GEOMETRIA DE POSIÇÃO

1. GEOMETRIA DE POSIÇÃO Matemática Dorta

2. CONCEITOS PRIMITIVOS As noções geométricas, em geral, são estabelecidas através de definições. Em particular, as primeiras noções, os conceitos primitivos da Geometria, são adotados sem definição.

3. ADOTAREMOS SEM DEFINIR OS CONCEITOS DEPONTO, RETA E PLANO.

4. Ponto (representado por letra maiúscula)

5. Reta (representações usuais: letra minúscula ou da outra forma indicada abaixo)

6. Plano(representado normalmente por uma letra grega minúscula)

7. GEOMETRIA DE POSIÇÃO • No plano: estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo plano; • Espacial: estudo das posições relativas de pontos, retas e planos do espaço.

8. PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS As proposições (propriedades) geométricas são aceitas mediante demonstrações. Em particular, as proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem demonstração.

9. Postulados da existência • Da reta; • Do plano.

10. Postulado da existência da reta • Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

11. Postulado da existência do plano • Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

12. Postulados da determinação • Da reta • Do plano

13. Postulado da determinação da reta • Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

14. Postulado da determinação do plano • três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

15. Postulado da Inclusão Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida neste mesmo plano.

16. Postulado da intersecção Se dois planos distintos tem um ponto comum, então a intersecção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.

17. Observação: Postulado da intersecção

18. Postulados de separação • Da reta • Do plano • Do espaço

19. Postulado de separação da reta • Um ponto O de uma reta r divide-a em duas semi-retas de origem O.

20. Postulado de separação do plano • Uma reta r de um plano alpha divide-o em dois semiplanos de origem r.

21. Postulado de separação do espaço • Um plano alpha separa o espaço em dois semi-espaços de origem alpha.

22. Posições Relativas • De ponto e reta; • De ponto e plano; • De uma reta e um plano; • De duas retas no espaço; • De dois planos no espaço.

23. Posição Relativa de ponto e reta Dado um ponto P e uma reta r, temos:

24. Posição Relativa de ponto e plano Dado um ponto P e um plano α, temos:

25. Posição Relativa de uma reta e um plano

26. Posição Relativa de uma reta e um plano

27. Posição Relativa de uma reta e um plano

28. duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. retas coplanares que não tem ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas. retas coplanares que têm um único ponto comum são chamadas de retas concorrentes. dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não coplanares). Posição Relativa de duas retas no espaço

29. Posição Relativa de duas retas no espaço: resumo coplanares paralelas Distintas concorrentes: perpendiculares ou não reversas: ortogonais ou não Coincidentes (paralelas iguais)

30. dois planos que não têm ponto comum são chamados planos paralelos distintos Posição Relativa de dois planos no espaço

31. dois planos distintos que têm uma reta comum são chamados planos secantes. Posição Relativa de dois planos no espaço

32. Posição Relativa de dois planos no espaço: resumo

33. EXERCÍCIOS – AULA 30 EXERCÍCIO 1 Assinale a alternativa correta:

34. EXERCÍCIO 1 • Se duas retas não tem ponto em comum, então elas são reversas. RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas distintas.

35. EXERCÍCIO 1 b) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares. RESPOSTA: Falso. Podem ser ortogonais (reversas + ângulo reto).

36. OBSERVAÇÃO: RETAS REVERSAS • Duas retas são denominadas reversas se, e somente se, não existe um plano que as contém. Se as retas reversas formam um ângulo reto, então elas são ortogonais.

37. EXERCÍCIO 1 c) Três pontos distintos determinam um plano. RESPOSTA: Falso. Além de distintos devem ser não colineares, para determinar um plano.

38. EXERCÍCIO 1 d) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. RESPOSTA: Falso, não necessariamente. No exemplo, s e t são perpendiculares r, mas não são paralelas entre si.

39. EXERCÍCIO 1 e) Duas retas ortogonais formam ângulo reto. RESPOSTA: Verdadeiro. Ortogonais = reversas + ângulo reto.

40. EXERCÍCIOS – AULA 30 EXERCÍCIO 2 A figura representa um cubo ABCDEFGH. Assinale a alternativa falsa.

41. EXERCÍCIO 2 a) As retas BC e FG são paralelas. RESPOSTA: Verdadeiro

42. EXERCÍCIO 2 b) As retas AC e CH são concorrentes. RESPOSTA: Verdadeiro. As retas se interceptam no ponto C.

43. EXERCÍCIO 2 c) As retas BC e HG são ortogonais. RESPOSTA: Verdadeiro. As retas são reversas e é possível perceber o ângulo reto pela perspectiva proporcionada pela segunda figura da esquerda para direita

44. EXERCÍCIO 2 d) As retas AC e BD são perpendiculares. RESPOSTA: Verdadeiro. Como estas retas são as diagonais de uma das faces de um cubo, que é um quadrado, elas se interceptam formando um ângulo reto. Observe na perspectiva da figura 2.

45. EXERCÍCIO 2 e) As retas AB e CH são concorrentes. RESPOSTA: Falso. Observe nas figuras, que as referidas retas não se interceptam.

46. EXERCÍCIOS – AULA 31 EXERCÍCIO 1 Considere o cubo representado na figura: Assinale a alternativa falsa.

47. EXERCÍCIO 1 • A reta GB é secante ao plano ADC. RESPOSTA: Verdadeiro.

48. EXERCÍCIO 1 b) A reta DB está contida no plano ABC. RESPOSTA: Verdadeiro.

49. EXERCÍCIO 1 c) A reta EG é paralela ao plano ABC. RESPOSTA: Verdadeiro.

50. EXERCÍCIO 1 d) A reta AF é paralela ao plano HGC. RESPOSTA: Verdadeiro.