F II F EI - 06 Elektromagnetická indukce

1. FIIFEI-06Elektromagnetická indukce http://stein.upce.cz/msfei13.html http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_06.ppt Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

2. Hlavní body • Elektromagnetismus • Úvod • Posunující se nebo rotující vodivá tyčka • Faradayův a Lenzův zákon • Princip elektromotoru • Foucaltovy proudy • Vlastní a vzájemná indukčnost

3. Úvod do elektromagnetismu. • Elektromagnetismus je disciplína, zabývající se vzájemným vztahemelektrických a magnetických jevů • Mnoho vědců se v historii tímto vztahem zabývalo. Když bylo známo, že elektrické proudyvytvářejí magnetické pole a interagují s ním, naskytla se přirozená otázka, zda také magnetické pole také produkuje pole elektrické. • Jednoduché pokusy selhávaly!

4. Faradayův pokus I • Michael Faraday (1791-1867) používal dvě cívky na jednom toroidálním jádru. Pomocí zdroje vytvářel proud v první cívce a na druhou měl připojen galvanometr. Pravděpodobně nebyl první, kdo zjistil, že galvanometrem netekl proud, ať bylo magnetické pole jakkoli silné.

5. Faradayův pokus II • Byl ale první kdo si všiml, že galvanometr ukazoval silnou výchylku při připojení zdroje a výchylku na druhou stranu, při jeho odpojení . • Správně došel k závěru, že galvanometr nereaguje pouze na přítomnostmagnetickéhopole, ale na jeho časové změny.

6. Jednoduchý pokus I • Jev elektromagnetické indukce můžeme ukázat ještě jednodušeji, pomocí permanentního magnetu a cívky s několika závity drátu, připojených k galvanometru. • Budeme-li vsouvat magnet do cívky, bude na galvanometru výchylka jedním směrem. Budeme-li jej vysouvat, směr výchylky bude opačný. Když magnetotočíme, bude orientace všech výchylek opačná.

7. Jednoduchý pokus II • Budeme-li v předchozím pokusu navíc sledovat orientaci magnetu a výchylek, zjistíme, že proud, vzniklý pohybem magnetu má takový směr, že magnetické pole, jím vytvořené, směřuje protizměnám, která ho vyvolala. • Můžeme si také všimnout, že permanentní magnet může zůstat v určité pevné vzdálenosti a pro vyvolání indukovaného proudu jej stačí naklonit.

8. Pohyblivá vodivátyč I • Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k magnetickým siločárám. Položme na ně dvě vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve druhé záporné. • Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné polarity pohybují při stejném směru proudu na opačnou stranu, bude síla působící na náboje rozdílné polarity a tedy i síla působící na obě tyčky stejná. Je to vlastně principelektromotoru.

9. Pohyblivá vodivá tyč II • Než uvedeme obecný zákon elektromagnetické indukce, je užitečné prozkoumat speciální případ vodivé tyčky délky L, pohybující se rychlostí vkolmo na siločáry homogenníhomagnetického pole o indukci B, které vycházejí z podložky. • Předpokládejme kladné volné nosiče náboje, které nemohou tyčku snadno opustit. Protože je nutíme pohybovat se v magnetickém poli, působí na ně Lorentzova síla.

10. Pohyblivá vodivá tyč III • Náboje jsou ale v rámci tyčky volné a proto se budou pohybovat ve směru síly a jeden konec tyčky se nabije kladně. • Na druhém konci bude kladný náboj scházet, takže se nabije záporně. • Objevuje se ale novéelektricképole a s ním i elektrická síla působící na náboj. Má vždy opačnouorientaci než síla Lorentzova.

11. Pohyblivá vodivá tyč IV • Při konstantních podmínkách bude rychle dosaženo rovnováhy, kdy výslednice sil působících na náboje bude nulová a nabíjení se tím pádem zastaví: qvB = qE = qU/L UE = BLv • Budou-li volné nosiče náboje opačné polarity, nic se makroskopicky nezmění! Nezáleží ani na velikosti jejich náboje.

12. Magnetický indukční tok I • Viděli jsme, že pohybvodiče v magnetickémpoli v něm vede k indukcinapětí, tzv. elektro-magnetickéindukci. • Jedná se o speciální případ, kdy dochází k časové změně magnetického indukčního toku nebo magnetickéhotoku.

13. Magnetický indukční tok II • Magnetickýindukčnítok je definován: Reprezentuje míru magnetické indukce , která proteče kolmo malým elementem plochy, která je popsána vektorem své vnější normály. • Skalárnímsoučinem je ošetřena kolmost.

14. Gaussova věta magnetismu • Celkový tok magnetické indukce procházející skrz libovolnou uzavřenou plochu je nulový. • Fyzikálně věta vyjadřuje skutečnost, že nelzeoddělitmagneticképóly a magnetické siločáry jsou vždy uzavřené. • Každá siločára, která protne libovolnouuzavřenouplochu ji musí na jiném místě protnout v opačném smyslu.

15. Faradayův zákon I • Elektromagnetickou indukci obecně popisuje Faradayův zákon, který říká, že velikost indukovaného elektromotorického napětí v určitém obvodu je rovna velikosti časové změny magnetického toku tímto obvodem: • Znaménko minus popisuje orientaci napětí, což popisuje zvláštní zákon (pravidlo).

16. Faradayův zákon II • Magnetický tok je skalární součin vektoru magnetické indukce a vektoru normály plošky. Principiálně se mohou v čase měnit nezávisletři veličiny: • B… například v transformátorech • S … například v příkladu s tyčkou • vzájemná poloha a… generátory

17. Lenzův zákon • Lenzůvzákon se zabývá orientací indukovaného elektromotorického napětí: • Indukované elektromotorické napětí vyvolá proud takového směru, že magnetické pole, jím vyvolané, působí protizměně magnetického toku, která ho vyvolala. • Není-li obvod uzavřen, můžeme si jeho uzavření, abychom určili směr proudu, představit.

18. Pohyblivá vodivá tyč V • Ilustrujme Lenzův zákon na předchozím příkladu vodivé tyčky, která se nyní bude pohybovat po dvou paralelních vodičích (kolejnicích)do prava. • Propojíme-li kolejnice vlevo, magnetický tokroste, protože se zvětšuje plocha, vymezená tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto případě musí téct proti směru hodinových ručiček, aby pole, které vytváří bylo orientovéno proti poli původnímu a kompenzoval se růst toku.

19. Pohyblivá vodivá tyč VI • Propojíme-li kolejnice vpravo, magnetický tokklesá, protože se zmenšuje plocha, vymezená tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto případě musí téct ve směru hodinových ručiček, aby pole, které vytváří bylo orientováno shodně s polem původním a kompenzoval se pokles toku. • Směr proudu vlastní tyčkou je v obou případech shodný a odpovídá předchozímu odvození.

20. Jednoduchý pokus III • Vraťme se k demonstraci s pevným magnetem a galvanometrem. • Z výchylky přístroje vidíme směr proudu, když se přibližujeme smyčce a když se vzdalujeme. Můžeme zjistit, který pól magnetu je severní a ověřit to v magnetickém poli Země.

21. Rotující vodivá tyč I • Vodivá tyč o délce L s úhlovou rychlostí  kolmo na siločáry homogenního magnetického pole o indukci B. Jaké je indukované napětí? • Tyč “kosí” siločáry, takže dochází ke změně magnetického toku a napětí je indukováno. Každý kousíček tyčky se však pohybuje s jinou rychlostí a napětí na něm bude jiné. Celkové napětí ale bude součtem napětí na jednotlivých kousíčcích a stačí tedy integrovat.

22. Pohyblivá vodivá tyč VII • Otázka : • Musíme konat práci abychom pohybovali vodivou tyčkou v magnetickém poli?

23. Pohyblivá vodivá tyč VIII • Odpověď: • Jen do ustavení rovnováhy, tedy polarizace náboje na tyčce. Potom již NE, protože po ustavení rovnováhy mezi elektrickými a magnetickými silami neteče žádný proud! • Když ale kolejnice přemostíme, např. Odporem, situace se mění. Proč?

24. Přenos energie • Elektromagnetická indukce je základemnejčastějšího způsobu výroby a přenosu elektrické energie. • Výhoda je, že elektrická energie je vyráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno a s malými ztrátami přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. • Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

25. Pohyblivá vodivá tyč IX • Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí UE = BLvnetečeproud. • Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali : F = BIL.

26. Pohyblivá vodivá tyč X • Když tyčkou pohybujeme a kolejnice propojíme tak, že celková rezistance obvodu bude R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I =UE/R. • V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BIlv = UI = RI2, který je tedy roven výkonu, jenž se na odporu Rzmění v teplo.

27. Překonávání momentu síly I • Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat momentsíly. • Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T

28. Překonávání momentu síly II • Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni momentsíly. • Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

29. Překonávání momentu síly III • Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = U/R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí  musíme dodatvýkon : P = T = BIL2/2 = UI = RI2, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

30. Princip elektromotoru I • Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích. • Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhovýproudI0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R : I0 = U/R.

31. Princip elektromotoru II • Jemu odpovídá jistá rozběhovásíla : F0=BLI0 = BLU/R • Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejnějako kdyby tyčkou pohyboval vnějšíčinitel, elektromotorickénapětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF).

32. Princip elektromotoru III • Za pohybubude celkovýproudsuperpozicípůvodního proudu a proudu způsobenéhoelektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky: I(v) = [U - UE(v)]/R = (U – vBL)/R • Síla působící na tyčku potom závisí právě na tomto celkovémproudu : F(v)=BLI(v)

33. Princip elektromotoru IV • Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu pohybovat zrychleně.S rostoucí rychlostí se ale zvětšujeindukované elektromotorické napětí, tím i protiproud a tedy se snižujecelkovýproud a tudíž i síla, působící na tyčku. • Děj vede k rovnováze, při které napětíindukované je rovnonapětízdroje. Zde mizíproud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně tzv. volnoběžnou rychlostí ve = U/BL.

34. Princip elektromotoru IV • Volnoběžnárychlost volné tyčky ve tedy závisí na napětí zdroje U. • Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou F  (0, F0) • S rostoucí zátěží proudlineárněporostearychlostbude lineárněklesat: I = F/BL v = (I0-I).R/BL

35. Princip elektromotoruV • Úpravou původního vztahu pro proud získáme zajímavou informaci o výkonech : I = I0– BvL/R BvL/R = I0– I rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIL Pm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz

36. Princip elektromotoruVI • MechanickývýkonPm = Fvnabývámaxima při síle F = F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých rovnoběžných hodnot. • Ohmický ztrátovývýkonPz = RI2rostekvadraticky s růstem zátěže i proudu. • VýkonzdrojeP, který je jejich součtem, rostelineárně. • Efektivita výkonu Pm/Plineárněklesá. • K obdobnýmzávěrům lze dojít i u elektromotorů otáčivých.

37. Princip elektromotoruVII • Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na maximálnímechanickývýkon: Jejich pracovníotáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovníproud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet. • Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálíse, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního.

38. Foucaultovy proudyI • Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole. • Je-li ale vodič třírozměrný a neníúplně ponořen nebo pole neníhomogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovyproudy.

39. Foucaultovy proudy II • Novým jevem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odporpohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodávánvýkon k jeho udržení.

40. Foucaultovy proudy III • Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrátvýkonu. • V případech, kde jsou ztráty naškodu musí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů. • Mohou ale být také využity, například k plynulémubrždění některých pohybů (třeba u magnetických vlaků).

41. Vlastní indukčnost I • Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické protinapětí, které má opačnou polaritu než napět budící. • Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativněstejně.

42. Vlastní indukčnost II • Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem. • Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měnímemagnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, vyvolávající proud jehož účinky působí proti změně, o níž se snažíme. • Chceme-li proud zvýšit, musíme konat práci, dokonce příslušnou rychlostí.

43. Vlastní indukčnost III • Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí. • Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: • geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru • rychlostizměny proudu • Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní)indukčnost(cívky)L.

44. Vlastní indukčnost IV • Potom zákon elektromagnetické indukce píšeme : • Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektricképole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili polemagnetické. • Cívky mají obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

45. Vlastní indukčnost V • Mějme dlouhý solenoid sNzávity. • Protéká-li jím jistý proud I, bude procházet jeho každým závitem stejný magnetický tok m1. • Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v každém závitu stejné elektromotorické napětí. Protože závity jsou vlastně zapojeny do série, bude celkové naindukované napětíNnásobek napětí v jednom závitu. • Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme předešlou definici indukčnosti.

46. Vlastní indukčnost VI • Jsou-li N a Lkonstantní, obdržíme jednoduchou integrací indukčnost: • Jednotkou magnetického toku je 1 weber 1 Wb = 1 Tm2 • Jednotkou indukčnosti je 1 henry 1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A

47. Vlastní indukčnost VII • Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí: • V elektronice a elektrotechnice se používají cívky, součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost.

48. Vzájemná indukčnost I • Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat prostřednictvím magnetickéhopole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností. • Jedná se o celkovýtok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé. • Mějme dvě cívky Ni, Ii naspolečném jadře nebo blízko sebe. • Budiž21tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1.

49. Vzájemná indukčnost II • Potom definujeme vzájemnou indukčnostM21jako celkový tok vevšechzávitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1: M21 = N221/I1  I1M21 = N221 • Indukované napětí ve2. cívcepřímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je : U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt • PoužitíM21má smysl, když se vzájemné působení cívek nemění v čase. Obecně závisí nageometrii oboucívek a vlastnostechprostředí mezi nimi.

50. Vzájemná indukčnost III • Lze dokázat, ževzájemná indukčnost obou cívek je stejnáM21 = M12 . • Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje napětí v cívce druhé, má řadu praktickýchaplikací. • Používá se například k napájeníkardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání. • Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.