Eliminasi Gauss

1. Eliminasi Gauss Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

2. Persamaan Linier • Bentuk umum Persamaan Linier: Keterangan: a1, a2, ..., an disebut koefisien x1, x2, ..., xn disebut anu (unknown) b disebut suku konstan Perhatian: Pangkat anu hanya 1, tidak ada perkalian antar anu, anu tidak muncul sebagai argumen dari fungsi Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

3. Solusi Persamaan Linier Sehimpunan bilangan terurut yang jika disubtitusikan kedalam Persamaan Linier, bernilai valid Contoh: 2x – 3 y + z = 5 {x=1, y=2, z=9} solusi tetapi {x=9, y=1, z=2} bukan solusi Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

4. Sistem Persamaan Linier (SPL) Sehimpunan Persamaan Linier yang menjadi satu kesatuan SPL dengan n anu dan m persamaan Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

5. Solusi Sistem Persamaan Linier solusi setiap persamaan linier yang terdapat dalam Sistem Persamaan Linier tersebut Contoh: {x=2, y=-9} solusi {x=0, y=-5} bukan solusi Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

6. Tiga Kemungkinan Solusi SPL • Solusi Tunggal • Solusi Tak Hingga banyaknya • Tak ada solusi berpotongan pada satu titik  solusi tunggal berhimpit=berpotongan pada tak hingga banyaknya titik  solusi tak hingga banyaknya sejajar=tak berpotongan pada satu titik pun  tak ada solusi Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

7. Istilah2 dalam SPL • konsisten : Sistem Persamaan Linier mempunyai solusi • tak konsisten : Sistem Persamaan Liniertak mempunyai solusi • Jika suku konstan bernilai nol semua disebut SPL Homogen Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

8. Tantangan • Manakah dari persamaan dibawah ini yang merupakan persamaan linier? • 2x + 4y – 3z = 1 • –3xy – 2y + 5z = 2 • (sin 2)x + e-3y + 20z = 3 • 3x + 2x2 – 5x5 = 8 • –x1+ 2x2 – 2x3 + x4 – 5x5 = 0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

9. Tantangan • Manakah yang menjadi solusi persamaan linier: 2x + 3y – z = -1 • {x=0, y=-1, z=3} • {x=1, y=2, z=9} • {x=2, y=1, z=5} • {x=-1, y=0, z=-1} • {t, sRx=t, y=s, z=1 + 2t +3s} Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

10. Tantangan • Manakah dari sehimpunan persamaan di bawah ini yang merupakan sistem persamaan linier? Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

11. Sistem Persamaan Linier ke Matrik = A X = B Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

12. Matrik Lengkap (Augmented Matrix) Gabungan matrik A dan B membentuk matrik lengkap (augmented matrix) [A:B] atau Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

13. Eselon Baris Tereduksi • Pada setiap baris, bilangan tak nol pertama, adalah satu. Satu ini disebut satu utama • Jika ada baris nol diletakkan pada baris paling bawah • Letak satu utama pada baris yang lebih bawah, akan terletak lebih ke kanan • Pada satu kolom, jika terdapat satu utama, maka entri yang lain bernilai nol Jika hanya memenuhi 1, 2, dan 3 saja, disebut matrik eselon baris Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

14. Tantangan Manakah yang merupakan matriks eselon baris tereduksi Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

15. Subtitusi Mundur Dengan mengembalikan ke bentuk persamaan linier didapat: Sehingga solusinya adalah: Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

16. Subtitusi Mundur Subtitusi x3 dan x4 x2 = 2 + x3 x1 = 2 – 2(2 + x3) – 5x3 = -2 –7x3 Karena x3 sebarang bilangan riil, maka x3 = t Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

17. Tantangan • Tentukan solusi SPL yang mempunyai matrik eselon baris (tereduksi) berikut: Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

18. Operasi Baris Elementer (OBE) • Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol(bic bi), c0 • Menukar tempat dua baris(bi bj) • Menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain(bi bi + kbj), k0 Ketiga operasi baris elementer ini tidak mengubah solusi dari SPL Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

19. Eliminasi Gauss(-Jordan) Matrik Eselon Baris Tereduksi Matrik Eselon Baris Matrik Lengkap SPL OB E OBE Eliminasi Gauss Subtitusi Mundur Eliminasi Gauss-Jordan Solusi SPL Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

20. Contoh (1/ 4) Tentukan solusi dari SPL disamping Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

21. Contoh (2/ 4) Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

22. Contoh (3/ 4) Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

23. Contoh (4/ 4) Sampai di sini telah didapat matrik eselon baris tereduksi. Solusi didapat dengan mengembalikan matrik eselon baris tereduksi menjadi SPL dan dilakukan subtitusi mundur karena x5 dapat bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter bilangan riil, misalkan t, Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

24. Tantangan 1 • Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari solusi Sistem Persamaan Linier berikut: Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

25. Tantangan 2 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

26. SPL Homogen Matrik lengkap SPL homogen selalu konsisten, minimal mempunyai solusi nol , yang disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi yang lain, disebut solusi tak trivial Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

27. Contoh (1/ 2) Tentukan solusi SPL Homogen disamping Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

28. Contoh (2/ 2) karena x2 dan x4 bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter, misalkan, x2=t dan x4=s, sehingga solusi SPL homogen tersebut: Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

29. Sifat SPL Homogen Sistem Persamaan Linier Homogen selalu mempunyai solusi tak trivial, jika banyaknya anu lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

30. Tantangan 1 • d. • e. • Jika matrik lengkap SPL homogen (suku konstan dihilangkan) dinyatakan di bawah ini, tentukan solusinya: Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

31. Tantangan 2 • Tentukan solusi SPL Homogen berikut: • Tentukan , sehingga SPL homogen mempunyai solusi tak trivial Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

32. Tantangan 3 • Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan nilai ,  dan  , dengan syarat 0 , , 2. • Tentukan nilai a, sehingga Sistem Persamaan Linier berikut mempunyai: solusi tunggal, solusi tak hingga banyaknya, ataupun tidak mempunyai solusi. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

33. Tantangan 4 • Tentukan k, sehingga Sistem Persamaan Linier Homogen berikut mempunyai solusi tak trivial • Tentukan syarat bagi a dan b agar Sistem Persamaan Linier : memiliki solusi tunggal, memiliki solusi jamak atau tidak memiliki solusi. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

34. Tantangan 5 • Tentukan syarat untuk  sehingga SPL homogen di bawah ini mempunyai solusi trivial: • Diberikan SPL di bawah ini, tentukan nilai a, b, dan c, jika SPL mempunyai solusi tunggal: {x = 1, y=-1, z = 2} Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id

35. Tantangan 5 • Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan solusi sistem persamaan linier berikut: Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ac.id