La geometria: un lungo percorso

1. La geometria: un lungo percorso Quale geometria nella scuola italiana?

2. Un duplice ruolo • Geometria come strumento fondamentale per organizzare la conoscenza della realtà • è la scienza che ci permette di strutturare la nostra esperienza dello spazio (forme, relazioni tra oggetti, misure....)

3. ma anche: • Il modello per eccellenza di organizzazione razionale di un corpus di conoscenze da sempre la geometria euclidea è la palestra in cui si allenano le menti dei giovani nella civilità occidentale

4. ci aspettiamo quindi che la geometria dia strumenti, e che la geometria formi il pensiero

5. La geometria nella scuola superiore Nei programmi (e nella prassi) attuali, la Geometria è presente sostanzialmente con tre grossi nuclei: • a) la geometria euclidea, talvolta collegata o affiancata dalla geometria delle trasformazioni • b) la geometria analitica • c) la trigonometria. Sopravvivono inoltre alcuni “fossili” come la geometria dei solidi dell’ex Istituto Magistrale.

6. Manca lo spazio.... • La geometria euclidea di fatto rappresenta un modo per sviluppare una teoria (esemplare) strutturata in modo logico-deduttivo: il suo scopo non è dunque direttamente quello di educare al pensiero geometrico e di sviluppare la capacità di conoscere lo spazio e operare in esso, quanto quello di educare al pensiero logico. • La geometria analitica, per contro, fondamentalmente punta all’analisi matematica: l’aspetto geometrico è presente solo come strumento di visualizzazione. • La trigonometria così come viene presentata nei libri raggiunge livelli di tecnicismo di calcolo paurosi, con scarsi riferimenti alle motivazioni della disciplina. • In conclusione, sembra di poter dire che “il pensiero spaziale” è quasi completamente assente nel panorama della scuola secondaria italiana; non vengono sviluppate specifiche abilità spaziali (quello che viene esercitato, di fatto, è la logica o il calcolo).

7. Nelle scuole medie, di fatto La situazione è piuttosto di confusione. I libri comprendono molti capitoli di geometria, concentrati soprattutto su due nuclei: • misurazione di aree e poligoni, • trasformazioni geometriche, con qualche accenno al calcolo dei volumi. Gli argomenti di geometria sono in genere scollegati tra di loro e con il resto del curricolo (chi ha mai risolto un problema di calcolo di aree utilizzando considerazioni sulle simmetrie o le trasformazioni geoemtriche?); gli esercizi sono soprattutto esercizi di calcoloin contesto geometrico piuttosto che veri “problemi geometrici”.

8. Gli obiettivi • Come sempre, occorre partire dagli obiettivi. • Perché insegnare la geometria?

9. a) E’ importante per la formazione del cittadino. E questo almeno per tre ordini di motivi: • a.1) permette di organizzare la nostra visione dello spazio e il nostro modo di agire nello spazio • a.2) fornisce una strada per l’apprendimento del ragionamento, prima e più rapidamente di altre discipline • a.3) ha una ruolo negli ambiti culturale ed estetico della nostra società • b) E’ cruciale nella formazione dei quadri tecnici e scientifici

10. Due tipologie di studenti • Dunque dobbiamo pensare ad un insegnamento della geometria che si rivolga sia a chi continuerà gli studi (in particolare quello tecnico-scientifici) che al cittadino comune.

11. Vedere lo spazio, organizzare lo spazio, muoversi nello spazio • a) La capacità di leggere e orgamizzare razionalmente lo spazio è sicuramente la parte della geometria più trascurata nella scuola italiani di oggi, in tutti gli ordini scolastici. Come invertire la tendenza e svilupparla in maniera organica? • Queste capacità si intrecciano con altre nozioni matematiche, come quella di scala, e con l’uso opportuno di strumenti di calcolo che vengonno appresi solo col procedere negli studi (alcuni solo nella scuola superiore).

12. Occorre prevedere nella scuola di base dello spazio per la costruzione di abilità quali leggere e costuire mappe, rappresentare sul piano oggetti tridimensionali, calcolare distanze, eventualmente utilizzando adeguati software (tipo CAD).

13. Imparare a ragionare • perchè da 2500 anni si impara a ragionare lavorando sulla geometria di Euclide? E’ vero che in tutti i rami della matematica facciamo dimostrazioni, e anche in altre discipline; però la geometria ci permette due cose: • i) di farlo in maniera sistematica • ii) di unire il ragionamento, l’intuizione e la capacità di costruzione, collegandoli materialmente attraverso le “figure”.

14. Vale la pena di sottolineare che il ragionamento geometrico non si riduce, in generale, all’apprendimento meccanico delle dimostrazioni e dei loro passaggi logici. Coinvolge l’intuizione, la capacità di muovere mentalmente le figure, la costruzione di elementi nelle figure; porta a confrontare continuamente gli oggetti mentali con le loro rappresentazioni

15. La geometria analitica • Sembra importante introdurre l’idea di piano cartesiano prima possibile • e ridurre i tecnicismi della geometria analitica delle superiori

16. Le Raccomandazioni per la geometria(riforma Moratti) • “Questo tema costituisce un ambito particolarmente privilegiato di riflessione e razionalizzazione, svolto a partire dalle esperienze spaziali che sono componente essenziale della nostra percezione fisica” • E’ davvero così nella nostra scuola?

17. Un cammino in tre tappe: 1 “ Il processo di “evoluzione continua” dal concreto all’astratto ... si arricchisce, nel caso della Geometria, di ulteriori esempi e specificazioni. Nella prospettiva di tale evoluzione l’insegnante curerà prima di tutto, attraverso molteplici esempi, l’osservazione e manipolazione di oggetti fisici opportuni, che con il loro aspetto possono ispirare l’intuizione successiva di specifici enti geometrici.”

18. Un cammino in tre tappe:2 “Con un ulteriore processo di astrazione e generalizzazione si potrà poi passare dagli oggetti fisici concreti ad una loro modellizzazione schematica astratta, che rappresenta una prima forma di razionalizzazione: sono tali le rappresentazioni grafiche del disegno o la costruzione materiale di modellini concreti. Si giunge in tal modo alla intuizione dell’idea di figura geometrica.”

19. La terza tappa, nella scuola media “Il passo successivo si realizzerà poi (alla fine della Scuola Primaria e nella successiva Scuola Secondaria di I grado) raggiungendo la definizione razionale, astratta e rigorosa, di figura geometrica. Questa si fonda sulla caratterizzazione razionale dell’oggetto geometrico indagato, basata su certe sue opportune proprietà rigorosamente individuate.”

20. Un commento • A fronte di questo cammino molto chiaro, un insieme di contenuti ancora molto frammentario

21. I contenuti dei programmi (biennio) • Le Figure Piane: • Ripresa complessiva della Geometria solida e piana della Scuola Primaria. • Approfondimento dell’analisi delle figure piane • Elementi significativi e proprietà caratteristiche di triangoli e di quadrilateri. • Poligoni concavi e convessi. • Poligoni regolari, cerchio e circonferenza. • Classificare figure solide e piane: classificarle in base a diversi tipi di proprietà.

22. Le trasformazioni geometriche: il concetto di “uguale rispetto a” e di invariante. • Nozione intuitiva di trasformazione geometrica. • Le isometrie: traslazioni, rotazioni, simmetrie. • Analisi in contesti concreti di trasformazioni non isometriche. • Esplorare figure per riconoscere invarianti rispetto a trasformazioni geometriche assegnate. • Riconoscere trasformazioni isometriche di figure date. • Individuare, tramite modelli materiali, gli elementi caratterizzanti le isometrie. • Costruire figure isometriche secondo richiesta. Utilizzare le trasformazioni per osservare, classificare ed argomentare proprietà delle figure

23. Misure: • Rapporti tra grandezze geometriche • Concetto di contorno e di superficie. • Calcolo di perimetri ed aree di alcune figure piane. • Riconoscere grandezze proporzionali in vari contesti; riprodurre in scala. Calcolare aree e perimetri di figure piane relative a contesti concreti e anche come parti di solidi.

24. Alcuni classici La similitudine Teoremi di Pitagora e di Euclide. • Riconoscere figure simili in vari contesti. • Identificare gli invarianti di una similitudine. • Costruire figure simili dato il rapporto di similitudine.

25. Introduzione al concetto di sistema di riferimento: le coordinate cartesiane, il piano cartesiano. • Rappresentare sul piano cartesiano punti, segmenti, figure. • Rappresentare sul piano cartesiano alcune relazioni direttamente ed inversamente proporzionali.

26. Le grandezze geometriche. Il sistema internazionale di misura Misurare grandezze geometriche.  Esprimere, rappresentare ed interpretare i risultati di misure di grandezze. Valutare la significatività delle cifre del risultato di una data misura

27. Per la terza: competenze • Composizione di isometrie. • Problemi di misura: la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio. • Significato di  e cenni storici ad esso relativi. • Ripresa dei solidi e calcolo dei volumi dei principali solidi ( cubo, parallelepipedo, piramide, cono, cilindro, sfera).

28. Per la terza: abilità • Risolvere semplici problemi sul calcolo di superfici e di volumi di figure piane o solide. Risolvere problemi usando proprietà geometriche delle figure anche ricorrendo a modelli materiali e a semplici deduzioni • Calcolare lunghezze di circonferenze, e aree di cerchi