Funkcje eliptyczne

1. Funkcje eliptyczne Krzysztof Głód

2. Plan • Ogólna definicja funkcji eliptycznych • Funkcje eliptyczne Weierstrassa • Funkcje eliptyczne Jacobiego • Przykład zastosowania funkcji eliptycznych

3. Def. Funkcja regularna w punkcie a - funkcja jednowartościowa, która w otoczeniu punktu a posiada zbieżne rozwinięcie w szereg Taylora. • Def. Biegun (regularny punkt osobliwy) funkcji f - punkt izolowany a, w otoczeniu którego funkcja f posiada rozwinięcie: gdzie g jest funkcją regularną w punkcie a, Ai są stałymi. Liczba naturalna n nazywana jest stopniem bieguna. • Def. Funkcja meromorficzna obszaru D - funkcja zespolona zmiennej zespolonej, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej poza zbiorem swoich biegunów, różniczkowalna w sensie zespolonym w otoczeniu każdego punktu podzbioru D poza zbiorem swoich biegunów.

4. Def. Funkcja okresowa - funkcja f, dla której istnieje niezerowa stała P taka, że: • Def. Funkcja n-okresowa - funkcja f, dla której istnieje n niewspółmiernych, niezerowych stałych Pi takich, że: • Def. Dwie stałe zespolone P1 i P2 są niewspółmierne wtedy i tylko wtedy, gdy:

5. Tw. Jednowartościowe funkcje meromorficzne płaszczyzny zespolonej dzielą się na: • nieokresowe, • jednookresowe, • dwuokresowe. • W szczególności nie istnieją tego typu funkcje trój i więcej okresowe.

6. Def. Funkcja algebraiczna - rozwiązanie równania: gdzie ai są wielomianami. • Funkcje niebędące funkcjami algebraicznymi nazywane są funkcjami przestępnymi.

7. Def. Funkcja posiadająca algebraiczne twierdzenie sumacyjne - funkcja f taka, że dla każdego u, v z dziedziny funkcji f wielkość f(u+v) można wyrazić w sposób algebraiczny poprzez wielkości f(u) i f(v). • Tw. Jeśli funkcja meromorficzna posiada algebraiczne twierdzenie sumacyjne, to istnieje algebraiczny związek pomiędzy tą funkcją a jej pierwszą pochodną w postaci zwyczajnego, autonomicznego równania różniczkowego pierwszego rzędu (tzw. równanie eliminacyjne). • Tw. Jeśli funkcja meromorficzna posiada algebraiczne twierdzenie sumacyjne o stałych współczynnikach, to funkcja do niej odwrotna daje się przedstawić w postaci całki z funkcji algebraicznej.

8. Tw. Jeśli dana funkcja f jest jednowartościową funkcją meromorficzną, posiadającą algebraiczne twierdzenie sumacyjne, to dla każdego u, v z dziedziny funkcji f wielkość f(u+v) można wyrazić w sposób wymierny poprzez wielkości f(u), f(v), f’(u) i f’(v). • Tw. Jednowartościowe funkcje meromorficzne płaszczyzny zespolonej, posiadające algebraiczne twierdzenie sumacyjne dzielą się na: • wymierne (w klasie nieokresowych), • trygonometryczne (w klasie jednookresowych), • eliptyczne (w klasie dwuokresowych). • Pierwsze dwa typy są zdegenerowanymi przypadkami trzeciego typu.

9. Podstawowyrównoległobok okresowości: • Tw. Jeśli P1 i P2 są okresami funkcji eliptycznej, to są nimi również P1’ i P2’:

10. Funkcja dwuokresowa ograniczona wewnątrz podstawowego równoległoboku okresowości jest stała (wniosek z twierdzenia Liouvillea). • Całka okrężna z funkcji dwuokresowej po brzegu podstawowego równoległoboku okresowości znika. Funkcja dwuokresowa wewnątrz podstawowego równoległoboku okresowości nie może więc posiadać pojedynczego bieguna 1. stopnia (wniosek z twierdzenia o residuach). • Tw. Funkcja dwuokresowa wewnątrz podstawowego równoległoboku okresowości posiada co najmniej: • jeden biegun 2. stopnia (przypadek Weierstrassa) lub • dwa bieguny 1. stopnia (przypadek Jacobiego).

11. Funkcje eliptyczne Weierstrassa • Funkcja P Weierstrassa (definicja poprzez funkcję odwrotną): • Wielkości g2, g3 nazywane są niezmiennikami. Gdy są one ustalone, to można je pominąć, jeśli nie prowadzi to do niejednoznaczności. • Wielkości e1, e2, e3 są uporządkowanymi pierwiastkami wielomianu 4 z3– g2 z – g3, związanymi z niezmiennikami w następujący sposób:

13. Pochodne funkcji P: • Funkcja P jest rozwiązaniem równania różniczkowego: • Zachowanie funkcji P przy skalowaniu argumentu:

14. Okresowość funkcji P (wielkości ω, ω’ nazywane są półokresami): • Funkcja P jest parzysta, natomiast funkcja P’ jest nieparzysta: • Algebraiczne twierdzenie sumacyjne dla funkcji P:

15. Funkcje eliptyczne Jacobiego • Sinus modularny (sinus amplitudy): • Wielkość m nazywana jest parametrem (kwadratem modułu). Stosując odpowiednie transformacje skalujące, można zawsze sprawić, by 0 ≤ m ≤ 1. • Cosinus modularny (cosinus amplitudy): • Delta amplitudy:

18. Związki pomiędzy funkcjami sn, cn, dn: • Pochodne funkcji sn, cn, dn: • Funkcja sn jest rozwiązaniem równania różniczkowego:

19. Okresowość funkcji sn, cn, dn (wielkości K, K’ nazywane są ćwierćokresami, wielkość K zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju): • Funkcja sn jest nieparzysta, natomiast funkcje cn, dn są parzyste:

20. Algebraiczne twierdzenie sumacyjne dla funkcji sn: • Przejścia graniczne dla m = 0: • Przejścia graniczne dla m = 1:

21. Punkt o masie m, umieszczony na końcu nieważkiej nici o długości L, waha się swobodnie wokół położenia równowagi w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g. Zakłada się, że chwili początkowej t = 0 było: Wahadło matematyczne

22. Prędkość kątowa ω i prędkość styczna υ: • Energia kinetyczna EK i energia potencjalna EP: • Całkowita energia mechaniczna nie zależy od czasu:

23. Stąd otrzymujemy całkę: która po przekształceniu przechodzi w rozwiązanie: • Okres ruchu wahadła T:

24. Literatura • H. Hancock, Theory of Elliptic Functions (Dover, New York, 1958) • A. G. Greenhill, The Applications of Elliptic Functions (Dover, New York, 1959) • F. Oberhettinger, W. Magnus, Zastosowania funkcji eliptycznych w fizyce i technice (PWN, Warszawa, 1963) • P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists (Springer, Berlin, 1954) • E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press, Cambridge, 1996)