正弦型函数 y= A Sin(  x+  )+B 图像与正弦函数 y=sinx 图像之间的关系 --- 伸缩与平移变换规律探析制片人：平阴三中王信岭

正弦型函数y=ASin(x+  )+B图像与正弦函数y=sinx图像之间的关系 ---伸缩与平移变换规律探析制片人：平阴三中王信岭

现在研究正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx的图像的关系：现在研究正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx的图像的关系：（1）y=Asinx与y=sinx图象的关系（2）y=sinωx与y=sinx图象的关系（3）y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系

例1、作函数y=2sinx及的简图 x 0 π 2π sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 y sinx 0 0 0 2 1 2π π x 0 -1 -2 1、振幅变换：y=Asinx与y=sinx图象的关系描点作图解：列表思考：以上三个函数的图像之间有什么关系呢?

归纳比较 函数与y=sinx的图象的关系各点纵坐标伸长为原来的2倍 y=2sinx (横坐标不变) y= sinx 各点纵坐标缩短为原来的倍 (横坐标不变) 1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的A倍 y=Asinx （A>0且A≠1) 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍 (横坐标不变) 注：y=Asinx，振幅是A; x∈R的值域［-A,A］，最大值是A，最小值是-A。

例2、作函数y=sin2x及的简图 函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π x 0 π 2x π 2π 0 0 1 0 -1 sin2x 0 y 1 4π 2π 3π π 0 x -1 y=sin2x y=sinx 2、周期变换：y=sinωx与y=sinx图象的关系解：思考：我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图, 列表关系？描点作图：

函数y＝sin x，x∈R的周期T＝＝ 4π y 1 4π 2π 3π x 0 π 2π 3π 4π π 0 x -1 x sin x 0 1 0 -1 0 0 π 2π y=sinx 我们画［0，4π］上的简图，思考：列表关系？描点作图：

归纳比较 1.ω>1时,各点横坐标缩短为原来的倍 2.0<ω<1时,各点横坐标伸长为原来的倍注: ①ω决定函数的周期T= ,它引起横向伸缩(可简记为:小伸大缩). 函数与y=sinx的图象的关系 y=sin2x 各点横坐标缩短为原来的倍 (纵坐标不变) 各点横坐标伸长为原来的2倍 y=sin (纵坐标不变) y=sinωx （ω>0且ω≠1) (纵坐标不变)

一般地，函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时 ）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的　倍（纵坐标不变）而得到的。结论: 1、振幅变换：y=Asinx与y=sinx图象的关系一般地，函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx， x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。 2、周期变换：y=sinωx与y=sinx图象的关系

巩固练习 • 1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象（） • A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 • C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 • 2. 要得到函数 y=sin3x的图象，只需将 y=sinx 图象（） • A. 横坐标扩大原来的3倍 • B.纵坐标扩大到原来的3倍 • C.纵坐标缩小原来的1/3倍 • D.横坐标缩小到原来的1/3倍 D D

例 3 画出函数 并与正弦函数y=sinx的图像作一比较，有什么规律？

y 1 0 x -1

归纳比较 函数与y=sinx的图象的关系 (各点)沿x轴方向向左平移个单位 y=sin(x+ ) y=sin(x- ) (各点)沿x轴方向向右平移个单位 1.当φ>0时,各点沿x轴方向向左平移|φ|个单位 y=sin(x+φ) (φ≠0) 2.当φ<0时,各点沿x轴方向向右平移|φ|个单位注:φ引起图象的左右平移，它改变图象的位置,不改变图象的形状.这种变换叫做相位变换.

y=sin（2x- ） （1）将y=sin2x的图象向右平移，则所得图象解析式为（2）将y=sin( x+ )的图象经过变换可得y=sin x的图象向右平移个单位把函数y=sin(2x+ )的图象向右平移个单位，再将横坐标缩小到原来的，则其解析式为（）（A）y=sin4x （B）y=sin(4x+ ) （C）y=sinx （D）y=sin(4x+ ) 练习一：练习二： A

C • 3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（） A. 向左平移π/6个单 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 • 4. 要得到函数 y=sin（2x－π/3）的图象,只需将y=sin2x图象（） • A. 向左平移π/3 个单位 • B. 向右平移π/3个单位 • C. 向左平移π/ 6个单位 • D. 向右平移π/6 个单位 D

反馈练习 返回 1、要得到函数y=3sin(2x-π/4)个单位，只需将函数y=3sin2x的图象上的点（） (A) 向右平移π/4个单位 (B) 向左平移π/4个单位 (C) 向右平移π/8个单位(D) 向左平移π/8个单位 2、要得到函数y=sin5x的图象，只要把函数y=sin(5x+ 1 /2)的图象上所有的点（） A 向左平移π/10个单位 B向右平移1/10个单位 C 向左平移π/2个单位 D向右平移1/2个单位

y y=3sin(2x+) 3 ，，，， (2) 描点： o x -3 由图可以看出，它是怎样由y=sinx的图像变化而来？略解：（3）连线：（4）根据周期性将作出的简图左右扩展。

方法1:先平移后伸缩演示 y y=3sin(2x+)③ 3 2 y=sinx 1 o x -１ y=sin(x+)① -2 y=sin(2x +)② -3  2

y y=3sin(2x+)③ 3 2 y=sinx 1 o x -１ -2 -3 方法2:先伸缩后平移演示  2 y=sin2x①

其余方法演示 …. y 3 2 y=sinx 1 o x -１ -2 -3 你能根据图像说明此种变化过程吗？ y=3sin2x② y=3sinx①  2

p 5 y 3 sin 2 x 例、说出函数＝（＋）的图像是怎样由 6 函数y=sinx的图像变化而来？方法一、平移伸缩变换注意：在横线上面填写变化条件。方法二、伸缩平移变换

思考?

（1）向左( >0)或向右( <0) 函数 y=Sinx y=Sin(x+  ) 的图象平移|  |个单位（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到 y=Sin( x+  ) 的图象原来的倍，（纵坐标不变）（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=ASin(x+  )的图象到原来的A倍（横坐标不变）方法1:先平移后再伸缩规律：请快速用笔抄下来！

(1)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到 函数 y=Sinxy=Sin  x 的图象原来的倍，纵坐标不变（2）向左( >0)或向右( <0) y=Sin( x+) 的图象平移| |个单位（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) y=ASin(x+  )的图象或缩短(0<A<1)到原来的A倍方法2:先伸缩后再平移规律：请快速用笔抄下来！

反馈练习 返回 1、要得到函数y=4sin2x的图象，只需将函数y=4sin(2x-π/3)图象上所有的点向平移个单位。 2、要得到函数y=-4sin2x的图象，只需将函数y=4sin(2x-π/3)图象上所有的点向 ----平移个单位。

课堂小结: 1.y=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0)中,A叫振幅,φ叫初相.B是平衡轴的标志，A和ω的变化引起______变换,φ和B的变化引起______变换. 伸缩平移规律：横向变换可简记为:左加右减,小伸大缩；纵向变换可简记为：上加下减，大神小缩

2、由正弦函数y=sinx图像变化到y=Asin(ωx+φ)+B的图象可以有多种途径，但主要有三种变化：相位变换（左右平移）；周期变换（横坐标伸缩）；振幅变换（纵坐标伸缩）关键是横坐标的伸缩变化与平移变化的先后次序，要注意当先伸缩再平移时应平移个单位，即应该先把---- 提出来；上下平移由B决定。

正弦型函数 y= A Sin(  x+  )+B 图像与正弦函数 y=sinx 图像之间的关系 --- 伸缩与平移变换规律探析制片人：平阴三中王信岭