1 / 18

RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM

RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM.

jetta
Download Presentation

RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM Sistemi linearnih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima i početnim uvjetima mogu se jednostavno rješavati primjenom Laplace-ove transformacije. Praktičnost postupka je vrlo velika tako da se teorija automatizacije linearnih sustava se u cijelosti zasniva na primjeni Lapla-ceove transformacije. Osnovna prednost postupka je u tome što se matematičke operacije derivacije i integracije funkcije zamjenjuju sa operacijama množenja i dijeljenja koje su nižeg ranga. Svojstvo linearnosti transformacije omogućuje jednostavnu primjenu za određivanje transformacija linearnih kombinacija izraza koji uključuju funkcije, njihove derivacije i integrale. Određivanje samih transformacija svodi se na čitanje transformacija iz Laplaceovih tablica.

  2. Postupak rješavanja diferencijalnih jednadžbi može se prikazati slikom: čitamo L. tablicu čitamo L. tablicu

  3. Laplaceova transformacija derivacije funkcije Laplaceova varijabla = kompleksan broj Odrediti ćemo pravila za izračunavanje transformacije derivacija funkcija ako je poznata transformacij same funkcije. Dakle zadatak glasi: ako je poznato Lf(s) = F(s) kako glasi L Laplaceova transformacija funkcije f(t) definirana je integralom:

  4. Dakle Laplaceova transformacija prve derivacije funkcije jednaka je produktu Laplaceove varijable i transformacije funkcije minus početna vrijednost funkcije. Primjenimo pravilo parcijalne integracije:

  5. Transformaciju druge derivacije funkcije L( f''(t) ) možemo formalno izvesti primjenivši dva puta pravilo za transformi-ranje prve derivacije: Isto tako bi dobili pravilo za transformaciju treće derivacije funkcije

  6. Kada se izvode prijenosne funkcije na osnovu diferencijalnih jednadžbi onda se prema definiciji prijenosne funkcije pretpostavlja da je početno stanje jednako nula, t.j. da je sustav u mirovanju. U tom slučaju je formula za Laplaceovu transformaciju n-tederivacije funkcije vrlo jednostavna:

  7. Laplaceova transformacija integrala funkcije Želimo odrediti relaciju između Laplaceove transformacije integrala fun-kcije i transformacije same funkcije, dakle interesira nas transformacija ako nam je poznata funkcija Ponovo primjenimo pravilo o parcijalnoj integraciji

  8. Analogijom izvodimo relaciju za transformaciju višestrukog integrala

  9. Primjer 1. L(1) Odredite Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = 1. L(1 ) = ?

  10. Primjer 2. Odredite Laplaceovu transformaciju funkcije Napomena: Provjerite rezultat usporedbom s Tablicom 1

  11. Primjer 3. Odredite Laplaceovu transformaciju funkcije Napomena: upotrebite svojstva linearnosti (Tablice 1) i transformacije iz Tablice 2 Prvo primjenimo linearnost: L( - 4 +3,5 t )=L ( - 4 ) + L( 3,5 t ) =- 4L ( 1 ) + 3,5 L ( t ) a zatim očitamo transformacije iz Tablice 2. :

  12. Primjer 4. Nađite inverznu Laplaceovu Transformaciju funkcije: Prvo primjenimo svojstvo linearnosti inverzne Laplaceove transformacije: zatim upotrebimo Tablicu 2. :

  13. Primjer 5. Riješite diferencijalnu jednadžbu upotrebom Laplaceove transformacije: uz početni uvjet y(0) = 4. Prvo se poslužimo svojstvom linearnosti transformacije: Označimo s Y(s) Laplaceovu transformaciju traženog rješenja Y(s)=Ly(t) Sada primjenimo pravilo za transformaciju derivacije funkcije:

  14. i uvrstimo u transformiranu diferencijalnu jednadžbu: dobili smo algebarsku jednadžbu koja ima rješenje: To je rješenje zadane diferencijalne jednadžbe u Laplaceovom području i moramo primjeniti inverznu transformaciju da dobijemo rješenje u " vremskom području ", odnosno kao funkciju varijable t

  15. Preuređivanjem izraza svodimo ih na oblike koje nalazimo u Tablici 2. gdje smo primjenili izraz (5) iz Tablice 2. Drugi član rješenja je:

  16. U Tablici 2. u retku (15) nalazimo isti izraz uz vrijednosti parametara a = 0 i b = - 3/2 : Konačno rješenje dobijemo zbrajanjem dviju funkcija, tako da je:

  17. Primjer 6. Odredite prijenosnu funkciju sistema drugog reda zadanog sa slijedećom diferencijalnom jednadžbom: Prema definiciji prijenosna funkcija je:

  18. Primjenimo Laplaceovu transformaciju na diferencijalnu jednadžbu: Određivanjem omjera dobijemo prijenosnu funkciju: Vježba: Odredite prijenosnu funkciju sustava 1 reda

More Related