A Lógica das Sentenças Abertas Profa. Ana Florencia Aula 9

1. Unidade de Ensino Superior Dom BoscoCurso de Sistemas de InformaçãoDisciplina de Lógica Matemática e ComputacionalSemestre 2013.2 1º Período A Lógica das Sentenças Abertas Profa. Ana Florencia Aula 9

2. Roteiro • Sentenças abertas com uma variável • Conjunto- verdade de uma sentença aberta • Sentenças com N variáveis e seu conjunto verdade • Conjunção sobre sentenças abertas • Disjunção sobre sentenças abertas • Negação sobre sentenças abertas • Demais operadores • O operador Condicional • O operador Bicondicional • Equivalências tautológicas • Exercício sobre sentenças abertas Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

3. Sentenças abertas com uma variável • Definição: • Uma sentença aberta com uma variável num conjunto A; • Ou uma sentença em A; • P(x) tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo elemento a pertencente ao conjunto A ,ou seja, • Para todo a∈A; • O conjunto A também é chamado de domínio da variável x. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

4. Em outras palavras: • uma sentença aberta em A é uma frase que contém “espaços em brancos” (as variáveis) que devem ser preenchidos com valores retirados do conjunto A. • Quando um elemento é retirado deste conjunto e “encaixado” na sentença aberta, então esta sentença deixa de ser aberta; • e passa a se comportar como uma proposição simples: • tendo um valor lógico possível: ou ela é uma sentença que afirma algo verdadeiro (proposição verdadeira) ou uma sentença que afirma algo falso (uma proposição falsa). • Diz-se que a sentença é fechada quando isto ocorre. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

5. Construir sentenças abertas, definindo domínios apropriados para suas variáveis, é similar a jogar um jogo de montar “frases” ou “versos”, onde uma frase ou texto mais complexo é formado a partir de trechos sugeridos pelos participantes. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

6. No caso do “jogo de montar sentenças abertas” da lógica: • é necessário escolher primeiro qual será o domínio das variáveis, ou seja, de onde serão retirados os elementos que se encaixarão na frase aberta. • Isto ocorre também nos jogos de montar frases ou palavras. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

7. Exemplo • Sabendo qual é o domínio então pode-se começar a “montar” as sentenças. • No exemplo, poderíamos ter frases como: • (a.1) “A minha mesa não está firme.” • (b.1) “Esta é a cadeira que faltava.” • (c.1) “A cadeira que falta aqui é a cadeira que está sobrando lá no canto.” Vamos supor o conjunto de móveis que podem pertencer a uma sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e seus componentes), etc. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

8. Estes exemplos apresentam proposições simples, que são sentenças fechadas, sem variáveis. • Porém as variáveis poderiam aparecer como espaços: • (a.2) “A minha _ _ _ _ não está firme.” • (b.2) “Esta é a _ _ _ _ que faltava.” • (c.2) “A _ _ _ _ que falta aqui é a _ _ _ _ que está sobrando lá no canto.” • ...... Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

9. Um problema: • “espaço em branco” é um espaço em branco igual aos outros; • Quando existe um só espaço em branco na frase, então não há ambiguidade; • Porém, quando ela aparece em vários lugares é necessário indicar claramente quem é quem em termos de “espaços em branco”. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

10. Solução • é dar “nome” aos espaços em branco, que deixam de ser espaços e passam a ser variáveis: • (a.3) “A minha x não está firme.” • (b.3) “Esta é a x que faltava.” • (c.3) “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no canto.” • Para os x pertencentes aos móveis da sala de aula. • ..... Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

11. Para completar o processo de formalização, ou seja, deixar as claro somente a forma das sentenças e não se preocupar com seu conteúdo (seu significado), são atribuídos símbolos para as afirmações abertas: • (a.4) P(x) = “A minha x não está firme.” • (b.4) Q(x) “Esta é a x que faltava.” • (c.4) R(x) = “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no canto.” • Que são válidas para o domínio A que é o conjunto de móveis da sala de aula. • Dessa forma as sentenças são expressas simplesmente como: • P(x), Q(x) e R(x) para x∈A. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

12. Em termos da língua portuguesa, uma sentença simples é formada basicamente por dois elementos: o sujeito e seu predicado. • Já as sentenças abertas formais: • são normalmente construídas, considerando-se que o sujeito da frase é substituído por uma variável; • é definido um domínio para esta variável, dizendo quem são os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc. • O predicado restante passa a ser então a afirmação que está sendo feita sobre algum sujeito do domínio. • Definição: sentenças abertas também são denominadas simplesmente de PREDICADOS. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

13. Outros exemplos: • São sentenças abertas em N= {1, 2, 3, ... ,n, ...} as seguintes expressões: (d) x+1>8 (f) x2 - 5x + 6 = 0 (e) x é primo (g) x é divisor de 10 para os x∈N. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

14. Conjunto- Verdade de uma Sentença Aberta Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

15. Definição: • chama-se conjunto- verdade de uma sentença aberta P(x) num domínio A, o conjunto de todos os elementos a∈A tais que P(a) é uma proposição verdadeira. • Formalmente o conjunto- verdade pode ser definido como: VP = {x | x∈A ∧ P(x)=V} • ou, mais simplesmente como: VP = {x∈A | P(x)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

16. Exemplos • (a) O conjunto- verdade de P(x) = “x+1 > 8” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | P(x)} = {x∈N | x+1 > 8}= {8, 9, 10, ... } ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

17. Exemplos • (b) O conjunto- verdade de P(x) = “x+7 < 8” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | x+7 < 5}= ∅ ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

18. Exemplos • (c) O conjunto- verdade de P(x) = “x é divisor de 10” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

19. Exemplos • (d) O conjunto- verdade de P(x) = “x+5 > 3” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, ...} = N ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

20. Importante • Se P(x) é uma sentença aberta em A, então três casos podem ocorrer: • P(x) é verdadeira para todo x∈A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é igual ao próprio domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição universal ou propriedade universal no conjunto A; Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

21. (II) P(x) é verdadeira para alguns x∈A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é um subconjunto próprio do domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição possível ou propriedade possível no conjunto A. • P(x) não é verdadeira para nenhum x∈A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é vazio (VP = ∅). Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição impossível ou propriedade impossível no conjunto A. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

22. Sentenças com N variáveis e seu Conjunto- Verdade Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

23. Supondo n conjuntos primitivos A1, A2, ..., An que serão usados como domínios individuais de cada variável da sentença. • conjunto de todas as variáveis como o conjunto resultante do produto cartesiano destes conjuntos primitivos: A1×A2×...×An Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

24. O produto cartesiano de 2 conjuntos: • A1×A2 é o conjunto formado por todos as duplas ordenadas (a1, a2) onde, • a1∈A1 e a2∈A2 . • Definição: • uma sentença aberta com n variáveis num conjunto A1×A2×...×An, ou simplesmente • uma sentença aberta em A1×A2×...×An, é uma expressão P(x1, x2,..., xn) • tal que p(a1, a2,..., an) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo ênupla (a1, a2,..., an) ∈ A1×A2×...×An. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

25. Então!! • O conjunto-verdade de uma sentença aberta P(x1, x2,..., xn) no domínio A1×A2×...×An é • o conjunto de todas as ênuplas • (a1, a2,..., an) ∈ A1×A2×...×An • tais que P(a1, a2,..., an) é uma proposição verdadeira. • Formalmente este conjunto- verdade pode ser definido como: VP = {(x1, x2,..., xn) ∈ A1×A2×...×An | P(x1, x2,..., xn)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

26. Exercício • Determinar o conjunto- verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada • uma das sentenças abertas a seguir: (a) 2x = 6 (b) x-1<4 (c) x2 - 5x + 6 = 0 (d) x2 - x + 2 = 0 (e) x2 - 5x = 0 (f) x - 5 ∈ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

27. Conjunção sobre Sentenças Abertas (∧) Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

28. A conjunção lógica (a operação E lógico, representada pelo símbolo ∧) pode ser aplicada sobre sentenças abertas ou predicados. • ... Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

29. Vamos começar a análise da conjunção de sentenças abertas, supondo 2 sentenças abertas bastante simples: • “x é médico”, “x é professor” • podem ser aplicadas sobre o domínio (conjunto) das pessoas vivas atualmente. • Agora se conectarmos ambas afirmações pelo conectivo E lógico (∧) fica-se com a expressão: • “x é médico” ∧ “x é professor” • que somente pode ser verdadeira (satisfeita) para as pessoas (os “x”) que são ambos médico(a) e professor(a). Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

30. Em todas as conjunções de sentenças abertas onde os domínios são finitos pode-se teoricamente montar uma tabela similar a vista acima e verificar, usando as regras da lógica proposicional, qual o valor-verdade da conjunção. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

31. Porém o que se pode fazer quando os domínios são infinitos? • Que tipo de significado se poderia atribuir para a conjunção de sentenças abertas sobre domínios infinitos? Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

32. A solução para este problema é? • usando-se a Teoria Elementar dos Conjuntos para definir o significado da operação de conjunção lógica sobre duas sentenças abertas. • ... Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

33. Vamos supor as duas sentenças já vistas anteriormente: • Deste desenho deve ficar claro que somente a intersecção das duas áreas (e portantodos dois conjuntos) é que corresponde as pessoas que são ambas médicos e professores. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

34. Graficamente isto pode ser mostrado pelo seguinte diagrama: • Ou seja o conjunto- verdade correspondente a conjunção de duas sentenças abertas é dado pela intersecção dos conjuntos- verdade de ambas sentenças. • Formalmente, este conjunto- verdade é definido como: VP∧Q = VP ∩ VQ = {x∈A | P(x)} ∩ {x∈A | Q(x)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

35. Exemplo • Sejam as seguintes sentenças abertas em Z (conjunto dos número inteiros): P(x) = x2 + x -2 = 0 Q(x) = x2 - 4 = 0 • Tem-se que: VP∧Q = {x∈Z | P(x)} ∩ {x∈A | Q(x)} • = {x∈Z | x2 + x -2 = 0} ∩ {x∈A | x2 - 4 = 0} • = {-2, 1} ∩ {-2, 2} • = {-2} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

36. Disjunção sobre Sentenças Abertas (∨) Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia