Exemple en dynamique de population

1. Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise : Exemple en dynamique de population Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ?

2. Exemple en dynamique de populaiton Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? t grand Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?

3. donc Diagonalisation d’une matrice : exemple Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise

4. Diagonalisation d’une matrice : exemple L’équation vérifiée par une structure en âge stable est M N = l N M N - l N = 0 (M – l I) N = 0 Si det non nul alors une solution unique Si det = 0 (matrice non inversible) : soit 0 solution, soit une infinité Or N = 0 est forcement solution, donc si on veut des solutions N non nul, il faut que det (M – l I) =0

5. “valeur propre” “vecteur propre” Diagonalisation d’une matrice : exemple det (M – l I) =0 On a deux valeurs possibles : l = 2 et l = -1

6. “vecteur propre” Diagonalisation d’une matrice : exemple On a deux valeurs possibles : l = 2 et l = -1 “valeur propre”

7. Diagonalisation d’une matrice : exemple Réponse à la question Q1 :Que devient cette population à long terme ? On écrit le vecteur N0 dans la base des vecteurs propres N1 et N2 associés aux deux valeurs propres l1 = 2 et l2 = -1 : N0 = a N1 + b N2 Avec M N1 = l1 N1 etM N2 = l2 N2

8. t grand Diagonalisation d’une matrice : exemple Que devient cette population à long terme ? l1 = 2 , l2 = -1 La plus grande des deux valeurs propres (en valeur absolue) est le taux d’accroissement de la population : la population augmente si ce taux est >1

9. Diagonalisation d’une matrice : exemple Réponse à la question Q2 :Structure en âge stable ? si la population double chaque année (l = 2) alors la structure en âge tend à se stabiliser au bout d’un certain temps : il y a 4 fois plus d’individus de 1 an que d’individus de 2 ans. (L’autre valeur, l = -1, n’a pas de signification biologique) Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT

10. Diagonalisation d’une matriceRéduction des endomorphismes • Généralités • Une application en génétique

11. Un exemple en génétique Une espèce autogame diploïde • Auto-fécondation • Un gène bi-allélique Aa, AA ou aa • Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population à long terme ? Cf. Problème 3.3 en TT

12. Les équations

13. Objectif On peut associer une application linéaire à la matrice A : f Trouver une base telle que la matrice de f devienne diagonale : (P matrice de passage) On dit alors que f est diagonalisable

14. (V est la matrice colonne des coordonnées du vecteur ) Vecteurs et valeurs propres Théorème f : E-> E est diagonalisablesi/si il existe une base de E formée de vecteurs propres.

15. 1. Recherche des valeurs propres Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :

16. Retour à l’exemple en génétique

17. 2. Recherche des vecteurs propres Théorème f est diagonalisablesi/si pour chaque valeur propre li de multiplicité ai , on a dim El = ai .

18. Suite de l’exemple A est “diagonalisable”

19. 3. Diagonaliser Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

20. Calculer Ak On a D = P-1AP, quelquesrappels :

21. l1 = 1 l1 = 1/2 Rq2 Conclusion de l’exemple

22. Conclusion biologique de l’exemple Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r (aa) à long terme : quand k tend vers l’infini ? Problème 4.2 en TT

23. La plus grande des valeurs propres Application en génétique et application en dynamique de population EX en dynamique de population :l1 est le taux d’accroissement et les vect.p. {ni} représentent la structure en âge de la population, à long terme. EX en génétique (ou le blé) :l1 = 1 et les vect.p. représentent les fréquences, à long terme.

24. Produit scalaire et orthogonalité MathSV chapitre 5

25. L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle : Le produit scalaire canonique

26. Norme

27. Normalisation

28. La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale : Orthogonalité (Exercice : verifier que la base canonique de IR2 est orthonormée)

29. Projecteur orthogonal Le vecteur projeté de sur est le vecteur :

30. Distance euclidienne