Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum w Pomorsku, Gimnazjum nr 2 w Gostyniu • ID grupy: 98/41_MF_G1 ID grupy: 98/55_MF_G1 • Opiekun: Aneta Zdanowicz Opiekun: Maria Szczęsna • Kompetencja: • Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Liczba • Semestr/rok szkolny: semestr IV/V rok 2011/2012

3. „Podziwu godna liczba Pi” • Wisława Szymborska

4. Plan prezentacji • Symbol, nazwa i historia liczby . • Własności i zastosowania liczby . • Skąd wiemy, że ≈ 3,14 ? • Doświadczenia – wyznaczanie przybliżonej wartości liczby • Metoda Archimedesa. • Doświadczenie Buffona –symulacja losowego wyznaczenia tej liczby. • Sumy i szeregi związane z tą liczbą . • Zdjęcia z doświadczeń. • Wnioski. • Źródła. • Autorzy.

5. Cele projektu • kształcenie umiejętności korzystania z różnych źródeł • informacji, gromadzenie, selekcjonowanie • i przetwarzanie zdobytych informacji, • doskonalenie umiejętności prezentacji zebranych • materiałów, • rozwijanie własnych zainteresowań, • doskonalenie umiejętności przeprowadzania • doświadczeń, analizy danych, formułowania • wniosków,

6. Cele projektu • planowanie harmonogramu działań i przekonanie członków grupy do proponowanych rozwiązań, • układanie harmonogramów działań, • planowanie i rozliczanie wspólnych działań, • odkrywanie różnymi sposobami liczby , • poszerzenie kompetencji uczniów w zakresie wiedzy o tej liczbie, • umiejętność łączenia wiedzy z praktyką.

7. Liczba π • Co oznacza liczba π? • Skąd wziął się symbol π? • Gdzie ma zastosowanie liczba π? • Na czym polega magia tej liczby?

8. Definicja liczby p. O–długość okręgu (obwód koła) r – promień okręgu 2r = d – średnica okręgu r r O =p d

9. π Liczba π • 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381926117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608644418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012 8583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912 93313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680679192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091 442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376576183515565088490998985998238734552833163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128289059233866544718126039719068846237085751808003532704718565949947612424819762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680679192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205………………………….

10. Dlaczego p ? William Jones 1675-1749 Synopsis Palmariorum Mathesos - 1706 (Nowe wprowadzenie do matematyki) p od perimetron (perimetron) - obwód Leonhard Euler 1707-1783 Analiza - 1737

11. Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

12. Własności Liczby p : • Liczba Pi jest: • liczbą niewymierną, • liczbą przestępną (to znaczy, że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych). • Własność tę wykazał w 1882 r. matematyk niemiecki F. Lindemann • Wykazał on w ten sposób nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.

13. Historia • Pi jest jedną z pierwszych odkrytych przez człowieka liczb niewymiernych. • To stała wartość, która określa stosunek obwodu koła do jego średnicy. "Informacje o Pi znajdują się też w Piśmie Świętym - liczba ta pojawia się przy okazji budowy świątyni Salomona • Stworzyli ją ci, którzy wymyślili koło, czyli Sumerowie.

14. Historia obliczania wartości przybliżonej liczby • Liczbę Pi próbowano wyliczyć już na wiele lat przed naszą erą. • 2000 lat przed naszą erą Babilończyce szacowali, że liczba Pi ≈ 3 • Egipcjanie – 2000 lat p.n.e. uznawali, że Pi ≈ (16/9)2 • Archimedes – III wiek p.n.e. ustalił, że Pi w przybliżeniu wynosi 22/7 • Ptolemeusz Klaudiusz – II wiek p.n.e. przyjmował, że Pi w przybliżeniu wynosi 3+8/60+30/3600

15. P = a2 Jeżeli a = r, to P ≈ P P =pr2 16 9 44 34 p ≈ ≈ 3,16049 W poszukiwaniu p. r a Papirus Rhinda

16. W poszukiwaniu p. Starożytna Grecja III w. p.n.e. Archimedes (~3,14) II w. p.n.e. Ptolemeusz p≈ 3,14159 „

17. 22 7 p ≈ 355 113 p ≈ W poszukiwaniu p. cHINY ok. 500 r. n.e. Zu Chongzhi

18. POLSKA Adam Kochański – polski matematyk w 1685 roku zajmował się konstrukcją przybliżonej wartości Pi. Ustalił, że wynosi ona

19. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory doszli w 1674. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji szereg potęgowy

20. W poszukiwaniu p. Metoda ciągów nieskończonych 1400 Madhava 1593 François Viète 1656 John Wallis rok matematyk i teolog angielski 1674 Gottfried Willhelm Leibniz

21. W poszukiwaniu p. Ludolf van Ceulen (28 stycznia 1540- 31 grudnia 1610) „Van den Circkel” (1596) – 20 miejsc znaczących. Pod koniec życia – 35 miejsc znaczących! p≈ 3.14159265358979323846264338327950288...

22. W poszukiwaniu p. p z komputera pierwszy komputer - ENIAC 1949 – 2037 miejsc po przecinku HITACHI 2002 – 1,2 · 1012 miejsc po przecinku ”

23. Gdzie występuje liczbap? * matematyka obwód koła – O = 2pr pole koła – P = pr2 miara łukowa kąta – 180° = p rad * fizyka prędkość kątowa – w = 2pf zasada nieoznaczoności – elektromagnetyzm – „

24. Doświadczenie- pomiary • Przyrządy – kilka „ okrągłych” przedmiotów, suwmiarka, nitka, linijka, ekierki. • Wykonujemy pomiary obwodów oraz średnic przedmiotów „ okrągłych” • wyniki - do karty pracy • przeliczamy według wzoru • Przybliżamy do 0,001 • Wnioski : wartość przybliżona ilorazu wynosi 3.

25. Karta pracy - obserwacji

31. Doświadczenie – odkrywamy liczbę pmetodą „ igły Buffona” • Przyrządy- patyczki jednak. długości, wykałaczki, papier • Na kartce rysujemy równoległe linie tak, aby odstęp między nimi był równy długości patyczka (wykałaczki) • Wykonujemy N rzutow patyczkiem i notujemy wyniki : ile razy patyczek upadł między liniami, a ile razy ( x) upadł na linię ( przeciął ją) • Obliczamy wartość: 2N/x • Interpretujemy • Dyskusja: ile trzeba wykonać rzutów, aby uzyskana wartość była najlepszym przybliżeniem liczby ?

32. Karta pracy – „ igła Buffona” suma N- liczba rzutów X- liczba przecięć linii 2N/x – przybliżenie liczby

33. Zdjęcia z doświadczeń

34. Zdjęcia z doświadczeń

35. Pomiary

36. Zdjęcia z doświadczeń

37. Zdjęcia z doświadczeń

38. Zdjęcia z doświadczeń

39. Obliczanie wartości przy pomocy igły Buffona

40. Obliczanie wartości przy pomocy igły Buffona

41. Metoda Archimedesa Pierwszą osobą, która w miarę dokładnie wyliczyła wartość liczby pi był Archimedes. Miało to miejsce w III wieku przed naszą erą. Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π: . Archimedes uzyskał ten wynik wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych - opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg . Dokonał on obliczeń, z których wynikało, że pi wynosi 3.1415 (do dzisiaj uznajemy to za prawdę przy zaokrągleniu do czterech miejsc po przecinku).

42. DOŚWIADCZENIE – odkrywamy liczbę Pmetodą ARCHIMEDESA Przyrządy- cyrkiel, ołówek, linijka, kalkulator Wykonujemy konstrukcję trzech wielokątów: pięciokąta, sześciokąta i ośmiokąta a następnie wpisujemy i opisujemy na nich okręgi. Następnie wykonujemy pomiary promieni wszystkich okręgów. Obliczamy obwody tych okręgów. Wykonujemy obliczenia liczby pi ze wzoru L/d. Dane umieszczamy w tabeli i analizujemy otrzymane wyniki.

43. ZDJĘCIA Z DOŚWIADCZEŃ

44. Zdjęcia z doświadczeń

45. ZDJĘCIA Z DOŚWIADCZEŃ

46. OBLICZENIA WYKONANE DLA PIĘCIOKĄTA Średnica (d) Obwód koła (L) =L/d Promień okręgu opisanego na pięciokącie R=9,5 cm 19 cm 59,69 cm 3,141578942 Promień okręgu wpisanego w pięciokąt r=7,64 cm 15,28 cm 48,0035 cm 3,141592654

47. OBLICZENIA WYKONANE DLA SZEŚCIOKĄTA Średnica (d) Obwód koła (L) =L/d Promień okręgu opisanego na sześciokącie R=9,5cm 19 cm 59,69 cm 3,141578942 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt r=8,23cm 16,46 cm 51,71 cm 3,141578947

48. OBLICZENIA WYKONANE DLA OŚMIOKĄTA Średnica (d) Obwód koła (L) =L/d Promień okręgu opisanego na ośmiokącie R=10 cm 20 cm 62,83 cm 3,141592654 Promień okręgu wpisanego w ośmiokąt r=9,27 cm 18,54 cm 58,25 cm 3,141855448

49. METODA MONTE CARLO Wyobraźcie sobie, że chcecie wyznaczyć pole koła wpisanego w kwadrat o boku równym 2 (pole to co do wartości jest równe liczbie pi). W tym celu wyznaczamy wewnątrz kwadratu dużo losowych punktów. Następnie zliczamy te punkty, które wpadają do wnętrza koła. Stosunek liczby punktów leżących w kole do liczby wylosowanych punktów daje przybliżenie liczby pi.

50. Przykład losowania punktów w metodzie Monte-Carlo Poniżej znajduje się przykład. Wylosowano 10 punktów, z czego 3 znalazły się poza kołem. Widać z tego, że przybliżenie  wyniosło , co jest dość odległe od prawdziwego przybliżenia liczby pi, ale pokazuje ideę- im więcej punktów, tym bliższe prawdziwej wartości liczby pi. r