UNIDAD IV MODELOS PROBABILÍSTICOS

1. UNIDAD IV MODELOS PROBABILÍSTICOS • “Conceptos básicos” M.A. Erika Straffon Del Castillo

2. REPRESENTACIÓN DE DATOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES A continuación se presentarán técnicas estadísticas diseñadas par transformar datos primarios en formas adecuadas para su estudio analítico en los modelos de la investigación de operaciones (IO). Desde el punto de vista del desarrollo de los modelos de IO, los datos de entrada pueden quedar dentro de una de dos amplias categorías: 1.- Determinística: en la que se supone que los datos se conocen con certeza. 2.- Probabilística: en el cual los datos presentan variaciones aleatorias. Los modelos de la IO que tratan con datos determinísticos generalmente son mucho más simples que aquellos que contienen datos probabilísticos. Desafortunadamente, en la realidad, la mayoría de las situaciones presentan variaciones aleatorias. Sin embargo, si el “grado” de aleatoriedad no es “severo”, será posible usar aproximaciones determinísticas de una manera adecuada.

3. Media y variancia de un conjunto de datos El primer paso para representar la naturaleza de un conjunto de datos primarios es calcular su media y su variancia. La media o el valor promedio es una representación de la tendencia central de los datos, en tanto que la variancia es una media de dispersión o de variación aleatoria alrededor del valor de la media. Básicamente, el valor de la media es lo que utilizaremos como representación de los datos si decidimos aproximarlo por medio de un valor constante (determinístico). Por otro lado, la variancia es una media del grado de incertidumbre, en el sentido que entre mayor sea el valor de la variancia, más inclinados estaremos a pensar que la variable es de carácter probabilístico. En la IO existen dos tipos variables estadísticas: 1.- Basada en la observación. 2.- Basadas en el tiempo.

4. Variable basada en observación n n S = Σ=1 (xi - x̅) = Σ =1 xi - n x̅ 2 2 2 i i n n x̅ = Σ=1 xi n x̅ = Σ=1 xi ti = A T T i i n - 1 n - 1 Se puede decir que una variable puede considerarse como (aproximadamente) determinística si su desviación estándar S (la raíz cuadrada de la variancia) es “razonablemente” pequeña en comparación con la media x̅ . En tal caso la variable supondrá el valor “determinístico” x̅ . Por otro lado, si la desviación estándar es demasiado grande como para ignorarse, debemos concluir que la variable xi se ha tomado de una población aleatoria. Variable basada en el tiempo n n 2 S = Σ=1 (xi - x̅) ti = Σ =1 xi ti - x̅ 2 2 i i 2 T T

5. Los histogramas de frecuencia es la forma más apta de resumir los datos primarios y se elaboran dividiendo el intervalo de los valores de los datos primarios en intervalos que no se traslapen. Dadas las fronteras del intervalo i(I i-1 , Ii), la frecuencia en el intervalo i –ésimo, se determina contando todos los valores de los datos primarios, x ,que quedan del intervalo I i-1 ≤ x ≤ I i. Las pruebas de bondad de ajuste, es la manera rápida de verificar si un conjunto de datos primarios se ajustan a una distribución teórica dada, es comparar, gráficamente, la distribución empírica acumulada con la correspondiente función de densidad acumulada de la distribución teórica propuesta. Si las dos funciones no muestran una desviación excesiva, existe una probabilidad de que la distribución teórica se ajuste a los datos.

6. PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON PERT- CPM Un proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido que alguna de ellas no pueden comenzar hasta que otras se hayan terminado. Una actividad es un proyecto, generalmente se ve como un trabajo que requiera tiempo y recursos para su terminación. Los métodos PERT-CPM están básicamente orientados en el tiempo, en el sentido que ambos llevan a la determinación de un programa de tiempo. Aunque los dos métodos fueron desarrollados casi independientemente, ambos son similares. Quizá la diferencia más importante es que originalmente las estimaciones en el tiempo para las actividades se supusieron determinantes en CPM y probables en PERT.

7. El PERT y CPM se denomina técnicas de “programación de proyectos”. Fases del PERT y CPM: 1.- Planeación: Descomponer el proyecto en actividades distintas. El diagrama de flechas es una representación gráfica de las interdependencias 2.- Programación: Se refiere a la construcción de un diagrama de tiempo que muestra los tiempos de iniciación y terminación de cada actividad. 3.- Control: Se refiere a la administración de proyectos y reportes periódicos del progreso. La red puede actualizarse y si es necesario determinar un nuevo programa.

8. Representaciones con diagrama de flechas (red) El diagrama de flechas representa las interdependencias y relaciones de precedencia entre las actividades del proyecto. Se utiliza comúnmente una flecha para representar una actividad, y la puna representa el avance del proyecto. Un evento representa un punto en el tiempo y significa la terminación de algunas actividades y el comienzo de nuevas. La longitud del arco no necesita ser proporcional a la duración de la actividad ni tiene que ser recta. La siguiente figura a) muestra un ejemplo de una representación común de una actividad (i , j) con su evento de inicio i y su evento terminal j . La figura b) indica las actividades (1,3) y (2,3) las cuales deben terminarse antes que pueda comenzar la actividad (3,4) Reglas para la construcción de diagramas de flecha Regla 1:Cada actividad está representada por una y sólo una flecha en la red. 1 b) a) i j 3 4 2

9. Regla 2: Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos terminal y de inicio. Regla 3: A fin de asegurar la relación de precedencia correcta en el diagrama de flechas, las siguientes preguntas deben responderse cuando se agrega cada actividad a la red: a).- ¿ Qué actividades deben terminarse inmediatamente antes de que esta actividad pueda comenzar? b).- ¿Qué actividades deben seguir a esta actividad? c).- ¿Qué actividades deben efectuarse simultáneamente con esta actividad? Cálculo de la ruta crítica Debido a la interacción de las diferentes actividades, la determinación de los tiempos de inicio y terminación, requiere cálculos espaciales. Estos cálculos se realizan directamente en el diagrama de flechas usando aritmética simple. El resultado final es clasificar las actividades de los proyectos como críticas o no críticas. Se dice que una actividad es crítica si una demora en su comienzo causará una demora en la flecha de terminación del proyecto completo.

10. Una actividad no crítica es tal que el tiempo entre su comienzo de inicio más próximo y de terminación más tardío (como el proyecto) es más grande que su duración real. En este caso, se dice que la actividad no crítica tiene tiempo de holgura. El tiempo de inicio más próximo de todas la actividades que se originan en un evento i. Por consiguiente, a fin de calcular TIPjrepresenta el tiempo de ocurrencia más próximo al evento i. Si i = 0 es el evento de inicio, entonces para los cálculos de ruta crítica, TIP0 = 0. Sea Dijla duración de la actividad (i,j). TTTi= mín {TTT j– Dij} J El tiempo de terminación más tardío, para todas la actividades que están en el evento i. Por consiguiente, si i = 0 en el evento de terminación, TTTn = TIPn TIPj= máx {TIPi + Dij} i

11. MODELOS DE INVENTARIOS Propiamente nos centraremos en resolver problemas de inventario “único” en el que no hay la oportunidad de reorden y el articulo no se puede almacenar en forma económica para periodos posteriores. Ejemplos: En las empresas donde se producen bienes de moda o de temporada, bienes precederos (flores, alimentos), bienes que se vuelven obsoletos (revistas) y servicios perecederos (asientos de un vuelo de avión). Este modelo de resolver problemas de inventario en los que no están presentes los problemas de tamaño de pedido, en conjunto con la frecuencia y el tiempo de pedido. Aquí, lo único que nos preocupa saber cuánto hay que pedir si nos enfrentamos a una demanda con probabilidades conocidas y no es posible es reorden. Una posibilidad sería calcular los beneficios que se obtendrían con diferentes planes de pedido. Importante si no se compran unidades, no se puede vender ninguna; si se compara una unidad, no puede venderse más de una, incluso si la cantidad de la demanda es mayor.

12. Método Marginal Una solución más sencilla para los cálculos es utilizar un método marginal, calculando el efecto sobre el beneficio de añadir una unidad más de pedido. Sea p la probabilidad de vender una unidad adicional (o más); entonces, (1 – p) es la probabilidad de no vender la unidad adicional (o más). Sea c0 el costo de los excedentes; es decir, el costo de que sobre una unidad. Sea cu costo de las carencias, es decir, el costo de no tener unidades que vender si un cliente desea una unidad. El costo esperado de la acción “no pedir” es pcu , en tanto que para la acción de “pedir” es (1 – p) c0 . La unidad adicional se debe pedir si el costo esperado de hacerlo es menor que el costo esperado de no pedirla, es decir, se debe pedir si: (1 – p ) c0 < p cu

13. Reglas para encontrar la probabilidad crítica optima: 1.- Mientras la probabilidad de vender una unidad adicional o más sea mayor que pc, la razón crítica, se debe pedir la unidad. 2.- Si la probabilidad de vender la unidad adicional es igual a pc , es indistinto incluirla en el pedido o dejarla fuera. 3.- Si la probabilidad es menor que pc, no se debe pedir la unidad. pc = cc cc + cu Costo de la reacción negativa Hasta ahora se ha supuesto que el único costo de una carencia ( es decir, una inexistencia) era el beneficio que se perdía en el periodo. Sin embargo, es posible modificar el modelo para incluir la reacción negativa del cliente que podría resultar de no encontrar los bienes.

14. La estimación del costo de reacción negativa puede ser un proceso muy difícil. La cantidad se puede incluir para determinar la razón crítica y así establecer la política de pedidos óptima. el precio adicional que hay que pagar por no cumplir con el pedido tiene el mismo efecto que un aumento en el margen de beneficios (es decir, un aumento en las consecuencias de no tener una unidad disponible cuando hay demanda por ella) y tendría a aumentar el tamaño del pedido al reducir pc. El uso de la distribución continua de probabilidad permite considerar todos los valores factibles de la variable aleatoria, la demanda. También es importante obtener estimaciones correctas de los costos relevantes de excedentes y carencias al utilizar este procedimiento de solución. Estos costos deben ser incrementales o costos marginales; no deben contener asignaciones de costos adicionales y otros costos fijos que no se vean afectados por la decisión.

15. MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA Es también conocido como teoría de colas, el cual tiene que ver principalmente con los procesos caracterizados por llegadas aleatorias (es decir, llegadas en intervalos aleatorios); el servicio al cliente también es un proceso aleatorio. Es importante tomar en cuenta que existen costos relacionados con la espera en la fila, así como el costo de añadir más canales de servicio, por lo que este modelo pretende minimizar la suma de los costos de espera y los costos derivados de proveer instalaciones de servicio. De los cálculos resultarán medidas como el número esperad de personas en la fila, el tiempo de espera estimado para las llegadas y el porcentaje esperado de utilización de las instalaciones de servicio. Estas medidas se pueden emplear en los cálculos de costo para determinar el número y la capacidad deseables para las instalaciones de servicio.

16. Elementos principales en el modelo de líneas de espera o de colas. 1.- Llegadas: Los clientes que llegan al sistema en busca de un servicio. La manera en que lleguen los clientes puede ser individual o por lotes; a intervalos regulares o con un patrón aleatorio; pueden venir de una población infinita o finita. 2.- Servicios: Cada cliente que solicita de un servicio. El servicio requiere tiempo para concluir, el tiempo puede ser el mismo o puede varias de manera aleatoria. 3.- Número de puntos de servicio: Puede haber un punto de servicio o canal, o varios. 4.- Disciplina de cola: Mientras los clientes esperan el servicio, están en la cola. Puede haber una sola cola o varias para cada servidor. El espacio de la cola puede ser limitado y los clientes que llegan cuando la cola está llena pueden retirarse (lo que se denomina rechazo). 5.- Disciplina del rendimiento: Los resultados se pueden evaluar en un periodo corto después de iniciar el sistema, o en un plazo largo o de equilibrio.

17. En el sistema de colas aparecen con frecuencia dos distribuciones de probabilidad importantes: 1.- La distribución de Poisson; la cual supone un número muy grande (infinito) de llegadas posibles, cada una con una pequeña probabilidad de ocurrencia. Las llegadas son independientes y el número de ellas en un periodo no afecta el número en el siguiente. 2.- La distribución exponencial es una distribución complementaria de la de Poisson, y tiene como variable aleatoria el tiempo entre los sucesos. Ambas distribuciones son conocidas como de Markov. גּ = Número promedio de clientes que llegan en una unidad de tiempo. µ = Número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes. L = Número esperado de unidades que se atienden y/o esperan en el sistema. Lq =Número esperado en cola (el número en cola no incluye la unidad que se atiende). Pn=Probabilidad de tener n unidades en el sistema. Wq=Tiempo probable de espera en cola de una llegada w = Tiempo probable de permanencia en el sistema

18. Fórmulas del modelo de línea de espera: El número esperado en la cola de espera y/o en servicio es: El número esperado en cola es: Tiempo de espera promedio (en la cola) para una llegada: Tiempo promedio de permanencia en el sistema (tanto en espera como en el servicio): Probabilidad de que el número de unidades en cola y en servicio sea mayor que k:

19. : Referencias bibliográficas Bierman, Bonini y Hausman (1994). Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Wilmington, Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana. Taha, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. México: Alfaomega.