIm(f) makaf(e) f(b) = f(eb) = f(b) = ef(b). • Denganmenggunakanhukumkanselasikanandidapatf(e) = e.

  10. Akandibuktikan f(G) mengandunginversdarianggota f(G). • Misalkanf(x) dalamf(G). • Anggotaf(x-1) merupakaninversdarif(x) karena f(x) f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e. • Dengancara yang sama, didapat f(x-1) f(x) = edanf(x-1) invers (yang tunggal) darif(x) denganf(x-1) dalamf(G).

  11. Teorema VII.2 Misalkan < G, . > grupdan < B,* > sistemaljabardenganoperasi *. Makafungsif : GBmengawetkanoperasimakaIm(f) merupakangrupterhadapoperasi * yang termuatdalamsistemB. Bukti: • DengansedikitperubahanpadapembuktianTeorema VII.1 makadapatdibuktikansifatketertutupan, identitasdanhukuminvers. Tinggaldibuktikanbahwahukumassosiatifberlaku. • Misalkanf(a), f(b), f(c) dalamf(G). • Padasatusisi, • ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) • Sedangkanpadasisi lain, • f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) • KarenaGgrupmaka (ab) c = a (bc) sehinggakeduahasildiatassama.

  12. Contoh VII.6 • DalamcontohinidiperlihatkanbagaimanamenggunakansuatufungsidarigrupZkeZnuntukmembuktikanbahwaZngrup. Didefinisikanf : ZZndenganf(x) = rdanrmerupakansisapembagianxolehn.

  13. Definisi VII.4 • Misalkanf : GHhomomorfismagrup. Intidarifatau Ker(f) didefinisikansebagaianggotaG yang dipetakanolehfkeanggotaidentitasdariHyaitu Ker(f) = { xG | f(x) = e }. Contoh VII.7 • Biladidefinisikanpemetaanf : Z20* Z20* denganf(x) = x2 makadenganmenggunakanmetodetrial and errorakandiperoleh Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.

  14. Teorema VII.3 Jikaf : G Hhomomorfismagrupmaka Ker(f) grupbagiandariG. Bukti : Akandibuktikanbahwaedalam Ker(ƒ). • Telahditunjukkanbahwaf(e) = e. • AkibatnyaidentitasedalamGmerupakananggota Ker(f).

  15. Akanditunjukkanbahwa Ker(ƒ) tertutup. Misalkanx, ydalam Ker(f). Karenax, ydalam Ker(f) makaf(x) = edanf(y) = esehingga (xy) = f(x) f(y) = ee= e. Olehkarenaitu , xydalam Ker(f). Akanditunjukkanbahwa Ker(ƒ)mengandunginversdarianggotanya. Misalkanxdalam Ker(f). Karenaxdalam Ker(f) makaf(x) = esehingga f(x) = e f(x) f(x-1) = ef(x-1) f(xx-1) = f(x-1) f(e)= f(x-1) e= f(x-1) Berartif(x-1) dalam Ker(f).■

  16. Teorema VII.4 • Misalkanf : G Hhomografismagrupdenganpetaf(g). Sifat-sifatberikutiniberlaku : • JikaGberhinggamakaordedarif(G) membagiordeG. • JikaGsiklikmakaf(G) siklik. • JikaaGmempunyaiordeberhinggamaka order darimembagi order a. • JikaGabelianmakaf(G) abelian.

  17. MisalkanG = (a) = { ak | kZ }. • Akibatnyaf(G) = { f(ak) | kZ }. • Tetapikarenaf(ak) = ( f(a) )k ( denganinduksi ) maka • f(G) = { ( f(a) )k | kZ }. • Berartif(G) dibangunolehf(a) atauf(G) siklik. Order darif(a) samadengan order darigrupbagiansiklik ( f(a) ) • Tetapipadabagian (2) dalambuktiiniterlihatbahwafmembawa (a) pada ( f(a) ). • Padabagian (1) dalambuktiinijugamenjelaskanbahwa order dari ( f(a) ) membagiorde (a). • Dengankata lain, ordedari ( f(a) ) membagiordea. Ambilsebarangf(a), f(b) dalamf(G) denganGabelian. • Akibatnyaf(a) f(b) = f(ab) = f(ba) = f(a) f(b). • Berartif(G) abelian.■

  18. Contoh VII.8 : • Fungsi f : denganf(x) = 8xmerupakanhomomorfisma 2 ke 1. • Karenaf(0) = 0 danf(5) = 0 maka K=Ker(f) = { 0, 5 }. Kosetdari K dibawakeanggotadaripetafyaitu 10 anggotadibawadalam 2 ke 1 carake 5 anggotapetaf. { 0 , 5 }  0 { 1 , 6 }  8 { 2 , 7 }  6 { 3 , 8 }  4 { 4 , 9 }  2

  19. Teorema VII.5 Misalkanf : G Hhomomorfismagrupdenganinti Ker(f) danpetaf(G). Sifat-sifatberikutiniberlaku : • Fungsifinjektifjikadanhanyajika Ker(f)={ 0 } • JikafinjektifmakaGisomorfisdenganf(G).

  20. Contoh VII.9 : • Didefinisikanpemetaanf : ZZdenganaturanf(x) = 3x. • Karenaf(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y) makafhomomorfisma. • Penyelesaianpersamaan 3x = 0 adalahx = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } ataufinjektif. • DenganmenggunakanteoremamakaZisomorfisdengan Im(f) = { 3x | xdalamZ } = (3) yang merupakangrupbagiansejatidariZ.■

  21. Soal VII.1 • Misalkandiketahui R himpunanbilangan real dan R* = R – {0}. • Didefinisikanf : R*  R* denganf(x) = x2Buktikanfhomomorfismatetapiftidakinjektif. Jawab : • BerdasarkanContoh VII.4, denganmengingat R* grupterhadapoperasiperkalianmakafhomomorfismatetapi Ker(f) = { x R* | f(x) = x2 = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 } sehinggaftidakinjektif.

  22. Latihan • Tentukanfungsiinihomomorfismaataubukan. • f : ZR* denganf(k) = 2 . • f : RRdenganf(x) = x . • f : ZZdenganf(k. 1) = k. 1. • Jikapadasoalnomor 1 diatashomomorfismamakatentukanpetadanintinya. • JikaGdanHsebaranggrupdanf : GHdenganf(x) = euntuksemuaxdalamGbuktikanbahwafhomomorfisma.

  23. Diketahuif : RR+denganf(x) = 2-x. Tunjukkanbahwa f homomorfisma yang injektifdenganuji kernel. • DiketahuiZ3* = { 1, 2 } danf : Z3* Z3* denganf(x) = x2. Apakahfhomomorfismabijektif ?

  24. TERIMA KASIH

More Related