Wstęp do Teorii Gier

1. Wstęp do Teorii Gier

2. Biologia Prosty model konfliktu wg Maynarda Smitha i Price'a. • Dwa osobniki jednego gatunku spotykają się w sposób losowy • Każdy z nich chce pewne dobro, ale tylko jeden je dostanie • Zdobycie dobra warte jest 50 punktów dostosowawczych • na przykład zwiększenie prawdopodobieństwa przekazania swoich genów następnemu pokoleniu. • Dwie strategie: • Jastrząb - walczy o dobro • Gołąb- ogranicza się do działań symbolicznych

3. Gra gołąb-jastrząb • Zdobycie dobra +50 • Przegrana w walce -100 • Strata czasu ma straszenie się -10 • Zatem: • jastrząb walczący z jastrzębiem - 0.5*50+0.5*(-100)=-25 • Jastrząb z gołębiem 50 • Gołąb z jastrzębiem 0 • Gołąb z gołębiem 0.5*(50-10)+0.5*(-10)=15

4. Strategia stabilna ewolucyjnie • Jeśli są same gołębie, to opłacałoby się być jastrzębiem • Jeśli są same jastrzębie, opłacałoby się być gołębiem • Strategia 7/12 jastrząb 5/12 gołąb jest stabilna ewolucyjnie • Strategia jest stabilna ewolucyjnie, jeśli spełnia: Niech T będzie jakąkolwiek inną strategią czystą lub mieszaną. Załóżmy, że wszystkie osobniki grają S za wyjątkiem niewielkiej liczby tych, co grają T. Jeśli S jest SSE, to oczekiwana wypłata graczy grających S jest nie mniejsza niż oczekiwana wypłata graczy grających T. • Znaczy to tyle, że populacja S jest odporna na inwazję mutantów T.

5. Strategia stabilna ewolucyjnie • B jest jedyną ESS • A i B są ESS • Tylko mieszana ESS

6. Strategia stabilna ewolucyjnie • Ogólnie dla gier 2x2: • A jest ESS, jeśli a>c, lub a=c ib≥d • B jest ESS, jeśli d>b, lub d=b ic≥a • Inaczej tylko mieszana • Jeśli jest więcej niż dwie strategie, to • strategia czysta S jest stabilna ewolucyjnie, jeśli na głównej przekątnej dla strategii S jest wartość najwyższa w tej kolumnie – ponieważ wtedy S jest najlepszą strategią przeciwko sobie samej S. • Jeśli wartość na przekątnej nie jest jedyną największą wartością w kolumnie, potrzebny jest dalszy test: Wtedy S musi być niegorsza przeciwko jakiejkolwiek alternatywie niż ta alternatywa jest dla siebie samej

7. Znęcający się nad słabszymi • Jeśli jest więcej niż dwie strategie, czysta strategia S jest SSE, jeśli wartość wypłaty dla S leżąca na głównej przekątnej macierzy gry jest największą wartością w swojej kolumnie • Dodajmy strategię „gnębiciel” – atakuj jeśli przeciwnik się nie broni, uciekaj kiedy atakuje (jeśli dwóch gnębicieli się spotka, jeden z nich ucieknie szybciej niż pozostały) • Gołąb jest zdominowany • Jedyna SSE to ½ jastrzębia, ½ gnębiciela • Jak najlepiej radzić sobie z gnębicielem?

8. Mściwy typ • Dodajmy strategię „mściciel” – na początku graj gołębia, ale jeśli cię ktoś atakuje walcz z nim z całej siły • Mściciel jest SSE • Również SSE jest strategia mieszana - mniej niż 30% gołębia, reszta mściciel (jeśli będzie więcej niż 30% gołębi, gnębiciel dokona inwazji) • W populacji mścicieli nie dochodzi do walki – ten rodzaj pokojowej równowagi zachodzi dzięki gotowości do walki

9. Mściwy typ • Are we jumping to conclusionstoosoon??? • We shouldcheck ALL conditionalstrategiesinfact. • However, theretaliatorstrategyisveryrobust. • To do betteragainst a retaliatorthananotherretaliatorwould do, youwouldhave to win theresourcefromhimwithoutwasting time orriskinginjury. Thisisdifficultbecause a retaliator will not run away, and ifyoufighthim, he will fight back. Anotherconclusion?? • Conditionalstrategiesseem to do betterthanmechanicalstrategies

10. Efektywność i koordynacja • Wynik nieoptymalny w sensie Pareto • Gdyby grali gołębia, mieliby po 15 • A gdyby grali ½ GJ, ½ GJ to mieliby po 25 • Jak skoordynować działanie: • Walcz tylko wtedy, gdy jesteś większy • Walcz tylko wtedy, gdy masz dłuższy ogon • Walcz tylko wtedy, gdy jaśniejsze pierze • Walcz tylko wtedy, gdy jesteś na swoim terytorium 50 Symetryczny wynik paretooptymalny 25 GG SSE -25 25 50 -25

11. Mieszczuch • Rozpatrzmy strategię „posiadacza” – bądź jastrzębiem na własnym terytorium, a gołębiem na cudzym • Załóżmy, że połowa starć na własnym terytorium oraz że dwa osobniki nigdy nie spotkają się na terytorium nienależącym do któregoś z nich • Dwie SSE • Mściciel dopuszczający istnienie pewnej liczby gołębi • Posiadacz dopuszczający istnienie pewnej liczby gnębicieli

12. Exercise [Dawkins (1976)] • A birdfemaletries to get a male to stayaround and help raise a family of babies, instead of goingoff and propagating his geneselsewhere. • One possibletechniqueis to insist on a long and arduouscourtshipbeforemating. • Suppose a femalecan be eithercoy (insist on courtship) orfast (be willing to mate withanyone) • A amalecan be eitherfaithful (go through a courtship and then help raisethebabies) orphilandering (be unwilling to go through a courtship, and desertanyfemaleaftermating) • Supposethepayoff to eachparent of babiesis +15, thetotalcost of raisingbabiesis -20, whichcan be splitequallybetweenbothparents, orfallentirely on thefemaleifthemaledeserts. Supposethecost of a long courtshipis -3 to each player. Formulatetheresultinggame Draw themovement diagram of thisgame to show thereis no purestrategyequilibrium A mixedstrategy ESS for maleswould be one whichequilizestheexpectedpayoffs to coy and fastfemales. Findit. Similarly, find an ESS for thefemales. Ifmales and femalesfollowtheseESS’s, what will theepxectedpayoffs be? IsthisresultParetooptimal?

13. Gry Bayesowskie • Gry z niepełną informacją (incompleteinformation), gdzie gracze poruszają się jednocześnie • Co jest nowego z grze Bayesowskiej: • Każdy gracz ma jakiś typ (type), który podsumowuje jego prywatną informację • Każdy gracz dokonuje oceny (belief) typów innych graczy • Wypłaty graczy zależą od typów • Różne typy tego samego gracza mogą grać różne strategie

14. Gry w postaci strategicznej Gra z pełną informacją Gra z niepełną informacją • Zbiór graczy: • Zbiór akcji dla każdego gracza: • Funkcja wypłat dla każdego gracza: gdzie • Zbiór graczy: • Zbiór typów dla każdego gracza: • Oceny typów innych graczy dla każdego gracza • Zbiór akcji dla każdego gracza: • Zbiór funkcji strategii dla każdego gracza zależnych od typu • Funkcja wypłat dla każdego gracza i każdego typu gracza

15. Gry Bayesowskie • Niepełna informacja może dotyczyć czegokolwiek w grze: • Funkcji wypłat • Akcji innych graczy • Ocen innych (belief of others) • Harsanyi pokazał, że wprowadzenie typów przy funkcjach wypłat jest właściwym podejściem • Równowaga BayesowskaNasha to profil strategii (jedna dla każdego typu każdego gracza) taka, że każdy typ stosuje najlepszą odpowiedź (best response) dysponując swoją oceną (belief) typów innych graczy i ich strategii

16. Panika finansowa (Bank run) • Ty (gracz I) oraz inny inwestor (gracz II) macie depozyt w wysokości 100 złotych w banku. • Jeśli inwestor dobrze zarządza pieniędzmi oboje dostaniecie 150 złotych pod koniec roku. Jeśli nie, stracicie Wasze pieniądze. • Możesz spróbować wypłacić pieniądze teraz, ale bank ma tylko 100 złotych w gotówce. • Jeśli tylko jeden z Was spróbuje wypłacić dostanie 100 złotych. • Jeśli oboje będziecie starali się wypłacić, oboje dostaniecie po 50 złotych. • Wierzysz, że inwestor dobrze zarządza z prawdopodobieństwem q. • Gracz II wie czy szef banku dobrze zarządza czy źle. • Ty oraz gracz II musicie jednocześnie zdecydować, czy wypłacić pieniądze z banku, czy nie.

17. Typy równowag dobry q słaby (1-q) • Równowagaseparowalna(separatingeq.): każdy typ gra inną strategię • Równowaga łączona (poolingeq.): każdy typ gra tą samą strategię • Jak zachowałbyś się jako gracz II, gdybyś wiedział, że szef banku słabo zarządza? • Wypłaciłbyś pieniądze

18. dobry q słaby (1-q) • Równowagi separowalne: • (Dobry: Wypłacić, Zły: Nie wypłacać) • Nie może być równowagą, ponieważ Wypłacić jest dominującą strategią dla Słaby • (Dobry: Nie wypłacać, Słaby: Wypłacić): • Oczekiwana wypłata gracza I: • Wypłacić: • Nie wypłacać: • Dwie możliwości: • q<1/2: Gracz I wybierze Wypłacić, wtedy gracz II Dobrego typu powinien zagrać Wypłacić, co przeczy założeniu, że gra Nie wypłacać • q≥1/2: Gracz I wybierze Nie wypłacać. Najlepszą odpowiedzią gracza II Dobrego typu jest Nie wypłacać, co nie przeczy założeniu • Równowaga separowalna: • dla q<1/2: nie ma • dla q≥1/2 Gracz I: Nie wypłacać, Gracz II: (Dobry: Nie wypłacać, Słaby: Wypłacać)

19. dobry q słaby (1-q) Równowagi łączone: • (Dobry: Nie wypłacać, Słaby: Nie wypłacać) • Nie może być równowagą, ponieważ Wypłacać jest dominującą strategią dla Słabego • (Dobry: Wypłacać, Słaby: Wypłacać) Oczekiwana wypłaty gracza I: • Wypłacać • Nie wypłacać Gracz I wybierze Wypłacać. Najlepsza odpowiedź dobrego typu gracza II jest Wypłacać. Zatem dla każdej wartości q następująca równowaga łączona jest jedyna: Rówowaga łączona Gracz I: Wypłacać, Gracz II: (Dobry: Wypłacać, Słaby: Wypłacać) Jeśli q<1/2 jedyną równowagą jest równowaga łączona panika finansowa