Umlegung und Routenwahl

1. Umlegung und Routenwahl A. Horni IVT ETH Zürich Frühlingssemester 2010

2. Verkehrsmodelle / 4-Stufen-Modell (Repetition) Herleitung Nutzergleichgewicht Weitere Verteilungsgrundsätze Stochastisches Nutzergleichgewicht Systemoptimum Umlegungsverfahren Incremental Assignment Method of Successive Averages (MSA) Kürzeste Wege in Netzen Dikstra Algorithmus Widerstandsfunktionen BPR, Davidson Heute: Übungsblätter 2

3. Verkehrsmodelle → Vier-Stufen-Verfahren Bemessung Wirkung von Massnahmen etc. (Prognose-)Modell für Verkehrsnachfrage 4-Stufen- {Ansatz | Methode | Verfahren…} = Herz der Verkehrsplanung

4. Vier-Stufen-Modell Vorlesung (Woche) Übung VL W 8 VL W 5 VL W 3 Übung 2 Übung 1 z.B. Gravitationsmodell Umlegungsmodelle: z.B.: MSA Entscheidungs-modelle: z.B. MNL Modelle

5. Ziel Quelle Zürich Ff Zug Zürich Frauenf Zug Verkehrsverteilung (Grav.-Modell) Verkehrserzeugung Verkehrsanziehung Umlegung (Routenwahl) Verkehrsmittelwahl 1 4 3 2 4 1 4→? 3 4→? 4→? S 4 6 1 1 8 6 12 3 12 S 5

6. Nutzergleichgewicht: Herleitung Gleiche fundamentale Mechanismen Homo oeconomicus Entscheider sind informiert durch Beobachtung Kostenminimierung Schalterwahl Kosten Wartezeit Wartezeit = belastungsabhängig Gleichgewicht: Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen (Nash) Bei allen Schaltern steht man (etwa) gleich lange an. 6

7. Nutzergleichgewicht: Routenwahl Entscheider sind informiert durch Vorwissen über die sich wiederholende Situation Homo oeconomicus Kostenminimierung generalisierte Kosten Reisezeit, Reisedistanz, Maut, Komfortkriterien, … Routenwahl Reisezeit = belastungsabhängig Nutzer-Gleichgewicht (Wardrop Gg): Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselben generalisierten Kosten. Alle nicht benutzten Wege zwischen einem Quelle-Ziel-Paar haben höhere generalisierte Kosten. 7

8. Routenwahl: Von Zürch nach Zug … Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen!

9. Routenwahl – weitere Verteilungsgrundsätze & Dynamik Homo oeconomicus Wahrnehmung ohne Fehler Wahrnehmung mit Fehler Soziale Kosten Nutzerkosten Entscheider sind informiert … Dynamik Kostenminimierung generalisierte Kosten Reisezeit, Reisedistanz, Maut, … Routenwahl Nutzer-Gleichgewicht (Wardrop 1. Prinzip) Z.B. Tropfenzähler, Road pricing etc. Stochastisches Nutzergleichgewicht Systemoptimum (Wardrop 2. Prinzip) → hypothetischer Vergleichszustand 9

10. Dynamik • Statisch: • Modellierung der durchschnittlichen Belastung über längere Zeiträume: • Spitzenstunden (1h, 2h oder 4h) • Tag • Dynamisch: • Modellierung der Belastungen in kurzen Intervallen (15 min, 30 min) mit Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Intervallen (Warteschlangen) • Genauer, aber hoher Aufwand → i.d.R. kleinere Untersuchungsgebiete

11. Wardrop‘s Nutzergleichgewicht • Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten). • Alle nicht benutzten Wege haben eine höhere Reisezeit (generalisierte Kosten) (Bsp.: Zürich → Zug via Genf)

12. Stochastisches Gleichgewicht • Der Anteil der Reisenden auf jeder Route zwischen zwei Zonen entspricht der Wahrscheinlichkeit mit der diese Route von den Nutzern als die beste wahrgenommen wird. • Die tatsächlichen Reisezeiten auf den Routen müssen demnach nicht gleich sein.

13. Systemoptimum • Die Gesamtreisezeit (Summe der generalisierten Kosten) ist minimal.

14. Beispiel: Zwei Strecken – UE / SO Belastung auf Route 2 Systemoptimum SO Nutzergleichgewicht UE mittlere Fahrzeit Route 2 Route 1 Belastung auf Route 1 14

15. Zusammenfassung • Gewichtung der einzelnen Kostenelemente (z.B. Zeit, Distanz, Benzinverbrauch etc.) : • für UE und SO meist homogen (da sonst ausserordentlich kompliziert) • für SUE häufig personenspezifisch.

16. Beispiel: UE 16

17. Umlegungsverfahren: Berechnung des Gleichgewichtspunktes Riesige Anzahl von Netzwerkkanten, welche Einfluss aufeinander haben. Nichtlineares System xb → Nicht analytisch (oder graphisch) lösbar → Numerisches Verfahren wird benötigt Wie könnte das aussehen?

18. Berechnungsverfahren: Herleitung • Unterschiedliche Schalen • → unterschiedliche Strassenparameter: z.B. Kapazität • → unterschiedlich effiziente Kassiererinnen

19. Umlegungsverfahren: Verschiedene Umlegungsverfahren Zwei zentrale Verfahren: Nicht iterativ: → Incremental assignment Iterativ: → Method of Successive Averages

20. Verfahren: „Incremental Assignment“ Nicht iterativ: Lege sukzessive kleine Portionen auf die jeweils leichtere Schale bis Mehl komplett auf der Waage. → Ortuzar S. 340 20

21. Verfahren: „Method of Successive Averages (MSA)“ Iterativ: Verschiebe solange Mehl von der schwereren Schale zur leichteren bis beide gleich* schwer sind. → Ortuzar S. 342 * Konvergenzkriterium  hochgradig prüfungs- und übungsrelevant!

22. MSA – 2 Routen A B Iterativ: Anteilf von der langsameren auf die schnellere Route Belastung: x t: 50 min Anteil f von x Belastung: y t: 40 min → min

23. MSA – 3 Routen A B Iterativ: Anteilf von allen langsameren auf die schnellste Route Belastung: x t: 50 min Anteil f von x Belastung: y t: 40 min → min Anteil f von z Belastung: z t: 60 min

24. MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa) → Übung • Initialisierung: Zuordnen der Verkehrströme auf kürzeste Wege bei unbelastetem Netz • Iteration: • Berechnen der kürzesten Wege • Hilfsflüsse Fa := alle Verkehrströme auf kürzesten Wegen • Zuordnung der neuen Verkehrsströme mit: • Fneu := (1-f) * Falt + f * Hilfsflüsse • Berechnen der neuen Reisezeiten t = f ( Fneu ) f: Parameter: 0 < F < 1 F: zu berechnender Verkehrsstrom auf Strecke 24

25. MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa) A B Salopp formuliert: Anteilf von allen langsameren auf die schnellste Route Hilfsflussformulierung: Fneu := (1-f) * Falt + f* Fa => → Fa = x + y + z (komplette Nachfrage auf günstigste Route) 1: (1-f) * x Belastung: x t: 50 min 1 1: (1-f) * x + f * 0 2: y + f * (x + z) 2: (1-f) * y + f * Fa = (1-f) * y + f * (x+y+z) = y + f * (x + z) Anteil f von x Fa 2 Belastung: y t: 40 min → min Anteil f von z 3: (1-f) * z 3 3: (1-f) * z + f * 0 Belastung: z t: 60 min iterativ bis GG erreicht

26. Für mehrere Quell-Zielbeziehungen analog A B C Andermatt t = f ( F1 + F2) Airolo Göschenen Quell-Zielbeziehung 2: Andermatt-Göschenen Quelle: C Ziel: B Quell-Zielbeziehung 1: Airolo-Göschenen Quelle: A Ziel: B (nicht C!)

27. Berechnung „schnellster (günstigster) Wege“ • Wird in Umlegung gebraucht • Vielzahl von Algorithmen • Drei Grundklassen: • Matrixverfahren (Beispiel: Floyd) • Verfahren mit eingeschränkten Kandidatenlisten (Beispiel Dijkstra → prüfungsrelevant) • Verfahren mit offenen Kandidatenlisten (Beispiel Moore) • Unterschiede in Speicherplatz, Rechenzeit, Komplexität des Kodes

28. 0: Initialisierung • Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren • Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞) • I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. III: Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück

29. 0: Initialisierung • Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren • Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞)

30. I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.

31. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

32. I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.

33. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

34. I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.

35. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

36. I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.

37. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

38. I: • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.

39. II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

40. A→ B→ E→ F→ C→ D :13 III: Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück

41. Widerstandsfunktionen: Reisezeit = f ( Belastung ) • Mit weicher Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, • z.B. Bureau of Public Roads (BPR-Funktion) • Mit harter Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze, • z.B. Davidson: i: Strecke i qi: Belastung auf Strecke i t0i: Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke Li: Leistungsfähigkeit J, , : Parameter Formeln für Widerstandsfunktionen stehen in Prüfungsformelsammlung → muss man „nur“ anwenden können.

42. Widerstandsfunktionen

43. Zum Schluss: MSA - Rechenbeispiel A B Hirzel-Route t0,Hirzel = t0,Sihltal = 35min aHirzel = aSihltal = 0.25 bHirzel= bSihltal = 2 LHirzel = LSihltal =2000 Fzg./h Sihltal-Route Nachfrage 3000 Fzg./h • konstant 0.2 (iterativ 20% von der langsameren auf die schnellere Route) 0.2 * 3000 Fzg./h → 600 Fzg./h 0.2 * 2400 Fzg./h → 480 Fzg./h 0.2 * 1920 Fzg./h → 384 Fzg./h 0.2 * 1536 Fzg./h → 307 Fzg./h

44. Literatur • Literaturhinweis: • Schnabel / Lohse: Kapitel 10.8.7.2 • Ortúzar / Willumsen: Kapitel 10.1 – 10.5, 11 • Vrtic, M. (2005) Verkehrsverteilungsmodelle, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich • Vrtic, M. (2005) Best-Wege-Suche, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich

45. Definitionen: Umlegung - Routenwahl • Routenwahl ist die Modellierung der Wahl der Reisenden zwischen den möglichen Routen zwischen zwei Orten. • Umlegung ist die Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten auf die möglichen Routen unter Einhaltung bestimmter Randbedingungen