MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil

1. MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil Beatriz Larraz Iribas Prof. Estadística Universidad de Castilla-La Mancha Valencia, 28 de noviembre de 2006

2. Curva de Lorenz Índices de Concentración Índice geométrico Descomposición del índice de Theil intergrupos e intragrupos Concepto de concentración económica Medidas de Concentración Índice de Gini Índice E Índice de Theil

3. 9.000€ 10 empleados el director 8.100 € 90 € 8.100 € Concepto de Concentración Económica En la distribución de salarios de una empresa se puede estudiar si la masa salarial (o nómina de la empresa) se encuentra concentrada en unos pocos trabajadores o si, por el contrario, está bien repartida entre ellos. Estos sueldos estarían muy desproporcionados, muy concentrados en una sola persona

4. Concepto de Concentración Económica Más ejemplos… Reparto de horas extraordinarias entre la plantilla de una empresa Reparto del total invertido en fondos de inversión entre las distintas gestoras de patrimonio Grado de concentración de las ausencias laborales En el ámbito financiero: concentración del volumen de negociación diario entre los distintos valores que conforman el IBEX-35, El nivel de desigualdad en el reparto de la masa global de pensiones entre los pensionistas de un país, etc. Cómo se reparte el capital social de un banco entre los accionistas, etc. Masa Total de la Variable (MTV)

5. Medidas de Concentración Miden el grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable. Indican el grado de equidistribución de la variable = grado de CONCENTRACIÓN. Los casos extremos serían: Concentración mínima o equidistribución:Cuando todos los trabajadores reciben la misma cantidad: Concentración máxima:Cuando de los n trabajadores sólo uno percibe el total de las rentas (de los salarios) y los demás nada:

6. Medidas de Concentración El estudio de la concentración en la distribución de la MTV se puede abordar desde dos puntos de vista: Analíticamente Gráficamente mediante la curva de concentración, más conocida como Curva de Lorenz mediante los denominados Índices de concentración

7. Curva de Lorenz Ordenación de los valores de la variable de menor a mayor MTV = (7.512,65 · 2) + (8.414,17 · 3) + (15.025,30 · 1) + + (24.040,48 · 2) + (39.065,79 · 2) = 181.505,66 €/año.

8. Porcentaje de trabajadores con un salario igual o inferior al i-ésimo Masa parcial acumulada Porcentaje de la masa salarial que se llevan los trabajadores con un salario igual o inferior al i-ésimo Curva de Lorenz

9. Curva de Lorenz A continuación en unos ejes de coordenadas, se marca en el de abcisas los siguientes valores de pi en porcentajes: que indican los porcentajes de trabajadores con un nivel de salario igual o inferior al i-ésimo. Por ejemplo, si i = 3 tenemos que p3es el 60%, lo que significa que el 60% de los trabajadores obtienen un salario anual igual o inferior al tercero en orden ascendente.

10. Curva de Lorenz Sobre el eje de ordenadas se anotan los valores de qi, también porcentajes: que indican la parte que del total de la masa salarial les corresponde alos trabajadores cuyo salario es igual o inferior al i-ésimo. Por ejemplo para i = 4 se tiene que q4 es el 56,95%, es decir, de los 181.505,66 €, el 56,95% corresponde a los trabajadores con salario igual o inferior al cuarto en orden ascendente.

11. Curva de Lorenz

12. Curva de Lorenz Características generales: Es siempre creciente (porque p y q son acumulados) Se sitúa siempre por debajo de la diagonal, ya que, al estar ordenados los salarios de menor a mayor, ningún qi. podrá ser mayor que su correspondiente pi En caso de equidistribuciónpi = qi ., la curva de concentración sería la diagonal, recta que se denomina recta de equidistribución. En caso de máxima concentración , la curva de concentración, denominada curva de máxima concentración, vendría dada por ABD donde   p1 = (N-1/N) %; q1 = 0% p2 = 100%; q2 = 100%

13. Área Conc Área Máx Conc Curva de Lorenz

14. Índices de Concentración Cuanto mayor sea el área de concentración respecto del área máxima concentración, mayor será la desigualdad en el reparto de la masa total de la variable. Por consiguiente, de manera natural, las medidas de concentración se obtendrán por cociente entre estas dos áreas. Índice Geométrico Índice de Gini Índice E Índice de Theil relativo

15. Índice de Gini • Es la medida de concentración más utilizada, propuesta por el quefue Decano de la Facultad de Ciencias Estadísticas, Demográficas y Actuariales de la Universidad de Roma, Corrado Gini. • Gini, Corrado (1912). "Variabilità e mutabilità" Reimpreso en Memorie di metodologica statistica (Ed. Pizetti E, Salvemini, T). Rome: Libreria Eredi Virgilio Veschi (1955). • Gini, Corrado (1921). "Measurement of Inequality and Incomes". The Economic Journal31: 124-126. Su fundamento es el siguiente: Gini parte de una distribución de frecuencias unitarias de n elementos en cuya curva de concentración pueden establecerse n-1 diferencias entre pi yqi(recuérdese que pn =qn).

16. Índice de Gini GRÁFICO 2 100 p -q n-1 n-1 p -q n-2 n-2 q n-1 q n-2 p -q i i ... p -q i-1 i-1 q i ... q i-1 p -q 3 3 p -q 2 2 q 3 q p -q 2 1 1 q 1 p p p …. p p p p …. 1 2 3 i-1 i n-2 n-1 100 Índice de Gini

17. Índice de Gini Equidistribución Máxima Concentración ¿ ?

18. Índice de Gini de la Concentración de la renta Fuente: Human Development Report, 2006 (ONU)

19. Para evitar el problema de que el índice de Gini sólo sirve para frecuencias unitarias, Índice E Montero Lorenzo, J.Mª, 2003 “Sobre Concentración Económica: Índice E para colectivos discretos” Revista Estadística Española, vol 45, nº152, pp.22 a 54 Índice Gini

20. Índice E Índice Gini

22. Índice E

23. Índice E donde: - qi-1 el porcentaje de la masa salarial acumulado por los trabajadores que perciben salarios inferiores al i-ésimo. - propi el porcentaje de la masa salarial que percibe un individuo con salario i. -          es la suma de los ni primeros números naturales.

24. Índice E

25. Índice E Ejemplo: Calcule el índice E y compruebe que si las frecuencias no son unitarias no coincide con el índice de Gini (mal aplicado)

26. Índice E

27. Índice E

28. Es un indicador del grado de desigualdad (desorden) en el reparto de la masa total de la variable Experimento con 1.000 posibles resultados: -todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden -si 2 de ellos acaparan una probabilidad del 90% orden, mando Índice de Theil El mensaje contiene mayor cantidad de información cuanto menor sea la probabilidad de ocurrencia del suceso Coeficiente de Theil Consideremos N trabajadores cuyos salarios son: x1, x2, .. ,xN La proporción de masa total de la variable(MTV) que corresponde al individuo i-ésimo será: Entropía

29. Máx concentración: Índice de Theil Entropía Si todos ganan lo mismo: no negativa En caso de equidistribución vale Ln(N). Inconveniente: El valor de equidistribución es superior al de máxima concentración. En caso de máxima concentración vale 0.

30. Índice de Theil Coeficiente de Theilo redundancia: En caso de equidistribución vale 0. En caso de máxima concentración vale Ln(N). Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones Índice de Theil relativo o redundancia relativa:

31. Índice de Theil Coeficiente de Theilo redundancia: máxT = Ln(N) Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones Índice Theil= Ln(2) Índice Theil= Ln(2.000.000) T = Ln(2)

32. Índice de Theil No requiere la ordenación de los valores de la variable de menor a mayor Ejemplo:Dada la siguiente distribución de salarios semanales (€), determine el coeficiente de Theil

34. Descomposición del índice de Theil intergrupos (entre grupos) e intragrupos (dentro de cada grupo) 1º Descomposición de la Entropía intergrupos e intragrupos

35. Entropía de los elementos del grupo g respecto del total de elementos de dicho grupo

36. Suma de las entropías intragrupos ponderadas por sus proporciones Entropía intergrupos

37. 2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos

38. Expresión relacionada con la Entropía intergrupos Suma de los índices de Theil intragrupos ponderados por sus proporciones 2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos

39. Sólo coincidirían en el caso de que todos los grupos tuvieran el mismo número de elementos 2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos Expresión relacionada con la Entropía intergrupos No es exactamente el índice de Theil intergrupos

40. El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las G comunidades autónomas sería Supóngase ahora que se conoce la misma información sobre contratos temporales pero desagregada a escala provincial (N provincias) El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las N provincias sería Supóngase que se dispone del número total de contratos temporales en G comunidades autónomas Índice de Theil entre las G comunidades autónomas Residuo Concentración intragrupos global

41. Ejemplo:En la siguiente tabla se muestran los datos relativos al número de contratos registrados en las oficinas del INEM en el mes de marzo de 2006 en las tres comunidades autónomas con mayor volumend e contratación en dicho mes. Determine el coeficiente de Theil y realice su descomposición intragrupos e intergrupos

42. Solución Por provincias

43. Por Comunidades Autónomas

44. Coeficientes Intragrupos

45. Coeficientes Intragrupos

46. Coeficientes Intragrupos

49. Ejemplo:

50. Lo que permite concluir que prácticamente la totalidad de la desigualdad existente en la distribución de las rentas de las familias de Estados Unidos en el año 1963 procede de la desigualdad entre las familias, sea cual sea su raza