1 / 14

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE. Definitie: Un numar natural a este divizibil cu un numar natural b, nenul, daca exista un numar natural c astfel incat a = b*c. Se mai spune “ a se divide cu b ” , “ b divide pe a ” sau ca “ a este multiplu de b ”.

kalona
Download Presentation

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE Definitie: Un numar natural aeste divizibil cu un numar natural b, nenul, daca exista un numar natural c astfel incat a = b*c. Se mai spune “ a se divide cu b” , “b divide pe a” sau ca “a este multiplu de b”. Notatie: b | a si se citeste “ b divide pe a”. Exemple : 6 este divizibil cu 2, pentru ca exista 3 astfel incat 6=2*3 12 este divizibil cu 2 , pentru ca exista 6 astfel incat 12=2*6. Definitie: Un numar natural, nenul , b divide un numar natural a daca exista un numar natural c astfel incat b= a : c. Notatie: a :b .

  2. Definitie: Toti divizorii unui numar natural poarta denumirea de multimea divizorilor acelui numar natural.Exemplu: Fie n=12 D12={1,2,3,4,6,12}Observatie: Orice numar natural mare divizorii improprii 1 si m.Orice alt divizor este numit divizor propriu. Exemplu: divizorii 1 si 12 sunt divizori improprii, iar numerele 2, 3, 4, 6 sunt divizori propriiDefinitie: Toti multipli unui numar formeaza multimea multiplilor acelui numar.Exemplu: Fie n = 5 M5 = {0, 5, 10, 15, 20, . . . . 5k . . }Observatie : Multimea multiplilor unui numar este o multime infinita , iar multimea divizorilor este finita

  3. PROPRIETATI ALE DIVIZIBILITATII NUMERELOR NATURALE 1.Orice numar natural este divizibil cu 1. Altfel: 1|a oricare ar fi a єN 2. 0 este multiplu al oricarui numar natural. Altfel: a|0 oricare ar fi a єN 3. Orice numar natural se divide cu el insusi. Altfel: a|a oricare ar fi a єN 4. Daca a este divizibil cu b si b este divizibil cu a atunci a=b. Altfel: b | a si a | b atunci a = b 5. Fie a,b si c trei numere naturale.Daca a se divide cu b, iar b se divide cu c atunci si a se divide cu c. b | a c | b c | a

  4. 6.Daca un numar natural se divide cu un numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea. Exemplu: Numarul 24 se divide cu toti divizorii lu 12 adica 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12. 7.Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural , atunci si suma lor se divide cu acel numar natural. Daca m|a si m|b , atunci m|a + b oricare ar fi a, b,m є N. Exemplu: 12 se divide cu 3;15 se divide cu 3. 12 + 15 = 27 ,iar 27 se divide cu 3. 8.Daca unul din termenii unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural , iar celalalt termen nu se divide cu acel numar natural atunci suma nu se divide cu acel numar natural. Exemplu: Fie suma 4 + 3 . 4 se divide cu 2 , dar 3 nu se divide cu 2 , deci 4 + 3 nu se divide cu 2.

  5. 9.Fie a , b , m numerele naturale , a ≥ b.Daca a se divide cu m si b se divide cu m atunci a si a – b se divide cu m.Altfel: Daca m | a m | b m | a – b oricare ar fi a , b , m є N , a ≥ b. Exemplu: Fie diferenta 10 - 4 , 10 ≥ 4 , 10 se divide cu 2 , si 4 se divide cu 2. Diferenta 10 – 4 = 6 se divide cu 2.10.Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m , atunci produsul lui a cu orice numar natural se divide cu m.Altfel: Daca m | a , atunci m | ab , oricare ar fi a, b , m єN. Exemplu: 6 se divide cu 2 , 6 * 7 = 48 se divide cu 2.

  6. 11. Dacanumarul natural ase divide cu d, atunci orice putere nenula a numarului a se divide cu d. Altfel : d | a atunci d | an oricare ar fi n numar natural nenulExemplu: 3 | 6  3 | 1296=6412. Daca un numar natural este divizibil cu doua numere prime intre ele atunci este divizibil cu produsul lor. Altfel: b | a si c | a b*c |a oricare ar fi a,b,c (b, c) =1 nr.naturaleExemplu: 2|18 si 3|18 ; (2,3)=1  6|18 13. Daca a si b sunt numere naturale prime intre ele si a divide produsul dintre b si un alt numar c atunci c divide pe a Altfel: (a, b) =1 a | b*c  a | c Exemplu: 2 divide 6*5=30 ; (5,2) =1 atunci 2 divide 6

  7. CRITERIILE DE DIVIZIBILITATE • Criterii care depind de ultima cifra a numarului CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 2 Un numar natural este divizibil cu 2 daca si numai daca ultima sa cifra este { 0, 2, 4, 6, 8} EXEMPLU: numerele 42, 54, 68, 120 66 CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 5 Un numar natural estedivizibil cu 5daca si numai daca ultima sa cifra este {0, 5} EXEMPLU:numerele 50, 75, 40, 270, 5075 CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 10 Un numar natural estedivizibil cu 10daca si numai daca ultima sa cifra este 0 EXEMPLU: numerele 60, 200, 1340, 45890

  8. Criterii care depind de ultimele doua cifre ale numarului CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 4 Un numar este divizibil cu 4 daca si numai daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar divizibil cu patru EXEMPLU: 248, 764 CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 25 Un numar natural este divizibil cu 25 daca si numai daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar divizibil cu 25, adica 00, 25, 50, 75. EXEMPLU: 475, 525, 800, 8450 CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 100 Un numar natural este divizibil cu 100 daca ultimele doua cifre ale sale sunt 00. EXEMPLU: 3007000

  9. III) Criterii care depind de suma cifrelor numarului natural CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 3 Un numar este divizibil cu trei daca si numai daca suma cifrelor sale este un numar natural divizibil cu trei. EXEMPLU : nr. 729 este divizibil cu 3 pt. ca ( 7+2+9) = 18 este divizibil cu 3 nr. 14136 este divizibil cu 3 pt. ca ( 1+4+1+3+6)= 15 este divizibil cu 3 CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 9 Un numar este divizibil cu 9 daca si numai daca suma cifrelor sale este un numar divizibil cu 9 EXEMPLU: nr. 108 este divizibil cu 9 pt. ca (1+0+8)=9 este divizibil cu 9 nr. 45639 este divizibil cu 9 pt. ca ( 4+5+6+3+9)=27 este divizibil cu 9

  10. NUMERE PRIME, NUMERE COMPUSE, NUMERE PARE, NUMERE IMPARE DEFINITIE: Se numeste numar prim orice numar natural , diferit de 1 , care are divizori numai pe 1 si pe el insusi. Altfel spus se numeste numar prim acel numar natural care are numai doi divizori, adica Dn = {1, n}, oricare ar fi n numar natural, n≥ 2 EXEMPLU: Numerele prime mai mici decat 50 sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 OBS. Numarul 1 nu are decat un divizor deci el nu este numar prim. Numarul 2 este unicul numar prim si par. DEFINITIE: Se numeste numar compus orice numar natural, care are cel putin trei divizori EXEMPLU:Numerele : 4, 64, 75, 32, 87 etc. REGULA: Pentru a stabili daca un numar natural este prim se imparte pe rand numarul dat la numerele prime in ordine crescatoare incepand cu 2 , pana se obtine un cat mai mic sau egal cu impartitorul. Daca nu se divide cu nici unul din numerele prime rerspective atunci numarul dat este prim

  11. EXEMPLU: 103:2=51 rest 1 103:3=34 rest 1 103:5=20 rest 3 103:7=14 rest 5 103:11=9 rest 4 dar 9< 11 , deci 103 numar primDEFINITIE : Numerele naturale divizibile cu 2 se mai numesc si numere pare :{2n / nєN } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, … …. }DEFINITIE : Numerele naturale care nu sunt pare se numesc impare: {2n +1 / nєN } = {1, 3, 5, 7, 9, 11, … …. }TEOREMA FUNDAMENTALA A ARITMETICIIOrice numar natural nenul se poate scrie ca produs de numere prime ; descompunerea lui este unica n = p 1x p2 yp3 zDescompunerea unui numar natural nenul; in produs de factori primi ajuta la aflarea numarului de divizori ai numarului respectiv . card Dn = (x+1)(y+1)(z+1)

  12. Divizori comuni a dou a sau mai multe numere naturale , numere prime intre ele, C. M. M. D. C. Definitie: Cel mai mare divizor comun a doua numere naturale a si b este un numar natural d , care: - divide pe a si pe b; - este divizibil cu orice divizor al lui a si al lui b Notatie: c.m.m.d.c. (a, b) = (a, b) Regula: Pentru a afla c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere naturale mai mari decat 1 se procedeaza in felul urmator: - se descompun numerele in produs de puteri de numere prime; - se iau toti factorii primi comuni , o singura data , la puterea cea mai mica si se inmultesc intre ei. Exemplu: 420= 2 2 *3*5*7  (420, 504) = 22 *3*7 = 84 504= 23 * 32 *7 Spunem ca doua sau mai multe numere care au c.m.m.d.c. 1 sunt prime intre ele Exemplu: (4, 9) = 1 ; (24, 25) =1 ; (103, 75) =1.

  13. Multiplii comuni a doua sau mai multe numere naturale , C. M. M. M. C. Definitie: Cel mai mic multiplu comun a doua numere naturale a si b este un numar natural m care : - este multiplu al lui a si a lui b - orice alt multiplu al numerelor a si b se divide cu m. Notatie: c.m.m.m.c. (a, b) = [ a, b] Regula:Pentru a afla c.m.m.m.c. a doua numere naturale se procedeaza astfel: - se descompun numerele naturale in produs de puteri numere prime; - se iau factorii primi comuni si necomuni , o singura data , la puterea cea mai mare si se inmultesc intre ei Exemplu: 20= 22 *5; 18 = 2*32 ; 16 = 24 atunci [20, 18, 16] = 24 *32 *5 = 720 TEOREMA : Pentru orice numere reale a si b avem (a, b ) * [a, b ] = a*b Altfel spus, produsul a doua numere este egal cu produsul dintre c.m.m.d.c. –ul si c.m.m.m.c. –ul lor

  14. Daca [a; b; c ] = m atunci a I m  m Є Ma b I m  m Є Mb c I m  m Є Mc Deci m Є Ma∩ Mb ∩ Mc adica m este multiplu comun de a, b, c Si cel mai mic numar nenul cu aceasta proprietate. Relatia de apartenenta de mai sus este adevarata si invers: m = a*x m = b*y m = c*z Atunci m este un multiplu comun al numerelor a, b, c, Daca (a,b) = d atunci exista numerele naturale x si y prime intre ele astfel incat a = d*x b = d*y Relatia este adevarata si invers a = d*m b = d*n Atunci d este un divizor comun al numerelor a si b. APLICATII ALE C.M.M.D.C. SI C.M.M.M.C.

More Related