« 90% de nos trains arrivent à l’heure! »

1. « 90% de nos trains arrivent à l’heure! »

2. énoncé exercice : • « Le retard sur un trajet train de 6h15 Marseille-Parisest en moyenne: 10mn avec écart type 3mn; • Encadrement du retard? »

3. Comment intégrer les probas dans cette perspective? Faire des mathématiques, c’est raisonner

4. Soit Ri la variable aléatoire: • Retard (en mn) sur train de 6h15 Mrs-Paris le jour i • Loi du retard Ri?

5. Un échantillon (Xi)i=1…n est: • un n-uple de variables aléatoires, indépendantes, de même loi. • (xi)i=1…n en est une réalisation

6. Moyenne d'échantillon : X = (∑ Xi )/n : E(Xi) = m donc E(X) = m; Indépendance des Xi : Var X = (Var Xi)/n

7. Le retard est une erreur: • Ri = Ti-T, où Ti = temps de trajet jour i • T: temps de trajet annoncé

8. Alors: P[10-1.96σ < Ri < 10+1.96σ] = 0.95 Si Ri suit une loi Gauss N(10; 3):

9. Alors, sur un trajet: Le retard est, au seuil 95%, compris entre: • 4mn et 16mn

10. Hypothèses raisonnables: Si on ne connaît pas la loi de Ri?

11. Les retards Ri sont des V.A • Indépendantes • De même loi, d’espérance 10, d’écart type 3

12. Les Ri ne sont pas identiques • Mais sont de même loi…inconnue • TCL: La loi de la moyenne d’échantillon est une loi normale, pour n assez grand.

13. Intervalle de fluctuation de la moyenne: • Au seuil de confiance 95%: • [10-1.96(σ/√n); 10+1.96(σ/√n)]

14. Sur 36 trajets: • le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre • 9mn et 11mn • …quelle que soit la loi de chaque retard Ri!

15. Sur 3600 trajets: • le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre • 9mn54s et 10mn6s

16. D’où l’estimation • De la moyenne: 10 mn • Puis, de l’écart-type…

17. Et c’est ainsi que l’on peut justifier les hypothèses… • Aller retour réalité-modèle-réalité:

18. Observation • échantillon de variables aléatoires (Ri) • dont (ri)i=1…n en est une réalisation • donne moyenne (et écart type) observés.

19. De l'observation à la modélisation: • Construction d’un intervalle de confiance aussi fin que l’on veut à partir d’un échantillon de taille assez grande.

20. De la modélisation à l'observation • Construction d'intervalles de fluctuation

21. La loi normale intervient à deux niveaux: • - Pour l’ approximation de la loi de la moyenne d’ un SEUL échantillon (Xi) de taille n assez grande;

22. Pour un échantillonnage: • Si on fait 1000 échantillons de 36 relevés de « retard… », alors 95% des échantillons donneront un retard moyen compris entre 9 et 11mn…

23. Lois des erreurs: (n grand) • Les moyennes des erreurs suivent des lois normales, si n assez grand • La multiplication des mesures « normalise » les erreurs...

24. Une usine fabrique des pièces dont le diamètre est une variable aléatoire suit une loi normale; l'erreur Ei sur la pièce i est une variable aléatoire d’espérance nulle (compensation) Autres pistes:

25. 400 mesures donne une précision 20 fois meilleure qu'une seule mesure Pour estimer distance Terre Soleil:

26. Gauss : • Les erreurs de mesures suivent des lois normales : • Echantillon gaussien