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正弦型函数 y= A Sin(  x+  )+B 图像 与正弦函数 y=sinx 图像之间的关系 --- 伸缩与平移变换规律探析 制片人 : 平阴三中 王信岭

正弦型函数 y= A Sin(  x+  )+B 图像 与正弦函数 y=sinx 图像之间的关系 --- 伸缩与平移变换规律探析 制片人 : 平阴三中 王信岭. 现在研究正弦型函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象与 y=sinx 的图像的关系:. ( 1 ) y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系. ( 2 ) y=sinωx 与 y=sinx 图象的关系. ( 3 ) y=sin(x+φ) 与 y=sinx 图象的关系. 例 1 、作函数 y=2sinx 及 的简图. x. 0. π. 2 π. sinx. 0.

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正弦型函数 y= A Sin(  x+  )+B 图像 与正弦函数 y=sinx 图像之间的关系 --- 伸缩与平移变换规律探析 制片人 : 平阴三中 王信岭

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Presentation Transcript


  1. 正弦型函数y=ASin(x+  )+B图像与正弦函数y=sinx图像之间的关系 ---伸缩与平移变换规律探析 制片人:平阴三中王信岭

  2. 现在研究正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx的图像的关系:现在研究正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx的图像的关系: (1)y=Asinx与y=sinx图象的关系 (2)y=sinωx与y=sinx图象的关系 (3)y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系

  3. 例1、作函数y=2sinx及 的简图 x 0 π 2π sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 y sinx 0 0 0 2 1 2π π x 0 -1 -2 1、振幅变换:y=Asinx与y=sinx图象的关系 描点作图 解: 列表 思考: 以上三个函数的图像之间有什么关系呢?

  4. 归纳比较 函数 与y=sinx的图象的关系 各点纵坐标伸长为原来的2倍 y=2sinx (横坐标不变) y= sinx 各点纵坐标缩短为原来的 倍 (横坐标不变) 1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的A倍 y=Asinx (A>0且A≠1) 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍 (横坐标不变) 注:y=Asinx,振幅是A; x∈R的值域[-A,A],最大值是A,最小值是-A。

  5. 例2、作函数y=sin2x及 的简图 函数y=sin2x,x∈R的周期T= =π x 0 π 2x π 2π 0 0 1 0 -1 sin2x 0 y 1 4π 2π 3π π 0 x -1 y=sin2x y=sinx 2、周期变换:y=sinωx与y=sinx图象的关系 解: 思考: 我们先画在[0,π]上的简图,在[0, ]上作图, 列表 关系 ? 描点作图:

  6. 函数y=sin x,x∈R的周期T= = 4π y 1 4π 2π 3π x 0 π 2π 3π 4π π 0 x -1 x sin x 0 1 0 -1 0 0 π 2π y=sinx 我们画[0,4π]上的简图, 思考: 列表 关系 ? 描点作图:

  7. 归纳比较 1.ω>1时,各点横坐标缩短为原来的 倍 2.0<ω<1时,各点横坐标伸长为原来的倍 注: ①ω决定函数的周期T= ,它引起横 向伸缩(可简记为:小伸大缩). 函数 与y=sinx的图象的关系 y=sin2x 各点横坐标缩短为原来的倍 (纵坐标不变) 各点横坐标伸长为原来的2倍 y=sin (纵坐标不变) y=sinωx (ω>0且ω≠1) (纵坐标不变)

  8. 一般地,函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时 )或伸长(当0<ω<1时 )到原来的  倍(纵坐标不变)而得到的。 结论: 1、振幅变换:y=Asinx与y=sinx图象的关系 一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。 2、周期变换:y=sinωx与y=sinx图象的关系

  9. 巩固练习 • 1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象,只需将 y= sinx 图象( ) • A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 • C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 • 2. 要得到函数 y=sin3x的图象,只需将 y=sinx 图象( ) • A. 横坐标扩大原来的3倍 • B.纵坐标扩大到原来的3倍 • C.纵坐标缩小原来的1/3倍 • D.横坐标缩小到原来的1/3倍 D D

  10. 例 3 画出函数 并与正弦函数y=sinx的 图像作一比较,有什么规律?

  11. y 1 0 x -1

  12. 归纳比较 函数 与y=sinx的图象的关系 (各点)沿x轴方向向左平移 个单位 y=sin(x+ ) y=sin(x- ) (各点)沿x轴方向向右平移 个单位 1.当φ>0时,各点沿x轴方向向左平移|φ|个单位 y=sin(x+φ) (φ≠0) 2.当φ<0时,各点沿x轴方向向右平移|φ|个单位 注:φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.这种变换叫做相位变换.

  13. y=sin(2x- ) (1)将y=sin2x的图象向右平移 ,则所得图象解析式为 (2)将y=sin( x+ )的图象经过 变换可得y=sin x的图象 向右平移 个单位 把函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,再将横坐标缩小到原来的 ,则其解析式为( ) (A)y=sin4x (B)y=sin(4x+ ) (C)y=sinx (D)y=sin(4x+ ) 练习一: 练习二: A

  14. C • 3. 要得到函数 y=sin(x + π/3)的图象, 只需将 y=sinx 图象( ) A. 向左平移π/6个单 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 • 4. 要得到函数 y=sin(2x-π/3)的图象,只需将y=sin2x图象( ) • A. 向左平移π/3 个单位 • B. 向右平移π/3个单位 • C. 向左平移π/ 6个单位 • D. 向右平移π/6 个单位 D

  15. 反馈练习 返回 1、要得到函数y=3sin(2x-π/4)个单位,只需将函数y=3sin2x的图象上的点( ) (A) 向右平移π/4个单位 (B) 向左平移π/4个单位 (C) 向右平移π/8个单位(D) 向左平移π/8个单位 2、要得到函数y=sin5x的图象,只要把函数y=sin(5x+ 1 /2)的图象上所有的点( ) A 向左平移π/10个单位 B向右平移1/10个单位 C 向左平移π/2个单位 D向右平移1/2个单位

  16. y y=3sin(2x+) 3 , , , , (2) 描点: o x -3 由图可以看出,它是怎样由y=sinx的图像变化而来? 略解: (3)连线: (4)根据周期性将作出的简图左右 扩展。

  17. 方法1:先平移后伸缩演示 y y=3sin(2x+)③ 3 2 y=sinx 1 o x -1 y=sin(x+)① -2 y=sin(2x +)② -3  2

  18. y y=3sin(2x+)③ 3 2 y=sinx 1 o x -1 -2 -3 方法2:先伸缩后平移演示  2 y=sin2x①

  19. 其余方法演示 …. y 3 2 y=sinx 1 o x -1 -2 -3 你能根据图像说明此种变化过程吗? y=3sin2x② y=3sinx①  2

  20. p 5 y 3 sin 2 x 例 、说出函数 = ( + )的图像是怎样由 6 函数y=sinx的图像变化而来? 方法一、平移伸缩变换 注意:在横线上面填写变化条件。 方法二、伸缩平移变换

  21. 思考?

  22. (1)向左( >0)或向右( <0) 函数 y=Sinx y=Sin(x+  ) 的图象 平移|  |个单位 (2)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到 y=Sin( x+  ) 的图象 原来的 倍,(纵坐标不变) (3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=ASin(x+  )的图象 到原来的A倍(横坐标不变) 方法1:先平移后再伸缩规律: 请快速用笔抄下来!

  23. (1)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到 函数 y=Sinxy=Sin  x 的图象 原来的 倍,纵坐标不变 (2)向左( >0)或向右( <0) y=Sin( x+) 的图象 平移| |个单位 (3)横坐标不变,纵坐标伸长(A>1) y=ASin(x+  )的图象 或缩短(0<A<1)到原来的A倍 方法2:先伸缩后再平移规律: 请快速用笔抄下来!

  24. 反馈练习 返回 1、要得到函数y=4sin2x的图象,只需将函数y=4sin(2x-π/3)图象上所有的点向平移个单位。 2、要得到函数y=-4sin2x的图象,只需将函数y=4sin(2x-π/3)图象上所有的点向 ----平移个单位。

  25. 课堂小结: 1.y=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0)中,A叫振幅,φ叫初相.B是平衡轴的标志,A和ω的变化引起______变换,φ和B的变化引起______变换. 伸缩 平移 规律:横向变换可简记为:左加右减,小伸大 缩;纵向变换可简记为:上加下减,大神小缩

  26. 2、由正弦函数y=sinx图像变化到y=Asin(ωx+φ)+B的图象可以有多种途径,但主要有三种变化:相位变换(左右平移);周期变换(横坐标伸缩);振幅变换(纵坐标伸缩)关键是横坐标的伸缩变化与平移变化的先后次序,要注意当先伸缩再平移时应平移个单位,即应该先把---- 提出来;上下平移由B决定。

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