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Mathématiques SN Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Réalisé par : Sébastien Lachance

y 3 2 1 x 1 2 3 -3 -2 -1 -1 -2 -3 Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Cercle trigonométrique DÉFINITION : Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1.

y 1 x 1 -1 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables On sait que : cos  = cos  sin  P() = ( , ) x y cos  = cos  = x 1 y  sin  = x sin  = sin  = y

y 1 500 x 1 -1 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables Exemple : A) Angle de 50o x = cos  x = cos 50o P(50o) = ( , ) sin 50o cos 50o x ≈ 0,64 y = sin  1 y = sin 50o y y≈ 0,77 x 0,64 P(50o) = ( , ) 0,77

y 1 x 1 1 -1 y 730 x -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables Exemple : B) Angle de 73o x = cos  P(73o) = ( , ) x = cos 73o cos 73o sin 73o x ≈ 0,29 y = sin  y = sin 73o y≈ 0,96 0,29 P(73o) = ( , ) 0,96

y 1 1 300 3 2 1 2 x 1 -1 x2 + = 12 2 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables  Angle de 30o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! x Par Pythagore : x2 + = 1 x2 = 1 – x2 = x = x =

y 1 1 300 3 3 2 2 1 1 2 2 x 1 -1 x2 + = 12 2 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables  Angle de 30o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! Par Pythagore : P(30o) = ( , ) x2 + = 1 x2 = 1 – x2 = x = x =

y 1 2 2 2 2 1 x 1 -1 450 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables  Angle de 45o x x Par Pythagore : x2 + x2 = 12 2x2 = 1 x2 = x = x = Il faut rationnaliser ! x =

y 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 -1 450 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables  Angle de 45o P(45o) = ( , ) Par Pythagore : x2 + x2 = 12 2x2 = 1 x2 = x = x = Il faut rationnaliser ! x =

y 1 300 3 2 1 1 2 x 1 -1 x2 + = 12 2 600 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables  Angle de 60o x Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! Par Pythagore : x2 + = 1 x2 = 1 – x2 = x = x =

y 1 300 3 3 2 2 1 1 1 2 2 x 1 -1 x2 + = 12 2 600 -1 Coordonnées d’ANGLES remarquables  Angle de 60o P(60o) = ( , ) Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! Par Pythagore : x2 + = 1 x2 = 1 – x2 = x = x =

y 1 - P(120o) = ( , ) 1 3 2 2 P(60o) = ( , ) 1 3 2 2 P(45o) = ( , ) 2 2 - P(135o) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P(150o) = ( , ) 1 1 3 P(30o) = ( , ) 3 2 2 x 2 2 1 -1 - P(210o) = ( , ) 1 - 3 2 2 -1 P(330o) = ( , ) - 1 3 - - P(225o) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P(315o) = ( , ) 2 2 2 2 - P(300o) = ( , ) 1 3 - P(240o) = ( , ) 2 - 1 2 3 2 2 Coordonnées d’ANGLES remarquables P(90o) = ( 0 , 1 ) P(0o) = ( 1 , 0 ) P(180o) = ( - 1 , 0 ) P( 360o ) = ( 1 , 0 ) P(270o) = ( 0 , - 1 )

y 1 1 1 x 1 -1 -1 Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Radians DÉFINITION : Le radian est une autre façon de mesurer un angle. 1 radian Il correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon.

y 1 radian 1 radian 1 radian ≈ 0,2832 radian x 1 radian 1 radian 1 radian Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. 1 C = 2 r C = 2 x 1 1 C = 2 1 On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians. 1 (1 radian ≈ 57,30) 1 1

y 1 radian 1 radian 360o = 2 rad 1 radian ≈ 0,2832 radian x 1 radian 180o =  rad 1 radian 1 radian Degrés Degrés Radians Radians = =  2 360o 180o Conversions DEGRÉS <---> RAD 1 OU 1 1 On peut donc effectuer la proportion suivante : 1 1 OU 1

    3 4 6 2 Conversions DEGRÉS <---> RAD Exemples : A) Angle de 90o x 900 2 x 900 rad = x x = = 2 3600 3600 B) Angle de 30o x 2 x 300 300 rad = x x = = 2 3600 3600 C) Angle de 45o x 2 x 450 450 rad = x x = = 2 3600 3600 D) Angle de 60o x 2 x 600 600 rad = x x = = 2 3600 3600

 6  4  3  2 3 2 Conversions DEGRÉS <---> RAD Angles IMPORTANTS : DEGRÉS RADIANS 0 0o 30o 45o 60o 90o  180o 270o 2 360o

y 1 - P(120o) = ( , ) 1 3 2 2 P(60o) = ( , ) 1 3 2 2 P(45o) = ( , ) 2 2 - P(135o) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P(150o) = ( , ) 1 1 3 P(30o) = ( , ) 3 2 2 x 2 2 1 -1 - P(210o) = ( , ) - 1 3 2 2 -1 P(330o) = ( , ) 1 - 3 - - P(225o) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P(315o) = ( , ) 2 2 2 2 - P(300o) = ( , ) 1 3 - P(240o) = ( , ) 2 - 1 2 3 2 2 Conversions DEGRÉS <---> RAD Cercle trigonométrique P(90o) = ( 0 , 1 ) P(0o) = ( 1 , 0 ) P(180o) = ( - 1 , 0 ) P( 360o ) = ( 1 , 0 ) P(270o) = ( 0 , - 1 )

y 1   3 - P( ) = ( , ) 1 3 4 2 2 2 4 5  3 3 3 6 3 5 7 P( ) = ( , ) 1 3 4 4 4 - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 P( ) = ( , ) 2 2 5 7 - P( ) = ( , ) 1 1 3 P( ) = ( , ) 3 2 2 6 6 2 2 x 2 2 1 -1 - P( ) = ( , ) 1 - 3 2 2 -1 P( ) = ( , ) - 1 3 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2  3 2 2 11 2 - P( ) = ( , ) 1 3 2 6 - P( ) = ( , ) 2 - 1 2 3 2 2 Conversions DEGRÉS <---> RAD Cercle trigonométrique P( ) = ( 0 , 1 ) P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( 0 , - 1 )

Valeurs exactes de sin  , cos  et tan  Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  y 1 x 1 -1 -1 On sait que : cos = x cos  sin  P() = ( , ) x y sin = y 1 Aussi :  tan  = Donc : tan  =

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) sin

y 1   3 4 5 2 4  3 3 3 6 5 3 7 4 4 4 7 5 6 6 x 1 -1 -1  3 11 2 2 6 P( ) = ( 0 , 1 ) - P( ) = ( , ) 1 3 P( ) = ( , ) 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) 3 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( , ) 1 - 3 - P( ) = ( , ) 1 - 3 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) - 1 3 3 2 2 2 2 P( ) = ( 0 , - 1 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) sin Réponse : b) sin

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) sin Réponse : Réponse : b) sin c) cos

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) sin Réponse : Réponse : b) sin Réponse : c) cos d) cos

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) sin Réponse : Réponse : b) sin Réponse : c) cos d) cos Réponse : e) tan

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) sin Réponse : Réponse : b) sin Réponse : c) cos d) cos Réponse : Réponse : e) tan = = 1

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : f) tan

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : f) tan Réponse : = x = - 3 =

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. a) rad

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. a) ( , ) rad Réponse : b) rad

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. a) ( , ) rad Réponse : ( , ) b) Réponse : rad c) rad

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. a) ( , ) rad Réponse : ( , ) b) Réponse : rad c) rad ( , ) Réponse : d) rad

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. a) ( , ) rad Réponse : ( , ) b) Réponse : rad c) rad ( , ) Réponse : d) rad ( , ) Réponse :

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. e) rad

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. e) ( , ) rad Réponse : f) rad

Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN- Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. e) ( , ) rad Réponse : ( , ) f) Réponse : rad 0 - 1 g) - 5 rad

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