Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

1. Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader

2. Lehrplanbezug Grundkurs in Klasse 13: 13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (7 Stunden) 13.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (7 Stunden) Leistungskurs in Klasse 12: 12.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (6 Stunden) 12.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (11 Stunden)

3. Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform Geraden- und Ebenengleichungen in KoordinatenformA1x1+A2x2+A3 = 0; AiR Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung; geeignete Zeichnungen und Skizzen Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform; Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe; Achsenabschnittsform; Spurpunkte und Spurgeraden; achsenparallele Geraden bzw. Ebenen; zeichnerische Darstellungen GK 13.4 und LK 12.4:Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum.

4. Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse; auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen GK 13.5 und LK 12.5:Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen.

5. II.1.1 Geradengleichung in vektorieller Form Geradengleichung in vektorieller ParameterformZwei-Punkte-GleichungkR Punkt-Richtungs-Gleichung kR X z B A O y x X z A O y x

6. Bemerkungen zur Parameterdarstellung von Geraden Bemerkungen: • Beide Vektorgleichungen sind gleichwertig. • Eine Gerade kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden; für die Punkt-Richtungs-Gleichung beispielsweise eignet sich jeder Punkt der Geraden als Antragspunkt und auch jeder Vektor , k R\{0}, als Richtungsvektor. => Nicht die Parameterdarstellung, sondern eine Parameterdarstellung der Geraden

7. II.1.2 Geradengleichung in Koordinatenform Im zweidimensionalen Punktraum R² kann man den Parameter k aus der Geradengleichung eliminieren: A1x1+A2x2+A3 = 0; AiR

8. II.2 Darstellungsformen von Ebenen Allgemein gilt: Eine Ebene E wird von zwei linear unabhängigen Vektoren „aufgespannt“. E B X A C

9. k,l R II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (1) a) Drei-Punkt-Gleichung B E X A C 0

10. k,l R II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (2) b) Punkt-Richtungs-Gleichung g E X A h 0

11. II.2.2 Ebenengleichungen in Koordinatenform A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4 = 0, AiR

12. III.1. Lagebeziehungen zwischen Geraden Im R² und R³ gibt es folgende Möglichkeiten: 1. Die beiden g und h schneiden sich: {S} = g∩h. 2. Die beiden Geraden g und h sind parallel und g  h. Man sagt: g und h sind echt parallel 3. Die beiden Geraden g und h fallen zusammen: g = h. Man sagt: g und h sind entartet parallel. Nur im R³: 4. Die beiden Geraden g und h schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Man sagt: g und h sind zueinander windschief. h S g h g h g h g

13. linear unabhängig linear unabhängig linear unabhängig Bestimmung der Lage zweier Geraden 1. Möglichkeit: Man untersucht die beiden Richtungs-vektoren und den Differenzenvektor der Antragspunkte auf ihre lineare Unab-hängigkeit. Gegeben: Berechne: Entscheide: nein ja Entscheide: nein nein ja ja g und h sind windschief gh= g und h schneiden sich gh={S} g und h sind echt parallel gh= g und h fallen zusammen g=h

14. Bestimmung der Lage zweier Geraden 2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das Gleichungssystem: • genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt) • keine Lösung, so sind die Geraden im R² echt parallel und im R³ echt parallel oder windschief (mit Hilfe der Richtungsvektoren unterscheidbar) • unendlich viele Lösungen, so fallen die Geraden zusammen

15. gE={S}  linear unabhängig gE=  1. linear abhängig2. lin. unabh. gE=g  1. linear abhängig2. lin. abh. III.2.1 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen k, l, r R 1. Gerade und Ebene schneidensich; Schnittpunkt S 2. Gerade und Ebene sind echtparallel 3. Gerade liegt in der Ebene A2 g g g E A1 E E E A1 A1 A2 S 0 0 0 A2

16. linear unabhängig linear unabhängig Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene 1. Möglichkeit: Untersuchung der linearen Unabhängigkeit Gegeben: Entscheide: nein Berechne: ja Entscheide: nein ja g schneidet E gE={S} g echt parallel zu E gE= g liegt in E gE=g

17. Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene 2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das inhomogene Gleichungssystem: • keine Nullzeile auf der linken Seite  genau eine Lösung (Parameterwerte für den Schnittpunkt) • Nullzeile auf der linken Seite und rechte Seite ungleich Null keine Lösung (Gerade ist echt parallel zur Ebene) • eine vollständige Nullzeile unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in der Ebene)

18. E1E2=  1. 2. E1E2=g  E1=E2  1. 2. III.2.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen k, l, r, s R 1. Ebenen schneidensich; Schnittgerade g 2. Die beidenEbenen sind echtparallel 3. Beide Ebenen fallen zusammen(entartet parallel) g A1 A1 E1 A1 E1=E2 A2 E2 A2 A2 E1 E2 0 0 0

19. linear unabhängig linear unabhängig Bestimmung der Lage von zwei Ebenen Gegeben: Entscheide: nein Berechne: ja Entscheide: nein ja E1 und E2 schneiden sich E1E2=g E1 echt parallel E2 E1E2= E1 und E2 fallen zusammen E1=E2