Probabilidad condicional, marginal y conjunta. Independencia de eventos. Probabilidad total y Teorema de Bayes .

1. Probabilidad condicional, marginal y conjunta. Independencia de eventos. Probabilidad total y Teorema de Bayes. Bernardo Frontana de la Cruz Marco Antonio Gómez Ramírez Enero de 2012.

2. PROBABILIDAD CONDICIONAL Como su nombre lo indica se trata de determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori) dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A dado B o probabilidad de A condicionada a B. S En la probabilidad condicional, consideramos que de un espacio muestral S se conoce únicamente el evento B, que constituye un espacio muestral reducido. B Se desea saber la posibilidad de que exista el evento A.

3. Como únicamente conocemos el evento B, la probabilidad de que exista A está dada por la posible intersección del evento A con el evento B. A Por lo tanto la expresión para la probabilidad condicional quedaría P(A|B)=n(A∩B)/n(B),donde n(A∩B) es el número de elementos en la intersección de A con B y n(B) es el número de elementos en el evento B. S B Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s) que es el número de elementos en el espacio muestral y aplicamos el concepto de probabilidad, tenemos: P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B).

4. De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la probabilidad del evento condición o del evento que se presenta primero . De manera similar se puede pedir la probabilidad del evento B dado que ya ocurrió el evento A P(B|A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del evento condición o del que se presenta primero . Ejemplo: Al arrojar dos dados resultan caras iguales, ¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho? Identificamos los eventos dentro del espacio muestral: A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5), (5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión P(B|A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3=0.333 .

5. PROBABILIDAD CONJUNTA Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos. De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades. P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B. Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila. ⅓ A2 A S P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)= P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9 Auxiliándonos de un diagrama de árbol. ⅓ A1 ⅔ S2 A S ⅓ A2 S1 ⅔ A S ⅔ S2

6. PROBABILIDAD MARGINAL Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo. En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:

7. Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135. Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n Considérese que únicamente nos interesa conocer la probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1, P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74Se observa que el subíndice correspondiente al evento B permanece constante en la suma del numerador n11+n21. .

8. Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier evento Bj puede calcularse P(Bj)=Ʃi=1nnij/ns, pero Ʃi=1nnij/ns=Ʃi=1nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1nP(Ai∩Bj). En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual a la suma de probabilidades conjuntas del evento Bjy los eventos Ai, la suma se realiza sobre los eventos Ai. También se puede determinar la probabilidad marginal de cualquier evento Ai: P(Ai)=Ʃj=1nP(Ai∩Bj), en este caso la suma se realiza sobre los eventos Bj. Se puede demostrar que la suma de probabilidades marginales de los eventos Ai, o de los eventos Bj, es igual a uno, como se demuestra a continuación: P(B1)=100/135=0.74 y P(B2)=35/135=0.26 Por lo tanto Ʃi=12P(Ai)=1 P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1 P(A1)=55/135=0.4075 y P(A2)=80/135=0.5925 Por lo tanto Ʃi=12P(Ai)=1 P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1

9. PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES Regresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B). Si los eventos A y B son independientes entre sí, esto significa que la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad condicional sería igual a la probabilidad de ocurra cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B). Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta, tenemos P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean eventos independientes entre sí y se le denomina Ley de multiplicación de eventos independientes.

10. Ejemplo: En una Olimpiada compiten tres arqueros para la final, la probabilidad de que den en el blanco son 1/2, 1/3 y 1/6. Si la final se define con un solo tiro por arquero. Calcular la probabilidad de que: a) Sólo uno de en el blanco, b) los dos primeros den en el blanco y el tercero no y c) Ninguno da en el blanco. Solución: a) Si i=1, 2, 3 es el orden de los tiros al blanco, se establecen los siguientes eventos: A={Sólo un arquero da en el blanco},Ai={El arquero Ai da en el blanco} y Aic={El arquero Aic no da en el blanco}. P(A)=P[(A1∩A2c∩A3c)U(A1c∩A2∩A3c)U(A1c∩A2c∩A3)] = P(A1)P(A2c)P(A3c)+P(A1c)P(A2)P(A3c)+P(A1c)P(A2c)P(A3) P(A)=(1/2)(2/3)(5/6)+(1/2)(1/3)(5/6)+(1/2)(2/3)(1/6)=0.4722 b) B={el primero y el segundo arqueros dan en el blanco y el tercero falla} P(B)=P(A1∩A2∩A3c)=P(A1)P(A2)P(A3c) P(B)=(1/2)(1/3)(5/6)=5/36=0.1388

11. c) B={El primero, el segundo y el tercer arqueros fallan} P(C)=P[(A1c ∩A2c ∩A3c)=P(A1c)P(A2c)P(A3c)=(1/2)(2/3)(5/8) P(C)=10/36=0.277 PROBABILIDAD TOTAL Consideremos un eventos B y un conjuntos de eventos Aique son mutuamente excluyentes entre si, Ai∩Aj=ϕ,i≠j,es decir, si tomamos dos eventosAidiferentes su intersección es el evento vacío, además los eventosAison exhaustivos, Ui=1nAi=S, la unión de todos ellos cubre el espacio de eventos, como se muestra en la figura. A4 ……………………….…………. An-1 A1 B A2 A3 An

12. Para conocer el evento B a través de los eventos Ai,se tiene: B=(A1∩B)U(A2∩B)U(A3∩B)…..U(An-1∩B)U(An∩B),la unión de las intersecciones del evento B con los eventos Ai, en forma implícita B=Ui=1nAi∩B. Si aplicamos el concepto de probabilidad a ambos miembros de la igualdad se tiene: P(B)=Ʃi=1nP(Ai∩B); que recibe el nombre de probabilidad total del evento B. TEOREMA DE BAYES Considerando P(Ai)como la probabilidada priori de los eventos Ai,y se requiere conocer una probabilidad a posteriori de cada uno de ellos, dado que ya conocemos el evento B, Akrepresenta a cualquiera de los eventosAi. P(Ak|B)=P(Ak∩B)/P(B), como P(Ak∩B)=P(Ak)P(B|Ak) y la probabilidad total de B es P(B)=Ʃi=1nP(Ai∩B), tenemos: P(Ak|B)=[P(Ak)P(B|Ak)]/[Ʃi=1nP(Ai)P(B|Ai)]

13. Esta última expresión se conoce como Teorema de Bayes, que establece la probabilidad de un evento particular Akde los eventos Ai, dado que ya sucedió el evento B, expresada en términos de probabilidad condicional. Ejemplo: En una escuela el 5% de los hombres y el 2% de las mujeres tienen más de 1.8m de estatura. Además el 60% de los estudiantes son mujeres. Se selecciona al azar un estudiante para que realice una determinada función en el comité de seguridad del plantel, ¿Qué probabilidad hay de que: a) sea estudiante con estatura mayor de 1.8m? b) ¿sea mujer dado que tiene una estatura mayor de 1.8m? Solución: Se define los eventos A1={estudiante mujer}, A2={estudiante hombre} y B={estatura mayor a 1.8m} Datos:P(A1)=0.6, P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.02 y P(B|A2)=0.05.

14. Auxiliándonos de un diagrama de Venn A1 A2 A1∩B A2∩B B a) Probabilidad total de B, P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B), P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6(0.02)+0.4(0.05)=0.032 b) Aplicando el Teorema de Bayes: P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=0.6(0.02)/0.032=0.375