Disusun Oleh: Novi Mega S

1. Matematika Diskrit Disusun Oleh:Novi Mega S

2. Apa itu Himpunan? • Himpunan (set) adalah kumpulan obyek-obyektidakurut (unordered) atauberbeda • Obyekdalamhimpunandisebutelemen,unsuratauanggota (member) • Himpunan yang tidakberisiobyekdisebuthimpunankosong (empty set) • Universal set berisisemuaobyek yang sedangdibahas • Contoh : • S = { a, e, i, o, u } • U = himpunansemuahuruf • HMIF adalahcontohsebuahhimpunan, di dalamnyaberisianggotaberupamahasiswa. Tiapmahasiswaberbedasatusama lain. • Satusethuruf (besardankecil)

3. satu set huruf besar dan kecil

4. Cara penyajian himpunan 1. Enumerasi • Contoh 1. • -  Himpunanempatbilanganaslipertama: A = {1, 2, 3, 4}.       • -  Himpunan lima bilangangenappositifpertama: B = {4, 6, 8, 10}.             • -  C = {kucing, a, Amir, 10, paku} • -  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } • -  C  = {a, {a}, {{a}} } • -  K  = { {} }                                                                                                • -  Himpunan 100 buahbilanganaslipertama: {1, 2, ..., 100 }     • -  Himpunanbilanganbulatditulissebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.                                                                                   • Keanggotaan • xA : xmerupakananggotahimpunanA; • xA : xbukanmerupakananggotahimpunanA.

5. Contoh 2. • Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } • K = {{}} • maka • 3 A • 5 B • {a, b, c} R • cR • {} K • {} R • Contoh 3.BilaP1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka • aP1 • aP2 • P1P2 • P1P3 • P2P3

6. 2.Simbol-simbol baku • P = himpunanbilanganbulatpositif = { 1, 2, 3, ... } • N = himpunanbilanganalami (natural) = { 1, 2, ... } • Z = himpunanbilanganbulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } • Q = himpunanbilanganrasional • R = himpunanbilanganriil • C = himpunanbilangankompleks • Himpunanyang universal: semesta, disimbolkandengan U. • Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} danAadalahhimpunanbagiandari U, denganA = {1, 3, 5}.

7. 3, NotasiPembentukHimpunan • . Notasipembentukhimpunan: denganmenuliskanciri-ciriumumatausifat-sifatumum (role) darianggota. Contoh : • A = {x|xadalahhimpunanbilanganbulat} • ContohsoalNotasiHimpunandanAnggotahimpunan • Nyatakanhimpunanberikutdenganmenggunakantandakurungkurawal. • a. A adalahhimpunanbilangancacahkurangdari 6. • b. P adalahhimpunanhuruf-hurufvokal. • c. Q adalahhimpunantigabinatangbuas. • Penyelesaian: • a. A adalahhimpunanbilangancacahkurangdari 6. Anggotahimpunanbilangancacahkurangdari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. • b. P adalahhimpunanhuruf-hurufvokal. Anggotahimpunanhuruf-hurufvokaladalah a, e, i, o, dan u, sehinggaditulis P = {a, e, i, o, u}. • c. Q adalahhimpunantigabinatangbuas. Anggotahimpunanbinatangbuasantara lain harimau, singa, danserigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.

8. Diagram Venn • Salah satu cara merepresentasikan himpunan S a e u i o

9. Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} danB = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:

10. Kardinalitasdarihimpunan • Jikasuatuhimpunanmemiliki n buahanggota yang berlainan, n ∈ N, kitamenyebut S sebagaihimpunanberhinggadengankardinalitas n. • Contoh: • A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3 • B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} |B| = 4 • C = { } |C| = 0 • D = { x ∈ N | x ≤ 7000 } |D| = 7001 • E = { x ∈ N | x ≥ 7000 } |E| tak berhingga!

11. Himpunankosong(null set) • Himpunan{apel, jeruk, mangga, pisang} memilikianggota-anggotaapel, jeruk, mangga, danpisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memilikiduaanggota, yaitubilangan 5 dan 6. Kita bolehmendefinisikansebuahhimpunan yang tidakmemilikianggotaapa pun. Himpunaninidisebutsebagaihimpunankosong. • Himpunankosongtidakmemilikianggotaapa pun, ditulissebagai:

12. HimpunanBagian Aturan-aturanygberlaku: •   A untuksebaranghimpunan A • A  A untuksebaranghimpunan A HimpunanBagianSejati (proper subset): A  B “A adalahhimp. bagiansejatidari B” A  B  x (xA  xB)  x (xB  xA) atau A  B  x (xA  xB)  x (xB  xA)

13. HimpunanBagian (Subset)

17. KesamaanHimpunan • Himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jikakeduanyamemilikielemen yang tepatsama. • Contoh : • A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} → A = B • A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, kuda, • tupai, anjing} → A ≠ B • A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, Kuda, • anjing} → A = B

18. Contoh-contohHimpunan Himpunan “Standard” : BilanganCacahN = {0, 1, 2, 3, …} BilanganBulat Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Bil. BulatPositif Z+ = {1, 2, 3, 4, …} Bil. Riil R = {47.3, -12, π, …} Bil. Rasional Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …} (definisiygtepatakandibahaskemudian)

19. Contoh-contohHimpunan A = ∅ “himpunankosong/himp. nol” A = {z} Catatan: z∈A, tapi z ≠ {z} A = {{b, c}, {c, x, d}} A = {{x, y}} Catatan: {x, y} ∈A, tapi {x, y} ≠ {{x, y}} A = {x | P(x)} “himpunan semua x sedemikian hingga P(x)” A = {x | x∈N ∧ x > 7} = {8, 9, 10, …} “notasipembentukhimpunan”

20. Himpunan yang Ekivalen

21. HimpunanSalingLepas

22. HimpunanKuasa (Power Set) 2Aatau P(A) “power setdari A” 2A = {B | B  A} (mengandungsemuahimpunan bagiandari A) Contoh: (1) A = {x, y, z} 2A = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} (2) A =  2A = {} Catatan : |A| = 0, |2A| = 1

23. HimpunanKuasa (Power Set) Kardinalitasdari power set : | 2A | = 2|A| • Bayangkansetiapelemendidalam A memilikisaklar “ON/OFF” • Setiapkonfigurasi yang mungkindarisaklardidalam A berkorespondensidengansatuelemendidalam 2A • Untuk A yang memiliki 3 elemen, terdapat 222 = 8 elemen didalam 2A

24. Perkalian Kartesian Suatu n-tupel berurutan (ordered n-tuple) (a1, a2, a3, …, an) adalah sebuah koleksi berurut dari objek-objek. Dua buah n-tupel berurut (a1, a2, a3, …, an) dan (b1, b2, b3, …, bn) disebut sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen-elemen yang tepat sama dalam urutan yang juga sama, yakni, ai = bi untuk 1  i  n. [jika n=2, disebut sbg pasangan berurut) Perkalian Kartesian dari dua himpunan didefinisikan sebagai : AB = {(a, b) | aA  bB} Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c}AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}

25. Perkalian Kartesian Perhatikan bahwa: A =  A =  Untuk himpunan A dan B yg tidak kosong: AB  AB  BA |AB| = |A||B| Perkalian Kartesian dari dua himpunan atau lebih didefinisikan sebagai: A1A2…An = {(a1, a2, …, an) | aiAi for 1  i  n}

26. Operasi terhadap himpunan Penggabungan/ Union: AB = {x | xA  xB} Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d} AB = {a, b, c, d} Irisan/Intersection: AB = {x | xA  xB} Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d} AB = {b}

27. Operasi terhadap himpunan Dua buah himpunan disebut disjoint jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong: AB =  Perbedaan (pengurangan) antara dua himpunan, A dan B, adalah suatu himpunan yang memiliki elemen-elemen didalam A yang bukan elemen B: A-B = {x | xA  xB}Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d}, A-B = {a}

28. Operasi terhadap himpunan Komplemendarihimpunan A adalahhimpunan yang mengandungsemuaelemendalamsemestapembicaraan yang tidakada di dalam A : A = U - A Contoh:U = N, B = {250, 251, 252, …} B = {0, 1, 2, …, 248, 249} _ _

29. Operasi terhadap himpunan Bagaimana membuktikan A(BC) = (AB)(AC)? Cara I: xA(BC) xA  x(BC) xA  (xB  xC) (xA  xB)  (xA  xC) (hukum distributif untuk logika matematika) x(AB)  x(AC) x(AB)(AC)

30. Operasi terhadap himpunan Cara II:Menggunakan tabel keanggotaan 1 berarti “x adalah anggota dari himpunan ini”0 berarti “x adalah bukan anggota dari himpunan ini”

31. Operasi terhadap himpunan Dari contoh-contoh yang diberikan, maka dapat kita simpulkan bahwa: Setiap ekspresi logis dapat ditransformasikan ke dalam ekspresi ekivalen dalam teori himpunan dan begitu pula sebaliknya. 31

32. A B OperasiHimpunan a. Irisan (intersection) Irisandarihimpunan A dan B adalahhimpunan yang setiapelemennyamerupakanelemendarihimpunan A danhimpunan B Notasi : A  B = {x | x  A dan x  B }

33. A B Operasi Himpunan b. Gabungan (union) Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B Notasi : A  B = {x | x  A atau x  B }

34. B A Operasi Himpunan c. Komplemen Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang merupakan elemen S yang bukan elemen A Notasi: A’ = {x | x  S dan x  A } = S – A

35. A B Operasi Himpunan d. Selisih Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B Notasi: A - B = {x | x  A dan x  B } = A  B’

36. A B Operasi Himpunan e. PerbedaanSimetris (Symmetric Difference) symmetric difference darihimpunan A dan B adalahsuatuhimpunan yang elemennyaadapadahimpunan A atau B, tetapitidakpadakeduanya Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A - B)  (B - A)

37. Operasi Himpunan f. Perkalian Cartesian (cartesian products) cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B Notasi: A x B = { (a,b) | a  A, b  B} Contoh: A = {1,2,3} B = {a,b} A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

38. Operasi Himpunan Catatan: a. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka n(A x B) = n(A).n(B) b. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a) c. A x B  B x A

39. Teorema Aljabar Himpunan Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut: 1. Hukum asosiatif (associative law) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) 2. Hukum komutatif (commutative law) A  B = B  A, A  B = B  A, A  B = B  A 3. Hukum distributif (distributive law) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

40. Teorema Aljabar Himpunan 4. Hukum identitas (identity law) A  = A, A  S = A 5. Hukum komplemen (complement law) A  A’ = S, A  A’ =  6. Hukum idempoten (idempotent law) A  A = A, A  A = A 7. Hukum ikatan (bound law) A  S = S, A  = 

41. Teorema Aljabar Himpunan 8. Hukumpenyerapan (absorption law) A  (A  B) = A, A  (A  B) = A 9. Hukuminvolusi (involution law) A’’ = A 10. Hukum 0/1(1/0 law) ’ = S, S’ =  11. Hukum De Morgan untukhimpunan (De Morgan’s laws for sets) (A  B)’ = A’  B’, (A  B)’ = A’  B’

42. Himpunan hingga dan perhitungan anggota 1. Jika A  B =  maka n(A  B) = n(A) + n(B) 2. Jika A B dan A B adalah hingga makan (A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 3. Perluasan (2) dengan 3 himpunan A,B, dan Cn (A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

43. Metode pembuktian untuk pernyataan tentang himpunan 1. Diagram Venn Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B! 2. Hukum-hukum aljabar himpunan Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B! Bukti: A  (B – A) = A  (B  A’) (definisi operasi selisih) = (A  B)  (A  A’) (hukum distributif) = (A  B)  S (hukum komplemen) = A  B (hukum identitas) 3. Definisi Sebagai contoh, A dan B himpunan. Misalkan A  B =  dan A  (B  C). Buktikan bahwa A  C!

44. Metode pembuktian untuk pernyataan tentang himpunan Bukti: (i) Dari definisi himpunan bagian, P  Q jika setiap x  P juga  Q. Misalkan x  A. Karena A  (B  C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga  (B  C). Dari definisi operasi gabungan (), x  (B  C) berarti x  B atau x  C (ii) Karena x  A dan A  B = , maka x  B Dari (i) dan (ii), x  C harus benar. Karena x  A juga berlaku x  C, maka dapat disimpulkan A  C

45. Misalkan A = himpunansemuamobilbuatandalamnegeri B = himpunansemuamobilimpordariJepang C = himpunansemuamobil yang dibuatsebelumthn 1990 D = himpunansemuamobil yang nilaijualnyakurangdariRp 100 juta E = himpunanmobilmahasiswa STMI Nyatakandalamnotasihimpunan: a. mobilmahasiswa STMI yang produksidalamnegeriataudiimpordariJepang b. semuamobilproduksidalamnegeri yang dibuatsebelumtahun 1990 yang nilaijualnyakurangdariRp 100 juta c. semuamobilimporbuatansetelahtahun 1990 mempunyainilaijuallebihdariRp 100 juta

46. Ketika dilakukan survey hewan peliharaan pada 10 rumah, didapat data sebagai berikut: 6 rumah memelihara anjing 4 rumah memelihara kucing 2 rumah tidak memiliki hewan peliharaan Tentukan berapa rumah yang tidak memiliki hewan peliharaan anjing dan kucing! • Tentukan banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5

47. Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar himpunan, buktikan bahwa: a. (A  B)  (A  B’) = A b. A  (A  B)’ = A  B’

48. PerampatanOperasiHimpunan

50. Hukum-hukum Himpunan • Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan • Disebut juga hukum aljabar himpunan