871 likes | 2.88k Views
Deret Taylor & Maclaurin. Deret Taylor & Maclaurin. Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x), ..., f (n) (x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f (n+1) (x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b. Maka berlaku: dimana R n adalah sisanya yang berbentuk:.
E N D
Deret Taylor & Maclaurin • Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b. • Maka berlaku: dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:
Deret Taylor & Maclaurin dimana (a, x)
Deret Taylor & Maclaurin • Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa : ........... 1)
Deret Taylor & Maclaurin • Kemudian akan ditunjukkan bahwa mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy
Deret Taylor & Maclaurin • Untuk membuktikan persamaan 1) digunakan induksi matematika. • Untuk n = 0
Deret Taylor & Maclaurin • Misalkan berlaku untuk n = k
Deret Taylor & Maclaurin • Untuk n = k + 1 Perhatikan bentuk misal:
Deret Taylor & Maclaurin • dari n = k, diperoleh
Deret Taylor & Maclaurin • Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa mempunyai 2 bentuk
Deret Taylor & Maclaurin • Menurut teorema nilai rata-rata untuk integral • Misalkan maka
Deret Taylor & Maclaurin • Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu
Deret Taylor & Maclaurin • Misalkan maka
Deret Taylor & Maclaurin • Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk sisa, yaitu
Deret Taylor & Maclaurin • Sewaktu n berubah, maka umumnya juga berubah. Jika untuk semua x dan di dalam [a, b] kita mempunyai , maka persamaan di awal dapat ditulis: • Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin
Deret Taylor & Maclaurin • Walaupun semua turunan f(x) ada di x = a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).
Deret Taylor & Maclaurin • Contoh: Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x 0
Deret-Deret Penting • Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan dll
Deret Binomial • Bentuknya adalah • Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir • Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1
Deret Binomial c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1 • Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1 Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan (d)