第 9 章 波动

1. 第9章 波动

2. 振动在空间的传播过程称为波动。波 动可以分为两大类：一类是机械波，它是由机械振动在弹性介质中传播而形成的，如绳波、声波；另一类是电磁波，它是交变电磁场在空间传播而形成的，如无线电波、光波等。本章以平面简谐波为主，研究的是机械波的特征及其基本规律。 电磁波 机械波

3. 波源振动 介质 介质传播 介质传播 介质 9.1 机械波的产生和传播 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1）波源；2）弹性介质. 机械波 由近到远 通过质点间弹性力作用.

4. 横波与纵波 横波：各质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ） • 特征：具有交替出现的波峰和波谷. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播） • 特征：具有交替出现的密部和疏部.

5. 1. 波线——沿波传播方向的有向线段。它代表波的传播方向。 波面 波前 波线 (a) 平面波 (b) 球面波 图9-1 波前、波面和波线 2. 波面——振动相位相同的点所构成的曲面，又称波阵面。 球面波——波面为球面。 平面波——波面为平面。 3. 波前——初相位传到的各点所构成的曲面，又称波前。 对各向同性介质，波线与波面垂直。

6. 波长 ： 沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个波长. • 周期 ： • 频率 ： • 波速 ： - y A A O 波前进一个波长的距离所需要的时间. 单位时间内波动所传播的完整波的数目. 振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速。

7. 波的T（or ） =介质中各质点振动的T（or ） = 波源振动的T（or ） 通过波速 联系起来 --表示波在空间的周期性 注意 --表示波在时间上的周期性 波的周期T：振动传过一个波长所需的时间。 ●波的周期(频率)只决定于波源的振动周期! ●波速只决定于媒质的性质！

8. 例9-1 在室温下，已知空气中的声速为 ，水中的声速 。求频率分别为200HZ和2000HZ的声波，在空气中和水中的波长各为多少？ 解 由 得 当 和 的声波在空气中的波长分别为 在水中的波长为 由此可见，同一频率的声波，在水中的波长比在空气中的波长要长得多。

9. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9.2 波动方程 • 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. • 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。

10. 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 y随时间变化的关系 。 • 波函数： 振动方程的建立 已知点O的振动方程，波速沿x轴正向， 求任意点p的方程 (即波函数)

11. 设点O的振动传到P点所需时间为 t， 换言之：P点在t时刻的振动与O点在早些时刻t - t 时刻的振动相同, 因p点任意： 简谐波方程 ►上式即沿x轴正向传播的波函数

12. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ② ③ 角波数 ►沿x轴负向传播的波函数

13. y---t 图 1.当 （常数）时， 波函数的物理意义 ●此时,波函数表示距点O为xo的质点的振动方程。 振动图象

14. 2.当 C （常数）时， ●此时,波函数表示to时刻波线上所有质点(x不同)的位移(y值)分布情况 y—x图 ---即t0时刻波形.

15. 3 若 均变化， 时刻 时刻 O 波函数表示波形的运动情况（行波）. 波动的相位差与波程差之间的关系 波形传播速度. ● 经过多少个周期时间,波形(沿传播方向)前进了多少个波长的距离.

16. 例9-2 超声波清洗器向水中发出的超声波的表达式为 试求： (1) 波的振幅与频率； (2) 超声波在水中的波速和波长； (3) 距波源为0.20m与0.24m的两质元的相位差。 解 采用比较法。将本题给出的波动方程与式（9-3b）相比较： (1) 相应地有 ; ; 所以，波的振幅与频率分别为 (2) 超声波在水中的波长为 将以上 和 的值代入式（9-1b），可得水中的波速为

17. 图9-6 例9-3图 (3) 设 ， ，两质元的相位差为 上式中，负号说明 处质元的相位比 处质元的相位落后 。 例9-3 如图9-6所示，一横波在弦上以速度 沿 轴正方向传播。已知弦 A上质元的振动方程为 (1) 写出波动方程。 (2) 写出质元B点的振动方程。 (3) 画出 时的波形图。

18. 解 (1) 已知质元A的振动方程为 采用比较法，可知 ，即波频为 已知 ，于是波长为 据题意，波沿 轴正方向传播，故位于坐标原点O的质元要比质元A的相位超前，它们之间的相位差为 于是，位于坐标原点O的质元的振动方程为 （1） 据波动方程式（9-3a），所求的波动方程为 （2） (2) 将 代入波动方程，可得B点的振动方程为

19. （3） (3) 将已解得的 代入，可得 将 值代入方程（2），可得时刻的波形方程为 所以，可作出 时的波形图如图9-7所示。

20. 图9-7 时刻的波形 另外，亦可以这样考虑：波动时，位于 的任意质元的振动相位落后与A处的相位为 。从而直接可从 导出波动方程。请读者自行练习。

21. 9.3 波的能量 波动本质：能量的传播过程。 波函数 距坐标原点 x 处取一质元 dV=Sdx， 其质量为 质元振动速度 • 质元的动能 • 质元的势能 （可证，质元势能和动能形式一致）

22. 波动能量特点 ●质元的机械能 ●动(势)能 (1)体积元的动能和势能具有相同的相位，在平衡位置 处，其动能都达到最大值，而在最大位移处又为零。 (2)体积元的机械能不是常量，能量以波的形式在介质中传播。换言之，波动是传递能量的一种方式。 (3)尽管体积元的机械能不守恒，但能量密度在一个周期内的平均值却是常量。这表明，体积元不断从后面的介质获得能量，又不断把能量传给前面的介质，所以，平均来说，介质中无能量积累。

23. 能流密度( 波的强度) : 通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流. S udt 能流密度 • 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. • 平均能流：能流在一个周期内的平均值. 单位：J•s-1•m-2 ， W •m-2

24. (a) 球面波 (b) 平面波 图9-9 用惠更斯原理求波前 1. 惠更斯原理 荷兰物理学家惠更斯为了解释波的传播图像和新波前的形成，于1690年提出：介质中波动传播到的各点，都可视为发射子波的波源；在其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前。这一规律称为惠更斯原理。 利用惠更斯原理可以很方便地从某一时刻的波前去确定其后任一时刻的新波前。如图9-9所示，设某一波在均匀的、各向同性的介质中传播，为某一时刻的波前，根据惠更斯原理，上的各点都可视为发射波的波源。如果以上各点为球心，以为半径作一些半球形子波，那么这些子波的包络面就是时刻的新波前。 9.4 波的衍射和干涉

25. 2. 波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播，这种现象称为波的衍射。机械波和电磁波都会产生衍射现象。衍射现象是波动的重要特征之一。 衍射现象明显与否是和障碍物（缝、遮板等）的大小与波长之比有关的。若障碍物的宽度远大于波长，衍射现象不明显；若障碍物的宽度与波长差不多，衍射现象就比较明显。

26. 波的干涉 波的叠加原理 1. 波的叠加原理——在相遇区域内任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 2. 波的独立作用原理——几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰地各自独立传播。

27. 1）频率相同； * 2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定. 两列频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象. • 波的相干条件 • (合)振动加强和减弱的条件 设两相干波源S1和S2激发的相干波分别为： 源 S1 源 S2 在P点相遇, P点距S1为r1 ,距S2为r2 ,求P点振动情况：

28. * P点参与的两个分振动为 P点实际振动为这两个同方向同频率简谐振动的合振动． 由１４章知：合振动仍为同方向同频率的简谐振动． （合）振幅 初相位 波程差

29. 1 ) 波程差 振动加强条件 在　　　　时，当相位差是2π的整数倍（波程差为半波长的偶数倍）时，干涉加强。 讨 论 若

30. 例9-3 如图9-13所示，相干波源 的振动方程为 ，相干波源 的振动方程 。 和 发出的横波在点P相遇，P点与 点相距0.4m，与 点相距0.45m。已知波速为 。试求： 图9-13例9-3图 (1) 两列波传到P点的相位差； (2) 在P点合振动的振幅。 解 (1) 两列波同方向、同频率，它们的频率和波长分别为 两列波在P点引起分振动的相位差由式（9-14）确定，将有关数值代入，可得相位差为 (2) 由式（9-15），可得两列波在P点合振动的振幅为

31. 图9-14 例9-4图 例9-4 如图9-14所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的介质中传播，在分界面上的P点相遇。已知相干波源 和 的振动方程分别为 和 两列波在介质和介质中的波速分别为 和 ，波源 和 到P点的距离分别为 和 。试求点合振动的振幅 解 据题意，两列波在P点形成的分振动具有以下形式 所以，在P点的两个分振动的相位差为 由此可见，两列波在P点是相干加强的，故P点合振动的振幅为

32. 驻 波 驻 波 的 形 成

33. 2 5 7 1 3 4 6 驻波的产生 驻波：振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象. t=0 t=T/4 t=3T/4 t=T/2 特点：在波线上不同的点振幅不同，有的点振幅始终最大，有的点振幅始终最小。 波节——振幅为零（静止不动）的点。 波腹——振幅最大的点。

34. 正向 负向 各质点都在作同频率的简谐运动 驻波的振幅与位置有关 驻波方程

35. t=0 波节 t=T/2 驻波方程 合成波振幅是 波节——振幅始终为 0（静止不动）的位置。 波节的位置 相邻波节间距

36. 波腹 波腹——振幅始终最大的位置。 t=0 t=T/2 波腹的位置 相邻波腹间距

37. 入 反 半波损失 反射点 1 反射波与入射波相遇,在相遇区会形成驻波。 B 接音叉 实验现象： ►B为固定端： 反射点B处为驻波波节． 表明在反射点B处反射波与入射波干涉相消， 即在B点处反射波与入射波有 的位相差． 这种现象叫相位跃变， 由 在B点处反射波与入射波出现了半个波长的波程差． ►B为自由端： 反射点B处为驻波波腹． 表明在反射点B处反射波与入射波干涉加强， 即在B点处反射波与入射波的位相差为零．

38. 分界面 有半波损失 波密 波疏 无半波损失 媒质１ 媒质２ 波疏 波密 在两种媒质分界面处反射时形成波节或波腹的条件。 定义： 波阻(ρu)较大的媒质称为波密媒质； 波阻(ρu)较小的媒质称为波疏媒质. ►当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，分界面处有半波损失，此处形成驻波波节。 结论： ►当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，分界面处出现波腹。

39. 驻波的能量 当弦上各质元达到各自的最大位移时，驻波的能量具有势能的形式，基本集中于波节附近。 当弦线上各质元同时回到平衡位置时驻波的能量具有动能的形式，基本上集中于波腹附近。 驻波不传播能量，这是驻波和行波的又一区别。 注意

40. 基波 , , 第一谐波 , ,第二谐波 （ ） 弦的振动 图9-16 两端固定的弦上的驻波

41. 9.6 多普勒效应 • 波速是指波相对于介质的速度，只与介质的性质有关，与波源或观察者是否相对于介质运动是无关的。 • (2) 波源的频率是波源在单位时间内振动的次数，或单位时间内发出完整波的数目。 • (3) 观察者接收的频率是观察者在单位时间内接收到振动的次数，或在单位时间内接收到的完整波的数目。

42. 1. 声源不动，观察者相对于介质以速度 运动 如图9-17所示 观察者接受到的频率为 如果观察者远离静止波源运动时，通过类似分析，可求得观察者接收到的频率为 即观察者接受到的频率低于波源频率 图9-17 观察者向着静止的声源运动 图9-18 声源向着静止的观察者运动

43. 2. 观察者不动，声源相对于介质以速度运动 观察者在单位时间内接收到的完整波的个数为 如图9-18所示 如果波源远离静止观察者运动时，通过类似分析，可求得观察者接收到的频率为 3. 波源与观察者同时相对介质运动 综合以上两种情况，可得当波源与观察者同时相对运时， 观察者所接收到的频率为 注意 应当指出，当声源和观察者相对于介质的运动不沿它们的连线的方向时， 和 系指沿连线方向的速度分量。

44. 例9-5 利用多普勒效应可监测汽车的速度。为简单起见，设监测器与汽车在一直线上，监测器发出频率 的超声波，当汽车迎面驶来时，监测器接收到从汽车反射回来的超声波频率 。已知空气中声速 ，试求汽车行驶的速度 。 解 首先考虑汽车接收超声波的频率。这时，监测器作为波源是静止的，而汽车作为观察者是接近的，故按式（9-26a），汽车接受到的波频为 （1） 然而考虑监测器接收反射回来超声波的频率。这时，作为观察者的监测器是静止的，而作为波源的汽车迎面驶来，故据式（9-27a），监测器接受到波频为 （2） 由式（2），可得汽车的车速为