Hydraulik I

1. Hydraulik I W. Kinzelbach Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung Turbulenz Potentialströmung

2. Reale Fluide 1 • Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert) • Turbulente Strömung (Trägheit dominiert) • Umschlag laminar-turbulent • Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

3. Reale Fluide 2 • Euler Zahl • Froude Zahl

4. Reibungskräfte

5. Reibungskräfte 2

6. Reibungskräfte 3 Unter Verwendung von

7. Navier-Stokes Gleichung 1 Kontinuität +A.B +R.B. 4 Gleichungen für 4 unbekannte Funktionen: vx, vy, vz, p

8. Navier-Stokes Gleichung 2 Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = rU2p* Zwei Invarianten Re = UL/n Fr2 = U2/(gL)

9. Hydraulische Ähnlichkeit • Zwei Strömungen sind ähnlich, wenn sie geometrisch ähnliche (ineinander skalierbare) Randbedingungen und gleiche Reynolds- und Froudezahl aufweisen • Basis des wasserbaulichen Versuchswesens: • Ergebnisse aus dem Labor sind übertragbar auf Natur, wenn ReLabor = ReNatur und FrLabor = FrNatur • Da es schwierig ist, beide Kennzahlen gleich zu machen, wird die jeweils wichtigere Ähnlichkeit eingehalten. Dies ist bei Strömungen in geschlossenen Leitungen Re und bei Freispiegelströmungen Fr.

10. P-Theorem (Buckingham) n Anzahl der relevanten Einflussgrössen r Anzahl der vorkommenden Grunddimensionen (m,s,kg…) m=n-r Anzahl der unabhängigen P-Terme

11. P-Theorem (Buckingham) Konstruktion der P-Terme: Wähle r Einflussgrössen x1 … xr, die die r Grunddimensionen enthalten und bilde durch Kombination mit je einer weiteren Einflussgrösse Da die P-Terme dimensionslos sind, müssen sich die Potenzen der Grunddimensionen zu Null wegheben.

12. Widerstandsbeiwert als Funktion der Reynolds-Zahl

13. Laminare Rohrströmung Folgt aus Integration der Navier-Stokes Gleichungen (Am praktischsten: in Zylinderkordinaten). Hier Herleitung aus Impulssatz: mit Kräftegleichgewicht

14. Laminare Rohrströmung Verbindung der Schubspannungsverteilung mit dem Newton‘schen Gesetz der Viskosität liefert C aus Randbed.

15. Laminare Rohrströmung Gesetz von Hagen-Poiseuille d geht mit der 4. Potenz ein. Kleine Änderung des Durchmessers bewirkt grosse Änderung von Q

16. Charakterisierung von Turbulenz Reynoldszahl entscheidet über Turbulenz: Re klein – laminar Re gross - turbulent Bei Rohrströmung Umschlag bei Re ≈ 2300 Reynoldszerlegung: Uns reichen eigentlich Gleichungen für

17. Charakterisierung von Turbulenz

18. Turbulentes Energiespektrum Wellenzahl Kolmogorovs Bild der Turbulenz: Energiekaskade Grosse Wirbel zerfallen in kleinere Wirbel bis letztlich die Energie durch viskose Reibung dissipiert wird.

19. Reynoldsgleichungen 1 Zeitgemittelte Navier-Stokes Gleichungen Einsetzen der Reynoldszerlegung in lineare Terme in p und v und anschliessende Mittelung führt zu Ersetzen der Variablen durch ihren Mittelwert. Beispiel Druckterm: Einsetzen der Reynoldszerlegung in den nichtlinearen Term der advektiven Beschleunigung führt nicht auf einen Term der nur die mittlere Geschwindigkeit enthält: Beispiel 1D

20. Reynoldsgleichungen 2 Das Analogon des Terms in 3D ist

21. Reynoldsgleichungen 3 Die gemittelte Navier-Stokes Gleichung wird damit zur Reynoldsgleichung Diese kann nicht gelöst werden, da der Term in v‘ neue Unbekannte enthält. Turbulenzmodellierung besteht darin, den Term in v‘ durch einen Ausdruck in den Mittelwerten oder durch neue Variable auszudrücken, für die weitere Gleichungen zur Verfügung stehen. (Schliessungsproblem)

22. Reynoldsgleichungen 4 Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen mit Wirbelzähigkeit nWirbel = konstant Problem: Wirbelzähigkeit ist dynamisch von Strömung abhängig und nicht konstant. Deshalb wurden eine Reihe anderer Turbulenzmodelle erfunden. Warum hat Turbulenzterm mit Zähigkeit zu tun?

23. Geschwindigkeitsprofile an Wand • Laminare Strömung zwischen zwei Platten • 1. Fall: Eine Platte fest, eine Platte bewegt mit Geschwindigkeit v • Geschwindigkeitsprofil linear • 2. Fall: Beide Platten fest, Durchfluss Q • Geschwindigkeitsprofil parabolisch • Laminare Rohrströmung: • Geschwindigkeitsprofil Rotationsparaboloid Wie sieht das Geschwindigkeitsprofil bei einer turbulenten Strömung zwischen 2 Platten oder in Rohr aus???

24. Turbulente Schubspannungen (1) v y u A Wand x Transportrate von x-Impuls in y-Richtung:

25. Turbulente Schubspannungen (2) Fluss ist gegen die Wand gerichtet: Impulskraft wird durch Wandschubspannung aufgenommen Fluid grösserer u-Geschwindigkeit, das in Wandnähe kommt wird gebremst, bzw. beschleunigt dort langsameres Fluid und umgekehrt. (Analogie zu Rempeleien auf molekularer Ebene, die zu Viskosität führen! Deshalb Wirbelviskositätsansatz)

26. Geschwindigkeitsprofil an Wand (1) L Prandtl‘scher Mischweg = Strecke über die ein Wirbel seine Identität verliert Weitere Annahme: L proportional zu Wandabstand

27. Geschwindigkeitsprofil an Wand (2) Für positive Geschwindigkeitsgradienten und wandnahe Schicht mit t ungefähr konstant: Integration liefert:

28. Geschwindigkeitsprofil an Wand (3) Direkt an Wand: viskose Unterschicht (dünner als kleinste Wirbel) Dicke dw . Damit folgt C: Das Wandprofil in einer turbulenten Strömung ist logarithmisch. In einer laminaren Strömung ist es linear. Unterschied: Laminar: Turbulent: a

29. Grenzschichtströmung u∞ An der Wand: Haftbedingung Weit draussen: Ungestörte Strömung Grenzschichtdicke: Wandabstand bei dem u = 0.99 u∞

30. Grenzschichtdicke c hängt von Art der Strömung ab: Unterschiedlich für laminare und turbulente Strömung laminar: turbulent:

31. Äquivalente Wandrauheit z.B. Glas-, Kupfer-, Kunststoffrohre: glatt k=0 Betonrohre k=0.3-3.0 mm Stahlrohre k=0.03-0.1mm

32. Geschwindigkeitsprofile in Rohrströmungen

33. Hydraulisch glatt - rauh

34. Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung Für Energiesatz: Für Impulssatz: mit

35. Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung: Nebenrechnung mit

36. Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung

37. Venturi Rohr d 2 1 Gemessen: p1, p2, D, d Rohr horizontal T=20o Gesucht: Q Lösung: Kontinuität und Bernoulli

38. Geschwindigkeitsmessung

39. Hydrometrischer Flügel

40. Tracer Methoden t1 t2 L Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

41. Andere Methoden • PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln • Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung t1 t2 + -

42. Andere Methoden • Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen. • MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert • Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

43. Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei w=0 deformationsfrei q=0 y x Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

44. Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=f(y)): rotationsbehaftet w 0 deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

45. Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsbehaftet w 0 Ohne Deformation q = 0 Beispiel: Festkörperwirbel

46. Festkörperwirbel (Karussell) q v = wr r y q x

47. Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsfrei w = 0 deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r, Kernströmung rotationsbehaftet

48. Wie wird Rotation erzeugt? • Drei Ursachen für Rotation: • Reibung und damit scherendes Profil • Dichteunterschiede • Rotierendes Bezugssystem (Erde) • Wenn eine Strömung anfänglich rotationsfrei ist und • keine der drei Ursachen wirksam ist, bleibt die Strömung • rotationsfrei. z x leicht schwer

49. Potentialströmung 1 • Strömung in der gilt: • Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes F, des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen Führe Nachweis durch Anwendung von

50. Potentialströmung 2 • Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung • Ebene Strömung in x-y-Ebene